同济大学课件 工程力学第五章弯曲内力

1、 1 1、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系 1 1、支反力：、支反力： 2 ql FF BYAY L q FAyFBy 2 2、内力方程、内力方程 qxqlxF s 2 1 )()0(lx 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM )0(lx 3 3、讨论如下、讨论如下 qxql dx xdM 2 1)( q dx xdFs )( x ),(xFs )(xq s F M A R A 四、四、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有： 0)(d)(d)()( 0 xFxFxxqxF Y sss

2、 )(dd)( s xFxxq dx x q(x) q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+dFs (x) Fs(x) M(x) dx A y xq x xF d d s 剪力图上某点处的切线剪力图上某点处的切线 斜率等于该点处荷载集度的大斜率等于该点处荷载集度的大 小。小。 q(x) M(x)+d M(x)Fs(x) M(x) dx A y , 0)( iA Fm )( d )(d xF x xM s 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切 线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的 大小。大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM 0)(d( 2 1 )()d(-)(d)( 2

3、 xxqxMxxFxMxM s Fs(x)+dFs (x) xq x xF d d s )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM q、Fs和和M三者三者的微分关系的微分关系 2 2、微分关系的应用、微分关系的应用-作作Fs 图和图和 M 图（用于定形）图（用于定形） 2 2）分布力）分布力q(x) = = 常数时常数时 1 1）分布力）分布力q(x)=0)=0时时 （无分布载荷）（无分布载荷） Fs 图：图： M图：图： CxFxq x xF s )(0 d d s DCxxMCxF x xM s )()( d )(d CqxxFqxq x xF s )(

4、 d d s DCxqxxMCqxxF x xM s 2 2 1 )()( d )(d xq x xF d d s )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM 剪力图为一条剪力图为一条水平线水平线； 弯矩图为一条弯矩图为一条斜直线斜直线。 剪力图为一条剪力图为一条斜直线斜直线； 弯矩图为一条弯矩图为一条二次曲线二次曲线。 （1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时 , 0q 剪力图为剪力图为斜向上斜向上的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为上凸上凸的二次曲线。的二次曲线。 CqxxFqxq x xF s )( d d s DCxqxxMCqxxF

5、x xM s 2 2 1 )()( d )(d （2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时 Fs图：图： M图：图： M(x) , 0q 剪力图为剪力图为斜向下斜向下的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为下凸下凸的二次曲线。的二次曲线。 Fs图：图： M图：图： M(x) 2 1 2 1 2 1 )( )()( )()( d d 1s2s s s s x x x x Q Q dxxqFF dxxqxdF dxxqxdF xq x xF 2 1 2 1 2 1 )( )()( )()( d d 12 x x s x x s M M s s dxxFMM dxxFxdM dxxFxdM

6、xF x xM 梁上任意两截面的剪力梁上任意两截面的剪力 差等于两截面间载荷图所包差等于两截面间载荷图所包 围的面积围的面积 梁上任意两截面的弯矩梁上任意两截面的弯矩 差等于两截面间剪力图所包差等于两截面间剪力图所包 围的面积围的面积 积分关系积分关系: : 利用微分关系定形后，可利用利用微分关系定形后，可利用特殊点的内力值来定值特殊点的内力值来定值 利用利用剪力、弯矩、分布荷载间积分关系定值剪力、弯矩、分布荷载间积分关系定值 控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。 3 3、简易法作内力图：、简易法作内力图： 利用微分关系定

7、形，利用利用微分关系定形，利用特殊点的内力值特殊点的内力值来定值来定值 利用利用积分关系积分关系定值定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。 作图时应注意结合以下几点 * 集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力 偶的大小。 * 弯矩极值处剪力为零的截面、集中力及集中力偶作用的截面。 * 集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。 * 端部无集中力，剪力为零，端部无集中力偶，弯矩为零。 例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。 1m4m

8、10kN/m 20kN 40kN、m C B A 解解：1、支反力支反力 ).(25);(35 04405202410, 0 041020, 0 kNRkNR RM RRY BA AB BA 2、画内力图、画内力图 CA段段：剪力图为一条水平线；剪力图为一条水平线； AB段段：剪力图为斜向下的斜直线；剪力图为斜向下的斜直线； C、A、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变； 大小为其集中力的值。大小为其集中力的值。A截面弯矩截面弯矩 图有突变；大小为其集中力偶的值。图有突变；大小为其集中力偶的值。 Q=0处处M有极值有极值 Fs x （kN） B R A R 20 15 25 x 20 2.5

