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1、平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 注意向量和数量的区别 . 向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移 .举例 1uuurr( 1,3) 平移后得到的向量是 _.结果： (3,0)已知 A (1,2) ， B(4,2) ，则把向量 AB按向量 a2.零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：r0 ，规定：零向量的方向是任意的；uuuruuur3.单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB）；（与 AB 共线的单位向量是uuur|AB|4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向

2、量叫相等向量，相等向量有传递性； rrr 5.平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a、 b 叫做平行向量，记作： b ，ra规定： 零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！ （因为有0 ) ；uuuruuur三点 A、B、C 共线AB、AC 共线 .rr6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量记作a .r rrr举例 2 如下列命题：（ 1）若 | a | | b | ，则 ab .（ 2

3、）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. uuur uuuur（ 3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形 .uuuruuuur（4）若 ABCD 是平行四边形，则 ABDC .rrrrrr（5）若 a b ， bc ，则 a c .rrrrrr其中正确的是.结果：（4）（ 5）（6）若 a / /b ， b / /c 则 a / / c .二、向量的表示方法uuur1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如rrra ， b ，c 等；rr3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴

4、、 y 轴方向相同的两个单位向量ri, j 为基底，则平面内的任一向量rrrrr(x, y) 叫a 可表示为 axiyj( x, y) ，称 ( x, y) 为向量 a 的坐标，ar做向量 a 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理r定理设rr同一平面内的一组基底向量，12a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对re , err( 1 , 2 ) ，使 a1e12e2 .rr（1）定理核心：rrra1e12e2 ；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成 .（3）向量的正交分解：当rrrrrr的正

5、交分解e1,e2时，就说 a1e12e2为对向量 a举例 3rrr1,2)r.结果：1 r3r（1）若 a(1,1) ， b(1, 1) ， c (，则 ca2b .2（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Br(0,0)r(1, 2)B.rrC.rr(6,10)r(2,r13A. e1， e2e1( 1,2) ， e2 (5,7)e1 (3,5)， e2D. e13) ， e2,4uuur uuuruuurruuurruuurrr2.结果：（3）已知 AD, BE 分别是 ABC 的边 BC ， AC 上的中线 , 且 ADa， BEb , 则 BC 可用向量 a ,b 表示为2 r

6、4 rab .33uuuruuuruuuruuuruuurs的值是.结果： 0.（4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB ， CDrABsAC ，则 r四、实数与向量的积rr实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：（ 1）模： |r|ra | | a |；rrrr（ 2）方向：当0时，的方向与的方向相a 的方向与a 的方向相同，当0 时， aa1平面向量基础知识复习反，当0 时，rra0 ，注意：ra 0 .五、平面向量的数量积rruuurruuurr1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量AOBa ， b ，作 OAa ， OBb ，则把为向量rra

7、 ， b 的夹角 .rrr当rrr0 时， a ， b 同向；当时， a ， b 反向；当时， a ， b 垂直 .rr22. 平面向量的数量积，我们把数量：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为rr，记作：r rrrrr叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积）a b ，即 ab | a | |b | cos .(0) 称rr| a | b | cos规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.uuuruuur uuuruuuruuur结果： 9.举例 4 （1） ABC 中， | AB| 3，|AC| 4，|BC| 5，则 AB BC _.（ 2）已知（

8、 3）已知（ 4）已知rar| a |r r a,b1r0,1rrr1,， b2， cakb2rrrr2 ， | b |5 ， a b3 ，则 | a是两个非零向量，且rrr| a | | b | | arrrrr，则 k _.结果： 1.， dab ， c 与 d 的夹角为r4_.结果： 23 .b |rrrr结果： 30o.b |，则 a 与 ab 的夹角为 _.rrr0.3. 向量 b 在向量 a 上的投影： | b | cos ，它是一个实数，但不一定大于举例 5已知rrrrrr结果：12.| a | 3 ， | b | 5 ，且 ab12 ，则向量 a在向量 b 上的投影为 _.5r

9、rrrrrrr4.的模上的投影的积 .a b 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a| a | 与 b 在 a5. 向量数量积的性质：设两个非零向量rr，则：a ， b ，其夹角为（rrrr0 ；1） aba b（2）当rrrrrrr 2r rr 2rr2；a 、 b 同向时， ab| a | b | ，特别地，aaa| a | a |arrrrr、rab| a | b | 是 ab 同向的 充要分条件 ；rrrrrrrrrrrr当 a 、 b 反向时，ab| a | b |，a b| a | b | 是 a、 b 反向的 充要分条件 ；当为锐角时，rr0 ，且rrr r0 是为锐角的 必要不充

