实复有理多项式理论

1、实复有理多项式理论 多项式的根多项式的根, 复数域上的不可约多项式复数域上的不可约多项式 定理定理() 在在 中，用中，用 去除去除 所得的余所得的余 式是式是 。 注注 （1） 整除整除 当且仅当当且仅当 ； （2）对）对 ，若，若 ，则称，则称 是是 在中的一个根；在中的一个根； （3）若）若 是是 的的k重因式，则称重因式，则称 是是 的的k 重根；重根； 时称，时称， 时称重根。时称重根。 （4） 中的中的 次多项式在次多项式在 中至多有中至多有 个个 根；根； K xx a ( )f x ( )f a x a ( )f x ( )0f a ( ) ,f xK xcK ( )0f c

2、c ( )f x x a ( )f x a ( )f x 1k 1k K xK(0)n n 实复有理多项式理论 （5）设）设 是是 中次数不超过中次数不超过 的多项式，的多项式， 若存在若存在 中中 个互不相同的数个互不相同的数 使得使得 ， 那么那么 例例 证明证明 ( )f x K xn K1n 121 , n aaa ()0,1,2,1 i f ain ( )0f x 2222 2222 2222 2222 (1)(2)(3) (1)(2)(3) 0 (1)(2)(3) (1)(2)(3) aaaa bbbb cccc dddd 实复有理多项式理论 证明证明 情况情况1 中至少有两个相同

3、中至少有两个相同 此时，该行列式的第此时，该行列式的第2、3、4行至少有两行行至少有两行 相同，所以行列式等于零。相同，所以行列式等于零。 情况情况2 互不相同互不相同 令令 dcb, dcb, 2222 2222 2222 2222 )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( )( dddd cccc bbbb xxxx xf 实复有理多项式理论 ( )f x则则 是次数不超过是次数不超过2 2的多项式。因为的多项式。因为 故故 有有3个不同的根。根据注个不同的根。根据注(5)， ，因，因 此此 ( )( )( )0f bf cf d ( )f x ( )

4、0f x 2222 2222 2222 2222 (1)(2)(3) (1)(2)(3) ( )0 (1)(2)(3) (1)(2)(3) aaaa bbbb f a cccc dddd 实复有理多项式理论 多项式函数多项式函数 设设 ，据此可构造，据此可构造 到自身的映射到自身的映射 称之为称之为 上的多项式函数。此函数是由上的多项式函数。此函数是由 中中 的多项式的多项式 确定的确定的 上的函数。上的函数。 定理定理 数域数域 上的两个多项式上的两个多项式 如果不如果不 相等，那么它们确定的相等，那么它们确定的 上的多项式函数上的多项式函数 也不相等。也不相等。 ( ) f xK xK :

5、 ( ) fKK af a K K x K K ( ), ( )f x g x K fg与 ( )f x 实复有理多项式理论 我们将数域我们将数域 上的多项式函数组成的集合记上的多项式函数组成的集合记 为为 。那么。那么 是一个双射。是一个双射。 进一步，我们在进一步，我们在 中规定加法和乘法：中规定加法和乘法： ()( )( )( ), ()( )( ) ( ), fg af ag aaK fg af a g aaK : ( ) pol K xK f xf K pol K pol K 实复有理多项式理论 可以验证可以验证 对于定义的加法和乘法构成一个对于定义的加法和乘法构成一个 环，而且是一

6、个含有单位元环，而且是一个含有单位元1的交换环。的交换环。 两个环两个环 的关系如下：的关系如下： 这表明：在环的同构意义下二者完全一样。这表明：在环的同构意义下二者完全一样。 从而我们可以用多项式函数来刻画多项式的根。从而我们可以用多项式函数来刻画多项式的根。 是多项式是多项式 在在 中的的根当且中的的根当且 仅当多项式函数仅当多项式函数 在在 处的函数值处的函数值 pol K xK与 pol K pol K xK a K( ) f xK xK f ( )0f a a 实复有理多项式理论 定理定理( (代数基本定理代数基本定理) ) 每个次数大于零的复系数多每个次数大于零的复系数多 项式在复

7、数域中至少有一个根。项式在复数域中至少有一个根。 复数域上的不可约多项式是一次因式。复数域是复数域上的不可约多项式是一次因式。复数域是 一个典型的代数闭域一个典型的代数闭域. . algebraic closure field 设设 ，那么，那么( ) ,deg( )0f xxf xn 12 12 12 12 ( )() ()() , , , m rrr m m m f xa xcxcxc c cc r rr 是不同的复数 为正整数 实复有理多项式理论 并且这种分解形式是唯一的。于是我们有下面的并且这种分解形式是唯一的。于是我们有下面的 定理定理 定理定理( (复系数多项式唯一因式分解定理复系