9、m 31.25 20 M(x) kNm 弯矩图为一条斜直线弯矩图为一条斜直线 弯矩图为下凸的二次曲线弯矩图为下凸的二次曲线。 KNm RM B 25.31 5 . 210 2 1 5 . 2 2 max 解：求支反力 2 ; 2 qa F qa F DYAY 0; 2 M qa s F 左端点A： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F B点左： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F B点右： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F C点左： M 的驻点： 2 8 3 ; 0qaM s F 2 2 1 ; 2 qaM qa s FC点右： 0 ; 2 1 Mqa s F右端点D： Fs

10、 x qa/2 qa/2 qa/2 + qa2 qa AB C D x q FAYFDY aaa M -qa2/2-qa2/2 -qa2/2 -3qa2/8 例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图 组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力 2 F FF CyAy 2 3F FDy 2 3Fa MD 1. 受力分析受力分析 特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连 的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零 2. 画画 FS 图图 水平直线水平直线 3. 画画 M 图图 直线直线 2 3 max S F F

11、 2 3 max Fa M M Fa/2 -Fa/2 3Fa/2 B 3a A C Me =3qa2 a x q 例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图 示梁的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1、支反力、支反力 qaFA 3 5 qaFB 3 1 0 B M 0 A M 0323 2 aFaaqqa A 02233 2 aaqqaaFB FA FB B 3a A C Me =3qa2 a x q AC段：段： q=0 剪力图为水平直线剪力图为水平直线 剪力值剪力值 2 2、作剪力图、作剪力图 FS x qa/3 5qa/3 x FA FB B 3a A C Me =3qa2 a x

12、q CB段：段：q=常量常量0 剪力图为向右下方倾剪力图为向右下方倾 斜的斜直线斜的斜直线 qaF 3 5 SC qaF B 3 1 S qaF 3 5 S 8a/3 qaFA 3 5 qaFB 3 1 3 3、作弯矩图、作弯矩图 AC段段 弯矩图弯矩图斜直线斜直线 CB段段 弯矩图弯矩图二次抛二次抛 物线物线 M x 4qa2/3 5qa2/3 qa2/18 （+） FS 5qa/3 x qa/3 8a/3 B 3a A C Me =3qa2 a x q Fs x qa2/8 qa2/8 Fs x qa2/2 qa2 Fs x qa2/2 5-5 5-5 按叠加原理作内力图按叠加原理作内力图

13、 二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。 一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。在弹性范围内满足虎克定律。 三、步骤：三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；、分别作出

14、各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。 例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图( (AB=2a，力，力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。 q F AB F q =+ A A B B M1 x + M2 x 2 Fa 22 2 qaFa 2 2 qa = M x 例例7 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。 FL F FL LL LL LL 0.5F 0.5F 0.5F 0.5F F 0 Fs x Fs1 x Fs2 x 0.5F 0.5F 0.5F + F F 0

15、.5F F LL 0.5F FL LL 0.5F 0.5F FL LL F 0 M2 x 0.5FL 0.5FL x M1 0.5FL x M FL 例例 绘制下列图示梁的弯矩图。 2F aa F = 2F F + M1 x = + 2Fa x 2Fa M2 x M Fa F aa FL/2 x M FL/2 x M2 + -FL/2 = FL/4 x M1 = + F FL/2 50kN 2m2m 20kNm 20kNm = + 50kN 20kNm 20kNm x M250kNm + = x -20kNm M1 x -20kNm M 30kNm -20kNm 四、对称性与反对称性的应用：四

16、、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下对称结构在对称载荷作用下 Q 图反对称，图反对称，M 图对称；图对称； 对称结构在反对称载荷作用下对称结构在反对称载荷作用下 Q图对称，图对称，M 图反对称。图反对称。 平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆横截面上的内力有：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。 1、刚架刚架 用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构 刚性接头的特点刚性接头的特点： 约束约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力受力既可传力，也可传递力偶矩

17、既可传力，也可传递力偶矩 5-6 5-6 静定杆系的内力计算静定杆系的内力计算 2、平面刚架内力图规定、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画在各杆的受拉拉一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明 正、负号。正、负号。 3、平面曲杆：、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件轴线为一条平面曲线的杆件。 4、平面曲杆内力图规定：、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲

18、杆受要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉拉的一侧。的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。：与平面刚架相同。 例例 试作图示刚架的内力图。 F1 F2 a l A B C FN 图 F2+ Fs图 F1 + F1a M 图 F1a+ F2 l F1 1. 外力分析外力分析 0 , 0 , 0 yAx FMF /2 ,qaFFqaF AyCyAx 2. 建立内力方程建立内力方程 BC 段：段： , 2 S1 qa F AB 段：段： , 2S2 qxF 2 N2 qa F 11 2 x qa M 2 22 22 x q a qa M 例例 试作图示刚架的内力图。 3. 画内力图画内力图 2S2S1 , 2 qxF qa F 2 , 0 N2N1 qa FF 2 2211 22 , 2 x q a