10、分条件 ；a ba 、 b 不同向，a b当为钝角时，rr0 ，且rrr r0 是为钝角的 必要不充分条件 .a ba 、 b 不反向； a brrrrrrrr（ 3）非零向量的计算公式： cosaba ， b 夹角rr； ab| a | b |.rr| a | b |举例6r(,2),2)r的取值范围是 _.结果：40 且（ 1）已知 a， b (3，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则或31 ；3uuuruuur1，若 1Suuuruuur的取值范围是 _.结果：,；（2）已知 OFQ 的面积为 S ，且 OFFQ3 ，则OF ，FQ 夹角3r224r(cos y,sin y) ，且满足rr

11、rr0 ）.（3）已知 a(cos x,sin x) ， b| ka b | 3 | a kb | （其中 krrrrrr的大小 .rr k211，用 k 表示 ab ；求 ab 的最小值，并求此时a与 b 的夹角结果： ab4k( k 0) ；最小值为260o .六、向量的运算1. 几何运算（ 1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.uuurruuurruuur运算形式：若 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做作图：略 .注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.rrrruuuruuuruuura 与 b 的和，即 abABBCAC ；2平面向量基础知识复习（ 2）向量的减法

12、运算法则：三角形法则 .rrruuuruuuruuuruuurruuur运算形式：若 ABa ， ACb ，则 abABACCA，即由减向量的终点指向被减向量的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7uuuruuuruuuruuur（1）化简： ABBCCDr； CB； 0uuur（2）若正方形ABCD 的边长为1， ABuuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuur.uuur； ABADDC； (ABCD)( ACBD )结果： AD ；ruuurruuurrrrr.结果： 22 ；a ， BCb ， ACc，则 | abc |（3）若 O 是 ABC 所在平

13、面内一点，且满足uuuruuuruuuruuuruuur结果：直角三角形；OBOCOBOC 2OA ，则 ABC 的形状为 .uuuruuuruuuruuurr| uuurAP |，则的值为.（4）若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足 PABPCP 0，设|PD|结果： 2；uuuruuuruuurr，则 ABC 的内角 C 为 .结果： 120o .（5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0r( x1 , y1)r(x2 , y2) ，则2. 坐标运算 ：设 a， brr（ 1）向量的加减法运算 ： ar( x1x2 , y1y2 ) ，

14、 ar(x1x2 , y1y2 ) .bb举例 8 （1）已知点 A(2,3)， B(5,4)， C(7,10)uuuruuuruuurR)，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平分，若 APABAC (线上 .结果：1；21 uuur（2）已知 A (2,3)， B(1,4) ，且(sin x,cos y) ， x, y(,) ，则 x y.结果：或；2AB62uuruuruur22uuruuruuruur（3）已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1(3,4)，F2(2,5) ，F3(3,1) ，则合力 FF1F2F3 的终点坐标是.结果：(9,1) .r(x1, y1 )(x1 ,y1

15、) .（ 2）实数与向量的积 ： auuur（ 3）若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 AB( x2x1 , y2y1 ) ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例 9 设 A(2,3)， B( 1,5)uuur1 uuuruuuruuur结果：11，且 AC3AB，AD3AB ，则 C, D 的坐标分别是 _.(1, ),( 7,9) .r3rx1x2y1 y2 .（ 4）平面向量数量积 ： ab举例 10rr(sin x,sinr( 1,0) .已知向量 a (sin x,cos x) ， bx) ， c（1）若 x，求向量 ar

16、 、 cr 的夹角；3r（2）若 x3f (x)r1，求的值 . 结果：（1） 150o；（2）1或21 ., ，函数ab 的最大值为2284r 2r2x2y2rx22.（ 5）向量的模 ： a| a | a |y举例 11rr60o，那么rr .结果：13 .已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为| a3b |（ 6）两点间的距离 ：若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2)，则 |AB|( x2x1 )2( y2y1)2 .举例 12 如图，在平面斜坐标系xOy 中， xOy60o ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若uuurrrrrOPxe1ye2 ，其中

17、 e1 ,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，则 P 点斜坐标为 (x, y) .（1）若点 P 的斜坐标为 (2,2)，求 P到O的距离 |PO|；（2）求以 O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程 .结果：（ 1）2；（2） x2 y2xy1 0 .y60oOx七、向量的运算律rrrrrrrrr1.r(交换律： abba ，a) a ， a bb a ；2.rrrrrrrrrrrrrrrrrr结合律： abc(ab )c ， abca(bc) ， (a)b(a b )a ( b) ；3.分配律： (rrrrrrr，rrrr rrr.)aaa ，( ab )ab

