工力第10章-弯曲内力

1、胡耀增:工程力学1 第 10 章 弯曲内力 梁的剪力、弯矩方程 梁的剪力、弯矩图 载荷与弯曲内力间的微分关系 本章主要研究: : 胡耀增:工程力学2 1 引言 2 梁的计算简图 3 剪力与弯矩 4 剪力、弯矩方程与图 5 FS , M 与 q 间的微分关系 6 非均布载荷梁的剪力与弯矩 胡耀增:工程力学3 1 引 言 弯曲实例弯曲实例 弯曲及其特征弯曲及其特征 胡耀增:工程力学4 弯曲实例弯曲实例 胡耀增:工程力学5 弯曲及其特征弯曲及其特征 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式以轴线

2、变弯为主要特征的变形形式弯曲弯曲 以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件梁梁 外力特征： 画计算简图时，通常以轴线代表梁画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图： 胡耀增:工程力学6 2 梁的计算简图 约束形式与反力约束形式与反力 梁的类型梁的类型 胡耀增:工程力学7 约束形式与反力约束形式与反力 主要约束形式与反力 固定固定铰支座铰支座，支反力支反力 FRx 与与 FRy 可动可动铰支座铰支座，垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端端，支反力支反力 FRx , FRy与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶 胡耀增:工程力学8 梁的类型梁的类型 简支梁简支梁：一端固

3、定铰支、另一端可动铰支的梁一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 外伸梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁具有一个或两个外伸部分的简支梁 悬臂梁悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁 常见静定梁 静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁 胡耀增:工程力学9 3 剪力与弯矩 剪力与弯矩剪力与弯矩 正负符号规定正负符号规定 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 例题例题 胡耀增:工程力学10 剪力与弯矩剪力与弯矩 FS剪力剪力 M弯矩弯矩 剪力剪力作用线位于所切横截面的内力作用线位于所切横截面的内力 弯矩弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩矢量位于所切横截面的

4、内力偶矩 胡耀增:工程力学11 正负正负符号规定符号规定 使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正向转动的剪力为正 使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正形的弯矩为正 使横截面顶部受使横截面顶部受 压的弯矩为正压的弯矩为正 胡耀增:工程力学12 一侧一侧 )( 1 S n i i FF 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 FS剪力剪力 M弯矩弯矩 0 0 S1 FFF,F Ayy1S FFF Ay 故故 0)( , 0 1 bFabFMM AyC )( 1 abFbFM Ay 故故 一侧一侧 )( 1 n i Ci mM 在保留梁段上，方向在保留梁段上，方向与切开截面正与切开截面正 F

5、S 相反相反 的外力为正，与正的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正相反的外力偶矩为正 胡耀增:工程力学13 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 由由 S SFy = 0 计算计算 FS 由由 S SMC = 0 计算计算 M，C 为截面形心为截面形心 计算方法与步骤 胡耀增:工程力学14 例例 题题 例 3-1 计算横截面计算横截面E、横截面横截面A+与与 D-的剪力与弯矩。的剪力与弯矩。 解：0 , 0 S AyEy FFF FFAy2 FFBy3 FFF AyA 2 S

6、FMM AyA e Fl FF D S 00 FMD FFF AyE 2 S 2 e l FMM AyE 0 0 2 , 0 eAyEC M l FMM 胡耀增:工程力学15 4 剪力、弯矩方程与图 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 例题例题 胡耀增:工程力学16 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 )( SS xFF )(xMM FS , M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化的解析表达式轴）变化的解析表达式 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 2 ql FF ByAy qxFF Ay S )(0lx 2 x qxxFM Ay )(0lx qx ql F 2 S 2 22 x q x

7、 ql M 胡耀增:工程力学17 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 表示表示 FS 与与 M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化情况轴）变化情况 的图线，分别称为的图线，分别称为剪力图剪力图与与弯矩图弯矩图 2 )( , 2 (0) SS ql lF ql F 二次抛物线二次抛物线 直线直线qx ql F 2 S 2 22 x q x ql M 画剪力图 画弯矩图 土建等类技术部门画法土建等类技术部门画法 胡耀增:工程力学18 例例 题题 例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 解：1. 支反力计算支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程 )(0 , 1

8、S1 ax l bF FF Ay )(0 , 2S2 bx l aF FF By )(0 , 1111 axx l bF xFM Ay )(0 , 2222 bxx l aF xFM By AC 段段CB 段段 l bF FAy l aF FBy 胡耀增:工程力学19 3. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 11 x l bF M 22 x l aF M l bF F S1 l aF F S2 剪力图剪力图: 弯矩图弯矩图: 最大值最大值: l Fab M max 时时）（ maxS, ab l bF F 4. 讨论讨论 在在 F 作用处作用处, 左右横截面上左右横截面上 的弯矩相同的弯矩相同,

9、剪力值突变剪力值突变 FFF 左左右右SS 胡耀增:工程力学20 解：1. 支反力计算支反力计算 2 2 qa M,qaF CCy 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程 AB 段段BC 段段 )(0 11S1 axqxF )(0 2S2 axqaF )(0 2 1 2 1 1 ax qx M )(0 2 2 2 22 ax qa qaxM 例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 胡耀增:工程力学21 解：1. 支反力计算支反力计算 2 2 qa M,qaF CCy 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程 AB 段段BC 段段 )(0 11S1

