第八章稳恒磁场

1、第八章第八章 稳恒磁场稳恒磁场 一、磁场一、磁场 8-2 8-2 磁场磁场 磁感应强度磁感应强度 1.1.磁铁的磁性磁铁的磁性 磁极：磁极：N N，S S 相互作用：同性相斥，异性相吸相互作用：同性相斥，异性相吸 2.2.电流的磁效应电流的磁效应 NS N N N N S S S S 奥斯特实验（奥斯特实验（18191819年）年） 载流导线附近的小磁针载流导线附近的小磁针 发生偏转发生偏转 安培实验（安培实验（18201820年）年） 磁体附近的载流导线或线圈受到力的作用而运动磁体附近的载流导线或线圈受到力的作用而运动 S S N N 3.3.安培分子电流假说：安培分子电流假说： 安培认为磁

2、铁的磁性与电流的磁性的起源是相同安培认为磁铁的磁性与电流的磁性的起源是相同 的。磁铁的磁性来自于铁磁物质的分子电流。总而言的。磁铁的磁性来自于铁磁物质的分子电流。总而言 之，之，所有的磁性都来自电流（运动的电荷）。所有的磁性都来自电流（运动的电荷）。 一、毕奥一、毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 8-3 8-3 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 电流元在空间产生的磁电流元在空间产生的磁感应强度感应强度： 2 r0 r elId 4 Bd lI d I P Bd r 方向方向：垂直于电流元和场点所在的平面垂直于电流元和场点所在的平面 72 0 410 N A 真空真空磁导率磁导率： Idl 电流元：电流元：

3、 沿电流方向沿电流方向 : r e由电流元指向场点方向的由电流元指向场点方向的 单位矢量单位矢量 大小：大小： sin 0 2 Idl dB 4r 二、磁感应强度的叠加原理二、磁感应强度的叠加原理 L 2 r0 r elId 4 BdB lI d I P Bd r 单位单位:T 特斯拉特斯拉 a I P 解：解：在载流导线上取一电流元在载流导线上取一电流元 Idl 产生的磁场产生的磁场 方向：方向： )cos(cos 4 21 0 a I B 各电流元在各电流元在P点的磁感应强度点的磁感应强度 方向一样，对大小直接积分得方向一样，对大小直接积分得 2 0 r Idl 4 dB sin 例例1

4、o l lId r 大小：大小： Bd 1 2 0 )cos(cos 4 21 0 x I B 讨论讨论: 1 1、空间哪些点磁感应强度、空间哪些点磁感应强度 大小与大小与p p点的相等？点的相等？ 2 2、通电导线延长线上的场点、通电导线延长线上的场点 磁感应强度等于多少？磁感应强度等于多少？ 3 3、无限长导线的磁感应强度呢？、无限长导线的磁感应强度呢？ I B x I 1 2 p 柱对称柱对称 x I B 2 0 练习练习1 求边长为求边长为a的正方形线圈中通有电流的正方形线圈中通有电流I,则该线圈则该线圈 在正方形中心处和顶点处产生的磁感应强度在正方形中心处和顶点处产生的磁感应强度 1

5、2 0 aI p a I 1 2 22 4 3 cos 4 cos 2 4 4 0 2 0 a I a I Bo 4 2 2 cos 4 cos 4 2 00 a I a I Bp b p a I 练习练习2宽度为宽度为b的无限长金属平的无限长金属平 面薄片中面薄片中,电流电流I自下而上均匀自下而上均匀 流动流动,如图如图,求求p点的磁感应强度点的磁感应强度 x dx 0 0 ln 22 a b a dx I Iab b B xba 0 2 dx I b dB x 载流圆线圈轴线上的磁感应强度载流圆线圈轴线上的磁感应强度 例例2 Bd y dB x dB I R x lId r 解：电流解：电

6、流 元产生的磁感应强度元产生的磁感应强度 0 2 4 Idl dB r 由于对称性垂直于轴的分量相由于对称性垂直于轴的分量相 互抵消，磁场沿轴向互抵消，磁场沿轴向 0 2 4 x Idl R dB rr 2 0 3 0 22 2 4 () R x IRdl BdB Rx 2 0 3 22 2 2 () R I Rx B d 2 0 3 22 2 2 () R I B Rx 载流圆线圈在圆心处的磁场载流圆线圈在圆心处的磁场 0 2 I B R I R x 讨论：讨论： I O R 载流圆弧导线在圆心处产生的磁场载流圆弧导线在圆心处产生的磁场 0 22 I B R 载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩 I

7、 n e n eNISm 求求O O点处的磁感应强度点处的磁感应强度练习练习3 3 R I O O 解：解：o o处的磁场可看作两段处的磁场可看作两段 通电直导线与通电直导线与1/41/4通电圆弧通电圆弧 产生的磁场之和产生的磁场之和 1 0B 0 2 1 4 2 I B R 0 3 4 I B R （方向：垂直平面向里）（方向：垂直平面向里） （方向：垂直平面向里）（方向：垂直平面向里） 00 84 II B RR 1 2 3 （方向：垂直平面向里）（方向：垂直平面向里） 求求O O点处的磁感应强度点处的磁感应强度练习练习4 4 解：解： 1 0B 0 2 3 1 4 42 I B R 0

