数学文第一轮第4章第25讲同角三角函数之间基本关系式及诱导公式

1、 诱导公式诱导公式 1【例】 1 31 2cos() 25 31860 f f f 化简； 若 是第三象限角，且 ， 求的值； 若 ，求的值 sin sin( )cos( )( tan) cos sin( ) cos . 311 cos()sin. 255 2 6 cos. 5 2 6 . 5 ( 1860 )cos( 1860 )c 1 2 os1860 1 cos(5 36060 )cos60. 3 2 f f f 由 ，得 又 是第三象限角，所以 所以 【 解析】 本题主要考查诱导公式应用诱 导公式，重点是“函数名称”与“正 负号”的正确判断求任意角的三角 函数值的问题，都可以通过诱导公

2、式 化为锐角三角函数的求值问题具体 步骤为“负角化正角正角化锐角 求值” 8 tan()(1) 7 1513 sin()3cos() 77 _. 2022 sin()cos 1 () 77 m m 【变式 设 习 练 ，则 】 8 tan()tan(). 77 1513 sin()3cos() 77 2022 sin()cos() 77 sin()3cos() 77 sin()c 3 os() 77 3 7 . 1 7 1 mm tan ta m n m ，【解析 故原 】 式 同角三角函数之间的同角三角函数之间的 基本关系式基本关系式 2 tan3 1 sin sin2cos 2 5cos3

3、sin 3 3cos3sinc 2 os1. 已知 ，求下列各式的值 ； ； 例 【】 22 sin 3 tan3cos sincos1 3 10 sin. 10 3 10 sin; 10 3 10 sin 1 1 . 0 由 ，得， 解得 当 在第一象限时， 当 在第三象限时， 【解析】 2 22 22 22 2 2 sin2costan2321 . 5cos3sin53tan53 314 3cos3sincos1 4cos3sincossin 4cos3sincossin sincos 43tantan42 . tan 2 11 3 05 本题利用同角三角函数之间 的基本关系，由一个角的某

4、个三 角函数值求该角的另外的三角函 数值注意角的范围，同时对于 (2)(3)注意弦化切的思想 2 2 11 cos1tan 3tan 2 已知 ，求 【变式练习 】 的值 2 2 2 1 cos 3 8 sintan8 3 1173 1tan18. tan88 【解由 ， 得， ， 所以 析】 化简、求值、证明化简、求值、证明 22 1 0 sincos. 25 1 sincos 3sin2sincoscos 2222 2 tancot 3 xxx xx xxxx xx 已知，求： 的值； 【例 】 的值 22 2 1 sincos 5 1 (sincos )() 5 24 2sin cos.

5、 25 49 (sincos )12sin cos, 25 0sin0cos0 2 7 sinc 1 os. 5 xx xx xx xxxx xxx xx 由 ， 得， 所以 因为 又，所 【 以， 所以 解析】 22 2 3sin2sincoscos 2222 tancot 2sinsin1 2 sincos cossin sin cos (2cossin ) 121108 (2). 25512 2 5 xxxx xx x x xx xx xxxx 在三角函数变换与求值中，已 知sincos，sincos，sin cos中的一个可利用方程的思想 求出另外两个的值解题时，要特 别注意开方后正负

6、号的取舍，这要 依据已知条件确定sin与cos的大小关系：当的终 边落在直线yx上时，sincos；当的终边落在 直线yx的上半平面区域内时，sincos；当的终 边落在直线yx的下半平面区域内时，sincos(如 图所示)若sin与cos的大小关系不确定，则应分 类讨论，考虑多解 3【变式练习 】 33 2.sin()sin() 424 已知，则 的值为_ 3 ()() 44 3 (). 44 33 sin()sin() 442 因为 ， 所 【 以 因此， 析】 解 3 2 3. 12sin(2)cos(2) _ 等于 2 12sin(2)cos(2) 12sin2cos2 (sin2co

7、s2)|sin2cos2| sin2cos2 |sin2cos2|sin2cos2. 【因为 ， 又， 所以 解析】 sin2cos2 22 12sin cos1tan 4. cossin1tan xxx xxx 求证： 22 22 2 22 sincos2sin cos cossin (sincos )cossin cossincossin 1tan 1tan xxxx xx xxxx xxxx x x 左边 右边 所以原等 【证明】 式成立 22 5.4sin3cos0 1 1 sincos cossincossin 2 cossincossin 3 sin2sincos3cos. 已知

8、，求下列各式的值： ； ； 222 3 4sin3cos0tan. 4 1sincos1tan25 . sincossincostan12 1 因为 ，所以 【 解析】 22 22 22 2 2 cossincossin cossincossin 33 11 1tan1tan48 4 2 4 . 33 1tan1tan7 11 44 sin2sincos3cos sin2sincos3cos sincos 96 3 tan2tan363 164 . 9 tan125 1 16 3 1诱导公式起着变名、变号、变 角等作用，在三角函数有关问题(特别是 化简、求值和证明)中常使用 2.必须对一些特殊

9、角的三角函数值 熟记，做到“见角知值，见值知角” 3 () ()()()()090 () 3 ( 22 )2() 2 “ 6 1 2 3 55 ”“” 6 利用诱导公式解题时： 求任意角的三角函数值的一般程序：负 角 变正 角大 角 变小 角一直 变到之间 能查表 变角是有一定技巧的，如 可写成 ，也可以写成等不同的表达方法决 定着使用不同的诱导公式 凑角方法也体现出很大的技巧性如已知角 ，求未知角 ，可把 (). 66 改写成 4掌握三角函数的三种基本题型 (1)求值题型已知某角的正弦、余 弦、正切中的一个，求其他两个，这里 应特别注意开方运算时根号前正、负号 的选取应根据题设条件是否指明角所 在的象限，确定最后结果是一组解还是 两组解 (2)化简三角函数式化简是一种不 指明答案的恒等变形，一般来说化简所 得的最后结果，应满足以下要求： 函数的种类要最少； 项数要最少； 函数次数要最低； 能求出数值的要求出数值； 尽量使分母不含三角函数； 尽量使分母不含根式 (3)证明同角三角函数恒等 式一般方法有三种：即“由繁 到简”“中间会师”“变更论 证”，具体要求要由等式两端的 特征(结构、名称)来选择最佳方