同济六版高等数学第四章第二节课件PPT学习教案

1、会计学1 同济六版高等数学第四章第二节课件同济六版高等数学第四章第二节课件 第二类换元法第二类换元法 第一类换元法第一类换元法 xxxfd)()( uufd)( 设, )()(ufuF)(xu 可导, xxxfd)()(CxF)( )( d)( xu uuf )( )( xu CuF )(dxFxxxfd)()( 则有 第1页/共28页 下页 v定理1(换元积分公式) 设f(u)具有原函数, 且u(x)可导, 则有换元公式 )( )()()( xu duufdxxxf (也称配元法配元法 , 凑微分法凑微分法) 第2页/共28页 下页 一、第一类换元法 v定理1(换元积分公式) 设f(u)具有

2、原函数, 且u(x)可导, 则有换元公式 )( )()()()()( xu duufxdxfdxxxf CxFCuF xu )()( )( 设f(u)具有原函数F(u), 则 v换元积分过程 )( )()()()()( xu duufxdxfdxxxf )( )()()()()( xu duufxdxfdxxxf CxFCuF xu )()( )( )( )()()( xu duufdxxxf 第3页/共28页 CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( 例 1 )2(2cos)2(2cos2cos2xxddxxxxdx 例1 Cuudusincos 例 2 )23 (

3、 23 1 2 1 )23 ( 23 1 2 1 23 1 xd x dxx x dx x 例2 Cudx u |ln 2 11 2 1 Cx |23 |ln 2 1 例 3 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 例3 CeCe xu 2 )2(2cos)2(2cos2cos2xxddxxxxdx )2(2cos)2(2cos2cos2xxddxxxxdx CuudusincosCuudusincossin 2xC )23 ( 23 1 2 1 )23 ( 23 1 2 1 23 1 xd x dxx x dx x )23 ( 23 1 2 1 )23 ( 23 1

4、 2 1 23 1 xd x dxx x dx x Cudx u |ln 2 11 2 1 Cx |23 |ln 2 1 Cudx u |ln 2 11 2 1 Cx |23 |ln 2 1 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 CeCe xu 2 下页 第4页/共28页 例 4. )1 (1 2 1 )1 (1 2 1 1 22222 xdxdxxxdxxx 例 5. xd x dx x x xdxcos cos 1 cos sin

5、tan 例4 Cudu u |ln 1 例5 CxCuduu 2 3 2 2 3 2 1 )1 ( 3 1 3 1 2 1 Cxxdx |cos|lntan, Cxxdx |sin|lncot 积分公式： )1 (1 2 1 )1 (1 2 1 1 22222 xdxdxxxdxxx )1 (1 2 1 )1 (1 2 1 1 22222 xdxdxxxdxxx CxCuduu 2 3 2 2 3 2 1 )1 ( 3 1 3 1 2 1 CxCuduu 2 3 2 2 3 2 1 )1 ( 3 1 3 1 2 1 xd x dx x x xdxcos cos 1 cos sin tan xd

6、 x dx x x xdxcos cos 1 cos sin tan Cudu u |ln 1 Cudu u |ln 1 ln|cos x|C CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( 下页 第5页/共28页 CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( 例6 例 6. a x d a xa dx a xa dx xa 22 222 )(1 11 )(1 111 C a x a arctan 1 积分公式： 例7当a0时, dx a x a dx xa2 22 )(1 111 C

7、 a x a x d a x arcsin )(1 1 2 C a x a dx xa arctan 11 22 , C a x dx xa arcsin 1 22 a x d a xa dx a xa dx xa 22 222 )(1 11 )(1 111 a x d a xa dx a xa dx xa 22 222 )(1 11 )(1 111 dx a x a dx xa2 22 )(1 111 C a x a x d a x arcsin )(1 1 2 dx a x a dx xa2 22 )(1 111 C a x a x d a x arcsin )(1 1 2 dx a x

8、a dx xa2 22 )(1 111 C a x a x d a x arcsin )(1 1 2 下页 第6页/共28页 例8 CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( 例 9 dx axaxa dx ax ) 11 ( 2 11 22 11 2 1 dx ax dx axa )( 1 )( 1 2 1 axd ax axd axa Caxax a |ln|ln 2 1 C ax ax a |ln 2 1 C ax ax a dx ax |ln 2 11 22 dx axaxa dx ax ) 1

