二元一次方程知识点

1、、知识结构:兀二次方程解与解法 根的判别韦达定理2,这样的整式方程就是一元若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一兀1次方程的是（)3 x“2小111ccA1 2xB22 0xxC2 axbx c0D2 x2x x例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为。 2a 2 x x a 40的一个根为0,则a的值为1变式：:当k时，关于x的方程kx22x x23是一元二次方程。例2、方程 m 2 Xm 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则m的值为针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是 。 2、

2、若方程 m 2x“ 10是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2 m?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2 ,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：|使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；例2、关于x的一元二次方程典型例题：b，则此方程0的两个根,例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c必有一根为。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,

3、 c是方程y2 8y 5m则m的值为。针对练习： 1、已知方程x2 kx 100的一根是2，则k为，另根疋 2、已知关于x的方程x2kx 20的一个解与方程x 1x 13的解相同。x 1求k的值；方程的另一个解。已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2 4、已知a 是 x2 3x 10的根，则2a2 6a0的一个根为（） 5、方程baDoc x c ab x222对于 xm， axbx n等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程:1 2x280;2 25 16x2=0;90;2 2例2、若9 x 116 x 2 ，则x的值为。针对练习：|下列方程无解的是（）2 2 2 2A. x 3

4、2x 1 B. x 20 C.2x 3 1 x D. x 9类型二、因式分解法:xx-1 x x20 x x1,或x x20 ”,方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为方程形式：如axbx nC X a X b X a X2 2x 2ax a典型例题:例 1、2x x 3的根为（17D3卷5 一 2X1C例2、若4xy3 4x y40，则4x+y的值为变式1： a2b2 2a2b260,则a2b2变式2:若xy 2 x y30，则 x+y的值为变式3：若 x2xy y 14 ，2 yxyx28，则 x+y的值为例3、方程x2x 60的解为（）A. x13,X22 B. %3，X2 C

5、.X13,X23例4、解方程：x22 .、31x2、340例5、已知2x23xy 2y20,则x的值为oxy变式:已知2x2 3xy 2y20,且 xo,yo,则 x y的值为oooxy针对练习:D. X!2,x2 1、下列说法中:方程x2 px0的二根为人，X2，则pxq (x xj(x X2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2(a 2)(a 3) x2 y2(x y)(. x 、y)( x . y) 方程(3x 1)2 7 0 可变形为(3x 1. 7)(3x 17) 0正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2、以1- 7与1.7为根的一元二次方程是（

6、）2x 602B. x 2x60c. y22y 6 02D. y 2y 60 3、元二次方程，要求二次项系数不为写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为写出一个一二1,且两根互为倒数:1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y 满足 x y 3 x y20 ,贝U x+y的值为（A、-1 或-25、方程:x2B、-1 或 2 丄2x2的解是C、1或-2 6、已知.6x2 xy . 6y20，且求2x6y的值。v3x y方程 1999x 219982000x的较大根为 r ,方程22007 x22008x10的较小根为s,则s-r的值为ax2 bx c 0 a2ab2 4ac4a2在解方程中，多不

7、用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式x2y2 2x 4y7的最小值。例3、已知x2y2 4x 6y 130,x、y为实数,求xy的值。例4、分解因式:4x212x 3针对练习: 1、试用配方法说明210x 7x 4的值恒小于0。 2、已知x2 3、若 t23x 12x 9，则t的最大值为，最小值为4. a 22.,b14，那么a2b 3c的值为例1、选择适当方法解下列方程:a0,且 b2 4、如果 a b Jc 114ac 31 x 26.3x68. x2 4x 3x2 4x 10

8、x 1 3x 12x 5例2、在实数范围内分解因式:(1) x22.2x 3 ；(2)4x2 8x1.2 2x 4xy5y2如果在有理数范围内不能分解,说明：对于二次三项式 ax2 bx c的因式分解,般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0,求出两根，再写成2ax bx c = a(x 为)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题:例1、已知x23x20，求代数式x忙x21的值。例2、如果x0，那么代数式x3例3、已知a是元二次方程x2 3x 12x2 7的值。32a 2a

9、5a 1 居0的一根，求2的值。a 1例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)x2 5xy 6y20.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x22. kx 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是()A. m 0且m 1B. m 0 C. m 1D. m 1例3、已

10、知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰 ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长。例4、已知二次三项式 9x2(m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组mx2y2ya6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.针对练习: 1、当 k时，关于x的二次三项式x2kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么? 3、已知方程mx2 mx 20有两个不相等的实数根，则 m的值是y kx 2, 4、k为何值时，方程组 2 y

11、4x 2y 10.(1) 有两组相等的实数解，并求此解；(2) 有两组不相等的实数解；(3) 没有实数解2m 4k 0的根与m均为有理数? 5、当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2例1、关于x的方程 m 1 x2 2mx 30有两个实数根，则m为,只有一个根，则m为。3根的情况。例2、不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x k k2x 2k 0均有实数根，问这两方程例3、如果关于x的方程x2 kx 20及方程x2是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、

12、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、 某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少31-，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21 一还要盈利丄，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？(结果精确到0.1，3、133.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,

13、一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少?（2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地

14、同时出发相向而行，两人相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于axbxc 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。bcX2-aa例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程22x8x 70的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A. 3B.3C.6D. 6例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 10有两个不相等的实数根 X1,X2，k的值；若不1）时，小明因看错-9和-1。你知道（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 常数项，而得到解