18、(ab ) ca cbc举例 13 给出下列命题：rrrrrr r；rrrrrrrr2r 2rrr 2；a(bc)aba ca ( bc)(ab )c ；(ab )| a |2| a | b | b |3平面向量基础知识复习rrrrrrr rrrrrr 2rr rrr rr 2r 2rr2r 2r rr 22；a bb2. 若 ab0 ，则 a0 或 b0 ；若 a bc b 则 ac ； | a |ar 2r； (a b )ab； (ab )a2a bbaa其中正确的是.结果： .说明：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，

19、两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即rrrrrra(bc )(ab)c ，为什么？八、向量平行( 共线 ) 的充要条件rrr rrr2rr2x1 y2y1 x20 .a / /ba b(a b)(| a | b |)举例 14(1)rrrr结果： 2.若向量 a( x,1) ， b(4, x) ，当 x _时， a 与 b 共线且方向相同 .rrrrrrrrr r，则 x.结果： 4.（2）已知 a(1,1) ， b(4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / /v（3）设

20、uuuruuur(4,5)uuur(10,k) ，则 k_ 时， A,B ,C 共线 .结果：2或11.PA(k,12) ， PB， PC九、向量垂直的充要条件rrrrrrr rx1 x2y1 y20 .a ba b 0| a b | | a b |uuuruuuruuuruuur特别地ABACABAC.uuuruuuruuuruuur|AB|AC|AB| AC|举例 15 (1)uuuruuuruuuruuur已知 OA ( 1,2) ， OB(3, m) ，若 OAOB ，则 m（2）以原点 O 和 A (4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，rrrrrr的坐标是（3）已知 n(a

21、 ,b) 向量 nm ，且| n | m | ，则 m.结果： m 3 ；2B90，则点 B 的坐标是.结果： (1,3)或（ 3， 1）；.结果： (b, a) 或 ( b, a) .十、线段的定比分点1.Puuuruuur，定义：设点是直线1 2上异于1、 2的任意一点， 若存在一个实数，使 1PP2PPPPuuuurPPuuuur则实数叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比， P 点叫做有向线段P1 P2 的以定比为的定比分点 .2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 uuuur（ 1）P内分线段，即点P在线段 12P1 P2PP 上0；（ 2） P 外分线段uuuur时，点 P

22、在线段1 2 的延长线上1，点 P 在线段1 2的反P1 P2PPPP向延长线上10 .uuuuruuuur注： 若点 P 分有向线段，则点 P 分有向线段所成的比为 1 .PP12 所成的比为P2P1举例 16uuuruuur结果：7 .若点 P 分 AB 所成的比为3 ，则 A分 BP所成的比为.433. 线段的定比分点坐标公式：设 1uuuur11，222)，点P(x, y)分有向线段1 2 所成的比为，则定比分点坐标公式为P (x , y )P ( x , yPPxx1x2 ,1(1) .yy1y2 .1xx1x2 ,特别地，当1时，就得到线段1 2 的中点坐标公式2PPy1y2 .y

23、说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确2(x, y)， (x1 , y1) 、 (x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.举例 17（1）若 M ( 3,uuuur1uuuur.结果： ( 6,72) ， N(6,1) ，且 MPMN ，则点 P 的坐标为) ；3uuuuruuuur3（2）已知 A (a ,0) ， B(3,2 a) ，直线 y1r.结果：或4 .ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM2MB ，则 a24平面向量基础知识复习十一、平移公式r(h,k) 平移至

24、 P(x , y ) ，则xxh ,；曲线 f ( x, y)r如果点 P(x, y) 按向量 ayyk.0 按向量 a (h,k)平移得曲线f (x h, y k)0 .说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（举例 18r3) 平移到 (1, 2) ，则按向量（1）按向量 a 把 (2,2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！r平移到点 _.结果： ( 8,3) ；a 把点 ( 7,2)（2）函数 ysin 2x 的图象按向量rr_.结果： ( ,1) .a 平移后，所得函数的解析式是y cos2 x 1 ，则 a4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrr2. 模的性质： | a | b | ab | a | b | .（ 1）右边等号成立条件：rrrrrrra、b 同向或 a、b 中有 0| ab |（ 2）左边等号成立条件：rrrrrrra、b 反向或 a、b 中有 0| ab |r rrrrrrr（ 3）当 a、b 不共线| a