相似三角形复习课件人教新课标版

1、 复习课复习课 一、复习： 1、相似三角形的定义是什么？ 答： 对应角相等， 对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形. 2、判定两个三角形相似有哪些方法？ 答： A、用定义； B、用预备定理； C、用判定定理1、2、3. D、直角三角形相似的判定定理 定理定理3 3：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。 定理定理2 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 定理定理1 1：三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。 A= A B= B ABCABC AC CA CB BC BA AB ABCABC ABCABC

2、 BA AB CB BC B= B A B C A BC 一、知识回顾一、知识回顾 直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定: B C A BC A 直角边和斜边对应成比例，直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似。两直角三角形相似。 BA AB AC AC = C=C =90o RtABCRtABC 3、相似三角形有哪些性质 1、对应角相等，对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对 应高线、对应周长的比都等于相似 比。 3、相似三角形面积的比等于相似 比的平方。 一一.填空选择题填空选择题: 1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而

3、 (2) ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED， 则 AED与 ABC的相似比为_. 2.如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为. 3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm. 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上 取点D, 使ABC BDC, 则DC=_. AD ( ) = DE BC A B C D E AC 2:5 5 2cm 1:2 5. 如图，ADE ACB, 则DE:BC=_ 。 6. 如图，D是ABC一边BC 上一点，连接AD,使 ABC

4、 DBA的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC 7. D、E分别为ABC 的AB、AC上 的点，且DEBC，DCB= A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_组。 D A CB A B ED C A CB D E 2 7 3 3 1:3 D 4 二、证明题：二、证明题： 1. ABC中, BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E，交AB于D， 连AM. 求证： MAD MEA AM2=MD ME 2. 如图，ABCD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E

5、， 求证：ED2=EO EC. A BC D E M AB CD E F O 3. 过ABCD的一个顶点A作一直 线分别交对角线BD、边BC、边 DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG . 4. 已知在ABC中，BAC=90， ADBC,E是AC的中点，ED交 AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF. A BC D E F G A D E F B C 解:AED=B, A=A AED ABC（两角对 应相等，两三角形相似） AD AC = DE BC A B C D E 1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， 且AED= B，那么 AED ABC，

6、 从而 AD ( ) = DE BC 解 :D、E分别为AB、AC的中点 DEBC，且 ADEABC 即ADE与ABC的相似比为1:2 AD AB = AE AC = 1 2 A B C D E (2) ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则 ADE与 ABC的相似比为_ 2. 解: DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即ADE与ABC的相似比为2:5 A B C D E 如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED 和 ABC 的相似比为. 3.已知三角形甲各

7、边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm. D E F AB C 解: 设三角形甲为ABC ，三角 形乙为 DEF，且DEF的最大 边为DE，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 EF=5cm 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_. A BC D 解: ABC BDC 即 DC=2cm 18 6 = 6 DC AC BC = BC DC 5. A BC D E 3 3 2 7 AE AB = AD AC = 1 3 解: ADEACB 且 如

8、图，ADE ACB, 则DE:BC=_ 。 DE BC = AE AB = 1 3 7. D、E分别为ABC 的AB、AC上的点，DEBC， DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形_组。 A B ED C 解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC 2. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证： MAD MEA AM2

9、=MD ME A BC D E M 分析：已知中与线段有关的条件仅有 AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用 两个角对应相等去判定两个三角形相 似。AM是 MAD 与 MEA 的公共 边，故是对应边MD、ME的比例中项。 证明：BAC=90 M为斜边BC中点 AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADE B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA MAD MEA 即AM2=MDME AM MD = ME AM 3. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO EC. AB CD E F

10、O 分析：欲证 ED2=EOEC，即证： ，只需证DE、EO、EC 所在的三角形相似。 ED EO = EC ED 证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO EC ED EO = EC ED 4. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG . A BC D E F G 分析：要证明 EA2 = EF EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换

11、比例的方法。可证明： AEDFEB， AEB GED. EA EG = EF EA 证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED EA EG = AB DG EF EA = BE ED= AB DG EA EG = EF EA 6. 已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF. A D E F B C 分析：因ABCABD，所以 ， 要证 即证 ， 需证BDFDAF. AF DF AC AB AD BD AC AB AF DF AD BD 证明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD=

