空气动力学：空气动力学作业（第二章）

1、第二章 流体运动学与动力学基础2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？答：流线是某瞬时在流场中的一条空间几何曲线，该曲线上任意一点的切线方向和该点的流体质点速度方向平行。由通过空间某封闭曲线（非流线）的所有流线围成的管叫做流管。流线是欧拉观点下描述流动的曲线，是由同一时刻不同质点组成的；迹线是拉格朗日观点下描述流动的曲线，是给定质点在空间走过的轨迹。2-2 在直角坐标系中，流场速度分量的分布为试证明过点（1,7）的流线方程为证明：流线的控制方程为 （1）将题中的表达式带入（1）中，有 （2）对（2）进行整理，可得 （3）对（3）进行积分，可得 （4）将点（1,7）的坐标带入（4）式可得

2、。从而过点（1,7）的流线方程为 （5）2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为求速度的分量的表达式。解：对流线表达式两端取全微分，有 （1）整理（1）式可得 （2） （3）流线的控制方程为 （4）结合（3）式与（4）式，可得 （5）对速度大小表达式两边取平方，可得 （6）联立求解方程（5）和（6），可得两组速度分量的表达式 （7）2-4 求第2-3题中速度分量的最大变化率及方向。解：速度分量的方向导数为 （1）则其最大的变化率为，最大变化率的方向为。2-5试证在柱坐标系下，速度的散度表达式为证明一（利用数学上散度的定义）：在柱坐标系下选取一个微元几何体，其中心坐标为，中心点的速度为，三边的

3、长度为，利用泰勒展开计算速度矢量通过控制体表面的通量为 （1）利用数学上散度的定义，则有 （2）证明二（利用流体力学中拉格朗日观点框架下散度的物理含义）：流体力学中拉格朗日观点框架下散度的物理含义：流体微团的相对体积膨胀率，即单位体积在单位时间内的增长量。在柱坐标系下选取一个流体微团，在时刻，其中其一点的坐标为，速度为，三边的长度为，经过时刻后该流体微团的三个边的长度变为（利用泰勒展开） （1）则流体微团单位体积在单位时间内的增长量为 （2）证明三（根据数学上的坐标变换）：速度之间的转换关系为 （1）坐标之间的变换关系式为 （2）将（1）（2）两式分别代入速度偏导数的表达式 (3) (4)将（

4、3）（4）两式带入直角坐标系下的速度散度表达式中，有 （5）2-6在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？解：对于不可压缩流动，质量守恒方程简化为（a），该流动满足质量守恒；（b），该流动不满足质量守恒；（c），该流动不满足质量守恒；（d）对流线方程两边取微分，可得 （1）整理（1）可得 （2）已知条件可转换为 （3）联立求解（2）（3），可得 （4）则速度场的梯度为 （5）该流动满足质量守恒。2-7流体运动具有分速度试问流场是否有旋？若无旋，求出其速度位函数。解： （1）所以流动是无旋的，假设速度位函数为，则有 （2）可得，速度位函数为 （3）2-8有不可压流体做定常运动，其速度场为其

5、中为常数，求（1） 线变形率，角变形率；（2） 流场是否有旋；（3） 是否有速度位函数存在。解：（1） 线变形率为 （1）角变形率为 （2）（2） 角速度为 （3）所以流场是无旋的。（3） 因为流场是无旋的，所以存在速度位函数，则有 （4）可得，速度位函数为 （5）2-9二维位流流场为，求曲线上点（2,-1）处的切向速度分量。解：将曲线进行变换，可得 （1）将（1）式的两段对求全导数，可得 （2）则曲线在点（2,-1）处的切向量为 （4）流场在曲线上该点处的速度分量为 （5）2-10设下列几种函数分别代表流动的3个分速度：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。其中是常数。问哪几种情况可以代表

6、不可压流动？解：（1）（2）（3）（4）（5）可见，（1）（2）（4）为不可压缩流动。2-11某一个流场可以描述为。问应具有什么形式，流场才能满足连续条件？为什么？解：由流线方程可知，流线一系列同心圆，因此有 （1）将（1）式中的速度分量带入散度表达式，有 （2）可见，不论具有什么形式，上式恒成立，即流场始终满足连续条件。2-12二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？解：二维点涡诱导的无旋流场速度分量为 （1）将（1）式中的速度分量带入散度表达式，有 （2）可见，上式恒成立，即二维点涡诱导的无旋流场满足连续条件。2-13 某二维流动可描述为V=x2+4xy+5y2，y2+xy=Constan

7、t。试用两种方法证明图中对rot V在阴影区域的面积分等于。对流线表达式两端取全微分，有 （1）对速度大小表达式两边取平方，可得 （2）联立求解方程（1）和（2），可得两组速度分量的表达式 （3）证明一：速度的旋度为，暗影面积为2，故面积分为。证明二：利用涡通量与环量的关系，可得旋度在阴影区域的面积分为 （4）2-14一架小飞机以180km/h的速度在海平面上飞行，求驻点处的表压以及相对流速为60m/s处的表压。（表压是指大于大气压的那部分压强）解：远前方来流的速度为，压强为。利用伯努利方程可得驻点处的表压为 （1）利用伯努利方程可得相对流速为60m/s处的表压为 （2）2-30有一灭火机的管道如下图，出水口直径7.5cm，入水口直径30cm，流量为3640L/min，进水口水压2105N/m2。出水口与水平面的夹角为30。求灭火机管道受的水的反作用力。解：选取灭火机入水口、出水口和固壁边界所围成的空间区域为控制体进行研究。水流不可压，由质量守恒知体积