9、1 ( 2 11 22 积分公式： 下页 第7页/共28页 CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( CxFCuFduufxdxfdxxxf)()()()()()()( 例 10 x xd x xd xx dx ln21 )ln21 ( 2 1 ln21 ln )ln21 ( Cx |ln21 |ln 2 1 例 11 Cexdexdedx x e xxx x 333 3 3 2 3 3 2 2 例9 例10 x xd x xd xx dx ln21 )ln21 ( 2 1 ln21 ln )ln21 ( x xd x xd xx dx ln21 )ln21 ( 2

10、1 ln21 ln )ln21 ( Cexdexdedx x e xxx x 333 3 3 2 3 3 2 2Cexdexdedx x e xxx x 333 3 3 2 3 3 2 2Cexdexdedx x e xxx x 333 3 3 2 3 3 2 2 下页 第8页/共28页 含三角函数的积分： 例11 例12 例 12 xdxxxdxsinsinsin 23 xdxcos)cos1 ( 2 xxdxdcoscoscos 2 Cxx 3 cos 3 1 cos 例 13 xxdxxdxxsincossincossin 4252 xdxxsin)sin1 (sin 222 xdxxx

11、sin)sinsin2(sin 642 Cxxx 753 sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1 xdxxxdxsinsinsin 23 xdxcos)cos1 ( 2 xdxxxdxsinsinsin 23 xdxcos)cos1 ( 2 xxdxdcoscoscos 2 Cxx 3 cos 3 1 cos xxdxxdxxsincossincossin 4252 下页 第9页/共28页 例13 例14 例 14 )2cos( 2 1 2 2cos1 cos2 xdxdxdx x xdx Cxxxxddx 2sin 4 1 2 1 22cos 4 1 2 1 例 15 dxxxdx

12、224 )(coscos dxx 2 )2cos1 ( 2 1 dxxx)2cos2cos21 ( 4 1 2 dxxx)4cos 2 1 2cos2 2 3 ( 4 1 Cxxx)4sin 8 1 2sin 2 3 ( 4 1 Cxxx4sin 32 1 2sin 4 1 8 3 )2cos( 2 1 2 2cos1 cos2 xdxdxdx x xdx)2cos( 2 1 2 2cos1 cos2 xdxdxdx x xdx Cxxxxddx 2sin 4 1 2 1 22cos 4 1 2 1 dxxxdx 224 )(coscos dxx 2 )2cos1 ( 2 1 dxxxdx 2

13、24 )(coscos dxx 2 )2cos1 ( 2 1 下页 第10页/共28页 例 17 dx x xdx sin 1 csc 2 cos 2 tan 2 2 cos 2 sin2 1 2x x x d dx xx 例 16 dxxxxdxx)5cos(cos 2 1 2cos3cos 例15 例16 Cxx5sin 10 1 sin 2 1 CxxC x x x d |cotcsc|ln| 2 tan|ln 2 tan 2 tan dxxxxdxx)5cos(cos 2 1 2cos3cos dx x xdx sin 1 csc 2 cos 2 tan 2 2 cos 2 sin2

14、1 2x x x d dx xx dx x xdx sin 1 csc 2 cos 2 tan 2 2 cos 2 sin2 1 2x x x d dx xx dx x xdx sin 1 csc 2 cos 2 tan 2 2 cos 2 sin2 1 2x x x d dx xx CxxC x x x d |cotcsc|ln| 2 tan|ln 2 tan 2 tan CxxC x x x d |cotcsc|ln| 2 tan|ln 2 tan 2 tan Cxxxdx |cotcsc|lncsc 积分公式： 下页 第11页/共28页 例17 Cxxxdx |cotcsc|lncsc

15、例 18 dxxxdx) 2 csc(sec Cxx| ) 2 cot() 2 csc(|ln ln|sec xtan x|C dxxxdx) 2 csc(sec Cxxxdx |tansec|lnsec 积分公式： 首页 第12页/共28页 xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a 1 xxxf nn d)()2( 1 )( n xf n xd n 1 x x xf n d 1 )()3( )( n xf n xd n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 xxxfdcos)(sin)4( )(sin xfxsind xxxfdsin)(cos)5( )(cos xfxcosd