8、4 4 I B R （垂直平面向外）（垂直平面向外） （垂直平面向里）（垂直平面向里） R I O O 3I/4 I/4 两圆弧导线两圆弧导线电流与电阻成反比电流与电阻成反比 0 3 1 3 4 42 I B R （垂直平面向外）（垂直平面向外） 0 4 I B R 1 2 3 4 （垂直平面向外）（垂直平面向外） 例例3 在玻尔的氢原子模型中，电子在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核绕原子核 作圆周运动，已知圆周的半径为作圆周运动，已知圆周的半径为 ， 电子的速度为电子的速度为 ，求：，求：（1 1）电子）电子 的磁矩；（的磁矩；（2 2）轨道）轨道中心处的磁感应强度。中心处的磁感应强度。 1

9、1 5.3 10Rm 61 2.2 10vm s 解：解：作圆周运动的电子相当于一环形电流作圆周运动的电子相当于一环形电流 2 eev I TR 其磁矩为其磁矩为: : 1 2 mISevR 环形电流产生的磁感应强度环形电流产生的磁感应强度: 00 2 24 Iev B RR 224 104 . 9Am T13 练习练习5一半径为一半径为R的圆面均匀分布着电荷的圆面均匀分布着电荷,电电 荷面密度为荷面密度为.当它以角速度当它以角速度绕过圆心垂直绕过圆心垂直 盘面的竖直轴旋转时盘面的竖直轴旋转时,求在圆心的磁感应强度求在圆心的磁感应强度. r rdr dB 2 /2 2 0 R r rdr dB

10、B R 0 0 0 2 1 2 /2 2 . n I R L 1 2 P 无限长载流螺线管在轴线上无限长载流螺线管在轴线上 0 BnI nIB 21 0 coscos 2 半无限长载流螺线管管口半无限长载流螺线管管口nIB 0 2 1 载流螺线管轴线上的磁场载流螺线管轴线上的磁场例例4 一、磁通量一、磁通量 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 8-4 8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理和安培环路定理 1.1.磁感应线：磁感应线： B dS S N B d d I S N I S N I 磁场线都是闭合曲线或两头伸向无限远；磁场线都是闭合曲线或两头伸向无限远； 闭合的磁感应线与载流回路

11、互相套连，形成右螺旋的关系。闭合的磁感应线与载流回路互相套连，形成右螺旋的关系。 . . . 2.2.磁通量磁通量 定义：通过某曲面的磁场线数称为穿过定义：通过某曲面的磁场线数称为穿过 该曲面的磁通量。该曲面的磁通量。 单位单位: : 2 m1T1Wb1 SdBdSBd m cos 通过面元通过面元dS的磁通量为：的磁通量为： 通过曲面通过曲面S的磁通量：的磁通量： S mm SdBd 1 d 2 d l I x o x I B 2 0 0 2 I dBdSldx x 02 1 ln 2 Ild d B 如图，求过矩形面积的磁通量。如图，求过矩形面积的磁通量。例例 解：载流长直导线产生的磁场解

12、：载流长直导线产生的磁场 磁感应线非均匀垂直穿过矩形面磁感应线非均匀垂直穿过矩形面, , 2 12 0 d d x dxIl d 过矩形面的磁通量为过矩形面的磁通量为: : 过小面元的磁通量为过小面元的磁通量为: : x dx 3.3.磁场的高斯定理磁场的高斯定理 0 s SdB 稳恒磁场的高斯定理揭示了稳恒磁场是无源场稳恒磁场的高斯定理揭示了稳恒磁场是无源场 磁感应线是闭合的，在闭合磁感应线是闭合的，在闭合 面的一些地方有磁感应线进面的一些地方有磁感应线进 入，在面的其它地方必然有入，在面的其它地方必然有 等量的磁感应线穿出等量的磁感应线穿出 电流电流I正负的规定：正负的规定：L与与 I 成

13、右螺旋时，成右螺旋时，I 为正；反之为负。为正；反之为负。 3 I 2 I 1 IL 1 I 1 I i i0 L Il dB 210 21110 L II IIIIl dB 二、安培环路定理二、安培环路定理( (证明略证明略) ) 1 1、表述：、表述：稳恒磁场中，磁感应强度稳恒磁场中，磁感应强度 沿任一闭合路径的沿任一闭合路径的 积分的值，等于积分的值，等于0 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数乘以该闭合路径所包围的各电流的代数 和。和。 B 静静 电电 场场 稳稳 恒恒 磁磁 场场 高斯定理高斯定理安培环路定理安培环路定理 1、揭示静电场是有源场、揭示静电场是有源场 2、计算对称场的场强