10、 axqxF )(0 2S2 axqaF )(0 2 1 2 1 1 ax qx M )(0 2 2 2 22 ax qa qaxM 例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 胡耀增:工程力学22 3. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 4. 讨论讨论 在在 Me 作用处，左右横截面上作用处，左右横截面上 的剪力相同，弯矩值突变的剪力相同，弯矩值突变 e MMM 左左右右 1S1 qxF qaF S2 2 2 1 1 qx M 2 2 22 qa qaxM 剪力图：剪力图： 弯矩图：弯矩图： 剪力弯矩最大值剪力弯矩最大值: 2 2 max qa M max

11、S qaF 胡耀增:工程力学23 例 4-3 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩 解：1. FS 与与 M 图图 l Fl FAy )( l Fl FF Ay )( )( S l FFM Ay 1)( 2. FS 与与 M 的最大值的最大值 FFF)0( SmaxS, 42 max Fll MM l F M 2 1 d )(d 0 2 l 胡耀增:工程力学24 5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系 FS , M 与与 q 间的间的微分关系微分关系 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与 M 图图 例题例题 微分关系法要点微分关系法要点 胡耀增:

12、工程力学25 FS, M 与与 q 间的间的微分关系微分关系 (a) 0)d(d 0 SSS FFxqF,Fy (b) 0d 2 d dd 0 S MxF x xqMM,MC q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d q 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意： 梁微段平衡方程 胡耀增:工程力学26 均布载荷下 FS 与 M 图特点 直直线线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线 q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与M 图图 胡耀增:工程力学27 2. 计算支反力

13、、剪力与弯矩计算支反力、剪力与弯矩 l M FF ByAy e q=0，FS 图水平直线，图水平直线，M 图直线图直线 求求 FSA+ 画画 FS 图图 求求 MA+ 与与 MB- 画画 M 图图 应用利用微分关系画梁的剪力与弯矩图利用微分关系画梁的剪力与弯矩图 1. 问题分析问题分析 l M FF AyA e S e MM A 0 B M 胡耀增:工程力学28 l M F A e S e MM A 0 B M 3. 画剪力图画剪力图4. 画弯矩图画弯矩图 FS 图图水平直线水平直线M 图图斜直线斜直线 胡耀增:工程力学29 例例 题题 例 5-1 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 斜线斜线 ql

14、/8 0 ql2/16 ql/8 -3ql/8 ql2/16 0 解：1. 形状判断形状判断 2. FS 与与 M 计算计算 胡耀增:工程力学30 1 3 2 D D x l x 8 3l xD 2 8 3 28 3 8 3 lqlql MD 9ql2/128 3. 画画FS与与M图图 128 9 2 ql MD 胡耀增:工程力学31 利用微分关系，确定各梁段利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩剪力、弯矩图的图的形状形状 计算各梁段计算各梁段起点起点、终点终点与与极值点极值点等截面的等截面的剪力剪力 与弯矩与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩剪力与弯矩图图 在集中载

15、荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直 线所构成线所构成 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定 微分关系法要点微分关系法要点 胡耀增:工程力学32 6 非均布载荷梁的剪力与弯矩 非均布载荷的合力非均布载荷的合力 线性分布载荷梁的内力线性分布载荷梁的内力 例题例题 胡耀增:工程力学33 合力大小：合力大小： 非均布载荷的合力非均布载荷的合力 B A x x xxqFd)( R R R d)( F xxxq x B A x x 合力作用

16、线位置合力作用线位置: 载荷集度载荷集度 图的面积图的面积 载荷集度图载荷集度图 形心横坐标形心横坐标 胡耀增:工程力学34 线性分布载荷集度的一般表达式为线性分布载荷集度的一般表达式为 线性分布载荷梁的内力线性分布载荷梁的内力 baxxq )( q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d ( a、b 为常数）为常数） FS 为为 x 的二次函数，的二次函数，FS 图为抛物线图为抛物线 M 为为 x 的三次函数，的三次函数，M 图为三次曲线图为三次曲线 M 图的凹凸，由图的凹凸，由 q 的正负确定的正负确定 线性分布载荷 线性分布载荷梁内力 胡耀增:工程力学35

17、 解: 1. 外力分析外力分析 2 0 R lq F 6 0l q FAy 3 0l q FBy 例 6-1 建立剪力弯矩方程建立剪力弯矩方程, 画剪力弯矩图画剪力弯矩图, 用微分关系校核用微分关系校核 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程 l xqxlq F 00 S 26 326 00 x l xqx x lq M 2 00 S 26 x l qlq F 3 00 66 x l q x lq M 例例 题题 l xq xq 0 )( 胡耀增:工程力学36 2 00 S 26 x l qlq F 3 00 66 x l q x lq M 3. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 2 次抛物线次抛物线 3 次曲线次曲线 q0l2/(9 3) 0 26 2