向量的内积与正交向量组PPT学习教案

1、会计学1 向量的内积与正交向量组向量的内积与正交向量组 2021年7月18日星期日2 5.1 向量的内积与正交向量组 一、向量的内积 1. def：设列向量 1212 , TT nn a aab bb 内积 , T 1 2 12 , n n b b a aa b 1 122nn a ba ba b “对乘加” 第1页/共18页 2021年7月18日星期日3 2.性质 q交换律： , q结合律： ,kkk q分配律： , 222 12 ,0 n aaa q： 第2页/共18页 2021年7月18日星期日4 3.模(范数)： 222 12 , n aaa q非负性： 0 q齐次性： kk q三角不

2、等式： 4.单位向量： 1 单位化： 0 5.夹角：, cos 6.正交： ,0 零向量与任意向量都正交 第3页/共18页 2021年7月18日星期日5 二、正交向量组与施密特正交化方法 (P132定义5.1.4) (P133定义5.1.5) 第4页/共18页 2021年7月18日星期日6 3. 定理1：正交向量组必线性无关. 4. 定理2：任一线性无关的向量组都可化为(标准) 正交向量组. 施密特正交化方法（递推公式）： 正交化： 11 121 121 112211 2,3, , , kkkk kkk kk km 单位化： 1,2, k k k km 正交向量组 标准正交向量组 (P132定

3、理5.1.1) 第5页/共18页 2021年7月18日星期日7 例1 (P133例5.1.2) 第6页/共18页 2021年7月18日星期日8 例2 (P134例5.1.3) 第7页/共18页 2021年7月18日星期日9 三、正交矩阵与正交变换 2. 性质 q： 1T AA 1A q： q： (P135定义5.1.6) (P136定理5.1.2) 第8页/共18页 2021年7月18日星期日10 1121111121 1222221222 1212 nn nnT nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa A A aaaaaa 11121 21222 12 , , , n n nnnn 1

4、00 010 001 ,0 ,1 ij ii ij ij 12 , n 是正交规范向量组 第9页/共18页 2021年7月18日星期日11 例1 第10页/共18页 2021年7月18日星期日12 例2 第11页/共18页 2021年7月18日星期日13 TTTT yy yx P Pxx xx 即：正交变换不改变向量的长度 (P136定义5.1.7) 第12页/共18页 2021年7月18日星期日14 q内积： , 1 12 2nn aba ba b “对乘加” q模(范数)： 222 12 , n aaa q单位化： 0 q正交： ,0 q正交向量组必线性无关. 复习 第13页/共18页 2

5、021年7月18日星期日15 q施密特正交化方法（递推公式）： 正交化： 11 121 121 112211 2,3, , , kkkk kkk kk km 单位化： 1,2, k k k km 正交向量组 标准正交向量组 第14页/共18页 2021年7月18日星期日16 小 结 q内积： , 1 12 2nn aba ba b “对乘加” q模(范数)： 222 12 , n aaa q单位化： 0 q正交： ,0 q正交向量组必线性无关. 第15页/共18页 2021年7月18日星期日17 q施密特正交化方法（递推公式）： 正交化： 11 121 121 112211 2,3, , , kkkk kkk kk km 单位化： 1,2, k k k km 正交向量组 标准正