8、数多项式唯一因式分解定理) ) 每个次每个次 数大于零的复系数多项式在复数域上都可唯一地数大于零的复系数多项式在复数域上都可唯一地 分解成一次因式的乘积。标准分解式分解成一次因式的乘积。标准分解式 ？ 运用复系数多项式唯一分解定理可以给出运用复系数多项式唯一分解定理可以给出 Vieta 公式：设公式：设 是一个首项系数为是一个首项系数为1 1的的 次多项式，那么次多项式，那么 有有 个复根个复根 ，这里可能有相同的，这里可能有相同的 ( ) f xx n 12 , n c cc n ( )f x 实复有理多项式理论 于是在复数域上有分解式于是在复数域上有分解式 另外我们可以假设另外我们可以假设

9、 比较两端的多项式系数立刻有结论：比较两端的多项式系数立刻有结论： 12 ( )()()() n f xxcxcxc 1 110 ( ) ,0,1,1 nn n i f xxaxa xa ain 实复有理多项式理论 12 12 112 1 01 2 () ( 1) ( 1) k k nn k n kiii iiin n n accc ac cc ac cc 实复有理多项式理论 例例 已知已知 求参数求参数 使得使得 有重根，并且求重根及其重数。有重根，并且求重根及其重数。 32 ( )274 f xxxxax a( )f x 实复有理多项式理论 解解 h1=1 3f = 6 -21 12 3a

10、 =6 -14 4 6 -14 4 -7-7 8 3a = -7 h2=1 r1= -3r1= -18r1= f 4914 33 3a+ 2514 33 25 -(9a+14) 150-6(9a+14) 25f 7 6 150 -350 100 150 -6(9a+14) (54a-266 ) 100 实复有理多项式理论 那要使得那要使得 有重根有重根 ，那么，那么 与与 一定是彼此相伴的一次因式。从而一定是彼此相伴的一次因式。从而 解的解的 150 x-6(9a+14) (54a-266 )x+ 100 ( )f x 1505484 54266100 a a 17 4 27 aa 或者 实复

11、有理多项式理论 当当 当当 所以其重根为所以其重根为 ，重数均为，重数均为2。 ( ( ),( )2f xfxx 17 27 a 4a 1 ( ( ),( ) 3 f xfxx 1 2 3 和 实复有理多项式理论 例例 已知已知 这里这里 ，证明，证明 432 352555 1234 (1) ()()()() xxxx x f xx fxxfxfx 整除 ( ) ,1,2,3,4 i f xx i (1)0,1,2,3,4 i fi 实复有理多项式理论 首先注意到首先注意到 5234 32 1234 642 1234 963 1234 1284 1234 1(1)()()()() (1)(1)

12、(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)0 (1)0,1,2,3,4 i xxxxxx ffff ffff ffff ffff fi 实复有理多项式理论 例例 设多项式设多项式 有有 证明：证明： 是是 的一个公因式的一个公因式 5525 432 ()()() (1) ( ) f xxg xx h x xxxxu x ( ), ( ), ( )f x g x h x 1x( ), ( ), ( )f x g x h x 实复有理多项式理论 例例 已知已知 试确定参数试确定参数 使得使得 有重根，并且求其所有的有重根，并且求其所有的 根。根

13、。 32 ( )638 f xxxpxx p ( )f x 42, 2, 2 4,51,1, 8 p pp 实复有理多项式理论 例例 分别在实数域和复数域两个数域上面求分别在实数域和复数域两个数域上面求 的标准分解式。的标准分解式。8P38 这里这里 于是有于是有 1 ( )1 nn f xxxx 1 2 ( )(1) ( )1 (1)()()() n n g xxf xx xxxx 2 22 cossin 11 ( )()()() n i nn f xxxx 实复有理多项式理论 这是这是 在复数域上的标准分解式在复数域上的标准分解式 下面来看在实数域上的情形，在复根成对共轭出现下面来看在实数

14、域上的情形，在复根成对共轭出现 首先注意到首先注意到 当当 为偶数时，有为偶数时，有 ( )f x 1knk 2 22 2 ( )()()() 24 (2 cos1)(2 cos1) 11 (2 cos1) 1 n f xxxx xxxx nn n xx n n 实复有理多项式理论 我们可以我们可以 为例检验一下此分解表达式。为例检验一下此分解表达式。 当当 为奇数时，有为奇数时，有 2 2 2 2 ( )()()() 2 (1)(2 cos1) 1 4 (2 cos1) 1 (1) (2 cos1) 1 n f xxxx xxx n xx n n xx n 6n n 实复有理多项式理论 我们