12、90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中点， ED=EC EDC= C EDC = BDF AF DF AD BD BDF= C= BAD 又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD AD BD AC AB AF DF AC AB 1.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，连边上的一点，连 结结CP满足什么条件时满足什么条件时 ACPABC 解解:A= A，当当1= ACB （或（或2= B） 时，时， ACPABC A= A，当当AC:APAB:AC时，时， ACPABC A= A， 当当4ACB180时，时， ACPABC 答：当答：

13、当1= ACB 或或2= B 或或AC:APAB:AC或或 4ACB180时时, ACPABC. A P BC 1 24 1、条件探索型、条件探索型 三、探索题三、探索题 2.如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa， BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时， 两三角形相似两三角形相似 D A B C a b 解解: 1D90 当当 时，即当时，即当 时，时， ABC CDB, 1D90 当当 时，即当时，即当 时，时， ABC BDC， 答：略答：略. BD BC BC AC BD b b a BD AB BC AC BD ba b a 22 a b

14、 BD 2 a bab BD 22 这类题型结论是明确的，而需要完备使这类题型结论是明确的，而需要完备使 结论成立的条件结论成立的条件 解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思 考寻求使结论成立的条件考寻求使结论成立的条件 1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子， 假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相 似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出一写出 来来. C 解：有相似三角形，它们是：解：有相似

15、三角形，它们是： ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA （ ADE BAE CDA） 2、结论探索型、结论探索型 A B D E G F 2 2.在在ABC中，中，ABAC，过，过AB上一点上一点D作直线作直线 DE交另一边于交另一边于E，使所得三角形与原三角形相，使所得三角形与原三角形相 似，画出满足条件的图形似，画出满足条件的图形. E D A BC D A BC D A BC D A BC E EE 这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这类题型的特征是有条件而无结论，要确定 这些条件下可能出现的结论这些条件下可能出现的结论 解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、解题

16、思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、 猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明. . 3、存在探索型、存在探索型 如图如图, DE是是ABC的中位线，在射线的中位线，在射线AF上是否存上是否存 在点在点M，使，使MEC与与ADE相似相似,若存在若存在,请先确定点请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由. A D B C E F 证明：连结证明：连结MC， DE是是ABC的中位线，的中位线， DEBC，AEEC， 又又MEAC, AMCM， 1= 2 ， B=90， 4 B= 90， AF BC，

17、AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MEC A D B C E F 1 2 3 M 解解:存在存在.过点过点E作作AC的垂线的垂线,与与AF交于一点交于一点, 即即M点点(或作或作MCA= AED). 4 应用应用1. 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，是一块锐角三角形余料， 边边BC=60mm，高，高AH=40mm，要把它加工成正，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个上，其余两个 顶点分别在顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边上，这个正方形零件的边 长是多少？长是多少？ 变式1 如果改变ABC

18、的形状,但保持边BC与高 AH的长不变,正方形DEFG的边EF在直线BC上, 顶点D、G分别在AB,AC上,正方形DEFG的边 长会变化吗?为什么? 变式2将正方形DEFG改为矩形,且矩 形的两条邻边之比为DG:DE=2:3,求矩 形的边长. A字型字型 8字型字型 公共边角型公共边角型 双垂直型双垂直型 相似中常用基本图形： 三垂直型三垂直型 2.如图，已知如图，已知AB是是 O的直径，的直径，C是圆是圆 上一点，且上一点，且CDAB于于D,AD=12,BD=3，则，则 CD=_. )(BEAECEDE ED BE AE CE 或 6 O C DBA 1.如图，已知如图，已知 O的两条弦的两

19、条弦AB、CD 交于交于E，AE=BE=6,ED=4，则，则CE=_. C D B A E 9 BDADCD 2 【09宁波中考卷第宁波中考卷第24题】题】 如图，已知 O的直径AB与弦CD相交于点E， BC=BD， O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F. (1)求证：CDBF; (2)连接BC,若 O的半径为4，cosBCD= , 求线段AD，CD的长。 4 3 B D C E O A F 【09杭州中考卷第杭州中考卷第16题】题】 例例2 如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的 一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心O，且点E在半 圆弧上若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方 形边长的比是_；若正方形DEFG的面积为100，且ABC 的内切圆半径=4，则半圆的直径AB = _ GD FE O 知识链接知识链接 C B AD G H D E AB F D E AB C O G 友情提醒友情提醒：善于从复杂：善于从复杂 图中分解出基本图形，图中分解出基本图形， 将会助你快速解题！将会助你快速