同济大学微积分第三版课件第二章第十一节PPT学习教案

1、会计学1 同济大学微积分第三版课件第二章第十同济大学微积分第三版课件第二章第十 一节一节 本节要点 本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方 一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 法. 第1页/共29页 1.问题的引出 在下图中, 我们看到弧段 12 M M 到点 再到点 时, 2 M 3 M 得比较比较厉害. 大的差异. 1 M 2 M 3 M 23 M M 比较平坦, 而弧段 弯曲 1 M 点沿这段弧从点 到 切线所转过的角有较 即动 第2页/共29页 但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度. 例如在下图中, 两段弧 与 有相同的切线转 12 M M 12 M M 角, 但曲线的

2、弯曲程度则是不同的. 1 M 2 M 1 M 2 M 第3页/共29页 2.曲率的概念 则 的弧长为 , MM 设平面曲线 是光滑的, 在 上取一点 作为度量弧 CC 0 M 度的基点, 设点 是曲线上任意一点, 弧 的弧长 0 M MM 为 点 是曲线 上的另外一点, 弧 的弧长为 0 M M , s M C 点 处切线的倾 ,ss M 角为 处切线的倾角为 , M M M x y O s , s 切线的转角为 第4页/共29页 称 为弧段 的平均曲率, 记为 即 s MM ,K .K s 若当 时, 平均曲率的极限存在, 则称此极限为 0s lim. MM K s ,K MC 曲线 在点

3、处的曲率, 记为 即 第5页/共29页 0,K s 从而曲率 lim0. MM K s 即: 直线上任意点处的曲率为零. 例1 对直线而言, 动点从 到 相应的切线的转角 M M 0, 为 则 第6页/共29页 sR 1 ,K sR 1 lim. MM K sR 因而, 此说明圆周上每一点的曲率相同, 例2 设曲线是半径为 的圆, 则 平均曲 ,sR R 率为 且等于半径的倒数. 第7页/共29页 设曲线的直角坐标方程为 即曲 2 ,yf xCa b 线是光滑的. 在曲线上取定点 作为度量弧长 000 ,Mxy 的基点, 并且设曲线在区间 上对应的一段弧长为 0, x x 曲线上的点 与 ,s

4、 x,M x y 0 ,M xx yyx xxx ,ss xxs x M M x y O s a b yf x 之间的一段弧长为 第8页/共29页 而线段 的长度为 MM 22 ,MMxy 并注意到 0 lim1, x s MM 因 22 000 limlimlim xxx xyss MM xMMxx 2 1, y 第9页/共29页 又因, 即 tan, arctan,yy 从而 2 0 d lim, d1 x y xxy 由此即得: 0 limlim MMx K ss 3/ 2 02 = lim. 1 x y x s y x 第10页/共29页 , , , xt t yt 其中: 222 ,

5、0,x yCxy 若曲线 由参数方程 C 3/2 22 . tttt K tt 则 第11页/共29页 例3 求 在任意点处的曲率. lnyx 解 因 2 11 ,yy xx 由计算公式得曲线在任一点处的曲率为 2 3/23/23/2 222 1/ , 11 1/1 y xx K yxx 注意到. 0 lim0,lim0, xx K xK x 此说明当 第12页/共29页 或 曲线就越平坦. 0 x x 12345 -4 -3 -2 -1 1 第13页/共29页 例4 计算抛物线 上任意一点处的曲 2 yaxbxc 解 因 代入公式得 2,2 .yaxb ya 3/2 2 2 , 12 a K

6、 axb 由于在上式中, 分子为常数, 故当 时, 曲率 20axb 达到最大, 即当 曲率取最大值, 此时, 对 K/2xba 率, 并求出曲率最大处的位置. 应曲线上的点为抛物线的顶点. 第14页/共29页 曲率圆与曲率半径 设曲线 在点 处的曲率为 作出 C,M x y0 ,K K 点 处曲线 的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取 MC 点 使 ,D 1 .MD K x y o D 1 K 以 为圆心, 为半径作圆, D 称该圆为曲线 在点 的曲率 CM 圆, 为曲线 在 处的曲率 DCM 第15页/共29页 中心, 半径 称为曲线 在点 处的曲率半径. CM 由定义可知, 曲线 在点

7、 处与其曲率圆有相同的切 CM 线与曲率, 并且在点 的邻近处有相同的凹向. M 第16页/共29页 例5 求曲线 上的点, 使曲线在该点的曲率为最 lnyx 解 由例3, 知曲线在任意点的曲率为 3/2 2 , 1 x K x 求导得 3/21/2 22 22 35/2 22 3 112 13 2 , 11 x xxxx xx K xx 大, 并求相应的曲率圆. 第17页/共29页 的图形 K x 第18页/共29页 令 1 0,. 2 x Kx 3 2 2 2 3 . 2 K 曲率半径为 点的坐标为 法线斜 3/2 3 . 2 R 11 ,ln2 , 22 率为 法线方程为 1 . 2 k

8、 111 ln2. 222 yx 此时曲率为 第19页/共29页 在法线上求一点, 使该点与所给点的距离等于半径. 即有 22 1127 ln2. 242 xy 将法线方程代入, 则有 22 11127 . 2422 xx 得 从而得到圆心坐标为 2,x 11 2,ln2 . 22 第20页/共29页 因而曲率圆方程为 2 2 1127 2ln2. 224 xy 第21页/共29页 例6 铁路弯道的缓和曲线 曲率是零, 而半径为 的圆弧的曲率是 如果直道 R1/,R 圆弧形的（称为主弯道）. 为了使列车在转弯时既平稳 又安全, 除了必须使直道与弯道相切外, 还须考虑轨道 曲线的曲率在切点邻近连

9、续地变化. 我们知道, 直线的 与圆弧直接相切, 则在切点处曲率有一跳跃度. 只有 R 当 充分大, 列车在转弯时才显得比较平稳. 但这并不 符合实际. 故需要在直道和弯道之间加一段称作缓和曲 线的弯道, 才使得铁轨的曲率连续地从零过度到 1/.R 铁路弯道的主要部分是呈 第22页/共29页 R 00 ,A xy x y O B 圆弧道（主弯道） 直道 缓和弯道 第23页/共29页 目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线. 在上图 中, 以 表示直道, 表示半径为 的圆弧弯 0,0 xy ABR 道, 表示缓和弯道, 设 点的坐标为 并设 OAA 00 ,xy 的方程为 其中 为缓和曲线 的长度, OA 3 /,yxaRllOA a 是待定常数. 第24页/共29页 由于 的曲率 OA 3/23/2 2 2 61 , 1 3 1 y x K aRl y x aRl 可见当 从 变化至 时, 曲率连续地从 变到 x0 0 x 0 0 3/2 2 2 0 61 , 3 1 A x K aRl x aRl 第25页/共29页 因 故 0 /1,xl