15、可以我们可以 为例检验一下此分解表达式。为例检验一下此分解表达式。 例例 在在 中，如果中，如果 ，那么，那么 5n K x 21 (1)() n xf x 2121 (1)() nn xf x 21 21211 (1)() ( 1)0 ( )(1) ( ) ()(1) () n nnn xf x f f xxg x f xxg x 实复有理多项式理论 例例 7P38 7P38 在在 中，如果中，如果 那么那么 在复数域中的根只能为零或者单位根。在复数域中的根只能为零或者单位根。 那么一定有那么一定有 ，因此，因此 为零或者是单位根。为零或者是单位根。 x ( )0,( )() m f xf

16、xf x ( )f x 23 ( )0()0 0( )() ()()() k m m mmm f cf c f cf c f cf cf c ik mm cc c 实复有理多项式理论 实数域上的不可约多项式实数域上的不可约多项式 定理定理 设设 是实系数多项式，若复数是实系数多项式，若复数 是是 的根，则的根，则 的共轭的共轭 也是也是 的根。的根。 定理定理 实数域上的不可约多项式都是一次实数域上的不可约多项式都是一次 因式或判别式小于零的二次多项式。因式或判别式小于零的二次多项式。 定理定理( (实系数多项式唯一因式分解定理实系数多项式唯一因式分解定理) ) 每个次数大于零的实系数多项式在

17、实数域每个次数大于零的实系数多项式在实数域 上都可唯一地分解成一次因式与判别式小上都可唯一地分解成一次因式与判别式小 于零的二次因式的乘积。于零的二次因式的乘积。 ( )f x c( )f x c c ( )f x 实复有理多项式理论 根据此定理可知每个次数大于零的实系数多项式根据此定理可知每个次数大于零的实系数多项式 在实数域上都可唯一地分解为在实数域上都可唯一地分解为 这里这里 由此立即可得：实系数多项式的虚根共轭成对出由此立即可得：实系数多项式的虚根共轭成对出 现。现。 12 1122 2 , , , , 40 s tt ii c cc p q p qp q pq 12 1 12 22

18、11 ( )() ()() ()() s t rrr s kk tt f xa xcxcxc xp xqxp xq 实复有理多项式理论 例例 实系数的奇次多项式至少有一个实根。实系数的奇次多项式至少有一个实根。 例例 求求 在实数域上的标准在实数域上的标准 分解式。分解式。 ( )1 n f xxx 1 2 1 2 1 2 ( )(1)(1)(2 cos1) 21 2 ( )(1)(2 cos1) 21 m k m k nm k f xxxxx m nm k f xxxx m 实复有理多项式理论 5234 432 522 22 5 1(1)()()()() 22 cossin, 55 1(1)

19、()()()() 24 (1)(2cos1)(2cos1) 55 n xxxxxx i xxxxxx xxxxx 实复有理多项式理论 623456 245 542 622 22 6 1()()()()()() (1)(1)()()()() 22 cossin, 66 1(1)(1)()()()() 24 (1)(1)(2cos1)(2cos1) 66 n xxxxxxx xxxxxx i xxxxxxx xxxxxx 实复有理多项式理论 例例 利用上一个例题的结论证明：利用上一个例题的结论证明： 1 21 coscoscos 2121212 2(1) sinsinsin 2222 m m m

20、mmm mm mmm 实复有理多项式理论 根据上一个例题的奇数情况：根据上一个例题的奇数情况： 用上个例题的偶数情况证明另外一个恒等式。用上个例题的偶数情况证明另外一个恒等式。 1 222 11 2 2 11 21 2 222(1 cos) 21 2 22cos2 2cos 2121 11 coscos 221221 m k mm mm kk mm mm kk nm k m kk mm kk mm 实复有理多项式理论 例例 实数域上的两个实数域上的两个 阶矩阵阶矩阵 不相似，将不相似，将 其视为复数域上的矩阵仍然不相似。其视为复数域上的矩阵仍然不相似。 采用反证法，假设在复数域上是相似的，那么

21、采用反证法，假设在复数域上是相似的，那么 于是有于是有 另外注意到另外注意到 ，这说明，这说明 是一个非零的多项式，其在复数域上最多有是一个非零的多项式，其在复数域上最多有 个根。于是存在实数个根。于是存在实数 使得使得 n,A B 1 , , ,( ) n P APB PSiT S TM , APPBASiATSBiTB ASSB ATTB 0PSiTST n r0SrT 实复有理多项式理论 记记 ，那么，那么 是一个可逆的实矩阵是一个可逆的实矩阵 且满足且满足 例例 设设 且且 ，证明：，证明： 有相同的根。有相同的根。 W 1 WAWB WSrT ( )( )( )h xf xig x 2 ( ), ( ) ,1f x g xx i ( ( ), ( )( )1f x g xd x( )( )h xd x与 实复有理多项式理论 有理数域上的不可约多