14、、计算对称场的场强 （要点：高斯面选在对称面（要点：高斯面选在对称面 上；分析上；分析q内 内求场强） 求场强） 1 1、揭示静电场是无旋场、揭示静电场是无旋场 （保守场）（保守场） 2 2、引出电势、引出电势 揭示稳恒磁场是无源场揭示稳恒磁场是无源场 1、揭示稳恒磁场是有旋场、揭示稳恒磁场是有旋场 2、计算对称场的磁感应强度、计算对称场的磁感应强度 （要点：闭合环路选在磁感应（要点：闭合环路选在磁感应 线上；通过线上；通过I内 内求磁感应强度） 求磁感应强度） i i0 L Il dB 0 s SdB 0 d i i S q SE 内内 0lE d 有源无旋场有源无旋场有旋无源场有旋无源场

15、例例1 1、 R I 2 2、安培环路定理的应用、安培环路定理的应用 R I 解：解：无限长的载流柱体的磁感线为一无限长的载流柱体的磁感线为一 组同心圆，取半径为组同心圆，取半径为r r的圆周为环路，的圆周为环路， 环路的正向与电流方向成右手螺旋关环路的正向与电流方向成右手螺旋关 系系 rR 时 R R B 0rR 时 0 2 I R B Ror IIrBBdll dB r ll 00 2 内 I R r I R r rB r 2 2 0 2 2 0 2 内 L 2 0 2 R Ir B r r I B r 2 0 练习：一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，练习：一根很长的电缆线由两个

16、同轴的圆柱面导体组成， 若这两个圆柱面的半径分别为若这两个圆柱面的半径分别为R1和和R2（R1R2）,通有等值通有等值 反向电流，电流强度大小为反向电流，电流强度大小为I，求电缆线在空间激发的磁求电缆线在空间激发的磁 场分布场分布 R1 R2 I 内 IrB r0 2 内 I R r 0 Rr R Rr 0 2 21 1 I L r B R r 0 Rr R 2 Rr 0 2 21 0 1 r I 长直密绕螺线管内磁场长直密绕螺线管内磁场 例例2 2、 B I I l 解：解：n n大大( (密绕密绕) )，螺距小，螺线管可简化为由一匝匝平面圆螺距小，螺线管可简化为由一匝匝平面圆 电流圈并排排

17、列所组成。由无限长条件和轴对称，有：电流圈并排排列所组成。由无限长条件和轴对称，有： L MN PO P P 管内任选管内任选P P点，选择如图环路点，选择如图环路MNOPMNOP PMOPNOMNL l dBl dBl dBl dBl dB nIB 0 内 0LnI0LB 0P -管内为匀强场管内为匀强场 0B 外 B I I l L MN PO P P 管外任选管外任选P P点，选择如图环路点，选择如图环路 无限长通电螺线管磁场分布于管内，且管内为无限长通电螺线管磁场分布于管内，且管内为 匀强场（实际中有边缘效应）匀强场（实际中有边缘效应） 1 R 2 R 求载流螺绕环内的磁场求载流螺绕环

18、内的磁场例例3、 d r 解：解：对称性分析；环内对称性分析；环内 线为同心线为同心 圆，环外圆，环外 为零。选回路为零。选回路L L沿环内沿环内 磁感线绕行的方向磁感线绕行的方向 B B NIrB2l dB 0 L r2 NI B 0 nIB 0 对于细螺绕环，有：对于细螺绕环，有： 螺绕环内可视为均匀场。螺绕环内可视为均匀场。 112 RRR 8.58.5 洛仑兹力：洛仑兹力： 磁场对运动电荷的作用力磁场对运动电荷的作用力 洛仑兹力不做功洛仑兹力不做功 8-8-6 6 磁场对载流导线的作用磁场对载流导线的作用 B Idl dF （电流元）（电流元） I BlIdFd L FdF L )Bl

19、(Id 电流元在磁场中受力电流元在磁场中受力 整根载流导线受力整根载流导线受力 安培力：磁场对载流导线的作用力安培力：磁场对载流导线的作用力 一、匀强磁场对电流的作用一、匀强磁场对电流的作用 1 1、匀强磁场对一段载流导线的作用、匀强磁场对一段载流导线的作用 L FdF L )Bl(Id L IdlB ILB 大小大小： BILsin B B a b I L 匀强磁场中任意闭合载流线圈受合力为匀强磁场中任意闭合载流线圈受合力为0 0 2 2、匀强磁场对矩形载流线圈的作用、匀强磁场对矩形载流线圈的作用 sinBIlFF 1dabc 2cdab BIlFF 0FF cdab 0FF dabc 匀强场对载流线圈的合力为零，匀强场对载流线圈的合力为零， 但力矩之和不为零，线圈在力矩但力矩之和不为零，线圈在力矩 作用下定轴转动！作用下定轴转动！ I B a b c d l l + ab F cd F n （先复习力矩的概念）（先复习力矩的概念） cos 1 lcoslBIlM 12 BISsin BmsinM n eNIS m BmM 若为若为N N匝线圈匝线圈 NBISsinM m 线圈的磁矩线圈的磁矩 + ab F cd F n 对匀强磁场中的任意形状载流线圈对匀强磁场中的任意形状载流线圈, ,