16、 第13页/共28页 1. 下列各题求积方法有何不同? x x 4 d ) 1 ( 2 4 d )2( x x x x x d 4 )3( 2 x x x d 4 )4( 2 2 2 4 d )5( x x 2 4 d )6( xx x x x 4 )4(d 2 2 2 2 1 )(1 )d( x x 2 2 2 1 4 )4(d x x x x d 4 4 1 2 4 1 xx 2 1 2 1 xd 2 )2(4x )2(dx 第14页/共28页 x xx d ) 1( 1 10 . ) 1( d 10 xx x 提示提示: 法法1 法法2 法法3 ) 1( d 10 xx x 10 )x

17、) 1( d 10 xx x ) 1( 1010 xx ) 1( d 10 xx x )1 ( d 1011 xx x 10 1x 10 d x 10 1 10 (x 10 d x 10 1 第15页/共28页 v定理2 设x(t)是单调的、可导的函数, 并且(t)0 又设f (t)(t)具有原函数F(t), 则有换元公式 其中t1(x)是x(t)的反函数 这是因为, 由复合函数和反函数求导法则, )()( 1 )()()()( 1 xftf dt dx ttf dx dt tFxF CxFtFdtttfdxxf )()()()()( 1 下页 )()( 1 )()()()( 1 xftf d

18、t dx ttf dx dt tFxF )()( 1 )()()()( 1 xftf dt dx ttf dx dt tFxF )()( 1 )()()()( 1 xftf dt dx ttf dx dt tFxF 第16页/共28页 v常用的变换 令) 2 2 ( sin ttax, 则 tatataxacoscossin1 2222 令) 2 2 ( tan ttax, 则 tatataaxsecsectan1 2222 tatataxacoscossin1 2222 dxacos tdt tatataaxsecsectan1 2222 dxasec2tdt 下页 令) 2 0( sec

19、ttax, 则当 xa 时, tatataaxtantan1sec 2222 tatataaxtantan1sec 2222 , dxasec ttan tdt tatataxacoscossin1 2222 , dxacos tdt tatataaxtantan1sec 2222 , dxasec ttan tdt tatataaxsecsectan1 2222 , dxasec2tdt 第17页/共28页 C a xa a xa a xa 2222 2 arcsin 2 tdtatdtatadxxa tax 22 sin 22 coscoscos 令 CxFCtFdtttfdxxf tx

20、)()()()( )( 1 )( 例19 例 19 求dxxa 22 (a0) 解 tdtatdtatadxxa tax 22 sin 22 coscoscos 令 tdtatdtatadxxa tax 22 sin 22 coscoscos 令 下页 Ctta)2sin 4 1 2 1 ( 2 Ctt a t a cossin 22 22 Cxax a xa 22 2 2 1 arcsin 2 Ctta)2sin 4 1 2 1 ( 2 Ctt a t a cossin 22 22 dt t atdta 2 2cos1 cos 222 dt t atdta 2 2cos1 cos 222 注

21、 进行变换和逆变换均要根据此图 积分表 第18页/共28页 CxFCtFdtttfdxxf tx )()()()( )( 1 )( 例20 例 20 求 22 ax dx (a0) 解: (C1Clna) Ctttdtdt ta ta ax dx tax |tansec|lnsec sec sec 2 tan 22 令 Ctttdtdt ta ta ax dx tax |tansec|lnsec sec sec 2 tan 22 令 Ctttdtdt ta ta ax dx tax |tansec|lnsec sec sec 2 tan 22 令 下页 Ctttdt|tansec|lnsec

22、C a axx C a ax a x 2222 ln)ln( 1 22 )ln(Caxx, Ctttdt|tansec|lnsec C a axx C a ax a x 2222 ln)ln( 积分表 第19页/共28页 1 22 22 |ln|lnCaxxC a ax a x 例21 例 23 求 22 ax dx (a0) 解 当xa 时, Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 (C1Clna) 1 22 22 |ln|lnCaxxC a ax a x Ctttdtdt ta tta ax dx tax |t

23、ansec|lnsec tan tansec sec 22 令 Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 下页积分表 第20页/共28页 当x0) 解 当xa 时, Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22

24、令 (C1Clna) 1 22 22 |ln|lnCaxxC a ax a x Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 Ctttdtdt ta tta ax dx tax |tansec|lnsec tan tansec sec 22 令 积分表 第21页/共28页 原式 2 1 ) 1( 22t a 2 2 1 a .d 4 22 x x xa 解解: 令, 1 t x 则tx t dd 2 1 原式 t