极限存在准则与两个重要极限[教育知识]

1、第六节第六节 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限 一一 极限存在的两个准则极限存在的两个准则 二二 两个重要极限两个重要极限 三三 小结与思考判断题小结与思考判断题 1.夹逼准则(两边夹定理） 定理定理 如果数列 nn yx ,及及 n z满足下列条件: ,lim,lim)2( )3 , 2 , 1()1( azay nzxy n n n n nnn 那末数列 n x的极限存在, , 且axn n lim. . 证,azay nn 因为因为 使得使得, 0, 0, 0 21 NN 一 极限存在准则 , 1 ayNn n 时恒有时恒有当当 ,max 21 NNN 取取 , ay

2、a n 即即 , 2 azNn n 时恒有时恒有当当 , aza n 上两式同时成立上两式同时成立, 恒有恒有时时当当,Nn , azxya nnn ,成立成立即即 axn.limaxn n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则 如果当)( 0 0 xUx ( (或Mx ) )时,有 ,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg x xx x xx 那末)(lim )( 0 xf x xx 存在, 且等于A . . 注意注意: : . , 的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且 与与

3、键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关 nn nn zy zy 准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. . I I 例1 ). 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 求求 解 , 1 1 1 1 2222 n n nnnnn n n nn n nn 1 1 1 limlim 2 又又 , 1 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n nn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得 . 1) 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n x 1 x 2 x 3 x 1 n x n x 2.单调有界准则 满足条件满足条件如果数列如果数列 n

4、x , 121 nn xxxx单调增加单调增加 , 121 nn xxxx单调减少单调减少 单调数列单调数列 准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 几何解释几何解释: AM 证 , 1nn xx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的 n x , 33 1 x又又, 3 k x假定假定 kk xx 3 1 33 , 3 ;是有界的是有界的 n x .lim存在存在 n n x ,3 1nn xx ,3 2 1nn xx ),3(limlim 2 1n n n n xx ,3 2 AA 2 131 , 2 131 AA解得解得(舍去舍去) . 2 131 lim n n x .)

5、n例2( 的极限存在的极限存在式式 重根重根证明数列证明数列 333 n x A C 二、两个重要极限 1、 1 sin lim 0 x x x x o B D ) 2 0(, xxAOBO圆心角圆心角设单位圆设单位圆 ,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有 .ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线 ,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1 sin cos x x x即即 .0 2 也成立也成立上式对于上式对于 x, 2 0时时当当 x xxcos11cos0 2 sin2 2 x 2 ) 2 (2 x , 2 2 x ,

6、 0 2 lim 2 0 x x , 0)cos1(lim 0 x x , 1coslim 0 x x , 11lim 0 x 又又1 0 x x x sin lim 24681 0 - 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 - 1 0- 8- 6- 4- 2 - 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 的图象的图象 x xsin 述述极极限限的的一一般般形形式式：利利用用变变量量代代换换可可导导出出上上 ; 1 )( )(sin lim 0)( x x x 例3 （1 1）. cos1 lim 2 0 x x x 求求 解 2 2 0 2 s

7、in2 lim x x x 原式原式 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x 2 0 ) 2 2 sin (lim 2 1 x x x 2 1 2 1 . 2 1 （2 2） . tan lim 0 x x x 求求 2、e x x x ) 1 1(lim 定义定义 e n n n ) 1 1(lim n n n x) 1 1( 设设 2 1 ! 2 )1(1 ! 1 1 n nn n n ). 1 1() 2 1)( 1 1( ! 1 ) 1 1( ! 2 1 11 n n nnnn n nn nnnn1 ! )1()1( ,1时时当当 x, 1 xxx有有 ,) 1

8、 1() 1 1() 1 1 1( 1 xxx xxx ) 1 1(lim) 1 1(lim) 1 1(lim 1 xxx x x x x x 而而, e 11 ) 1 1 1(lim) 1 1 1(lim ) 1 1 1(lim xx x x x x x x , e .) 1 1(lime x x x ). 1 1() 2 2 1)( 1 1 1( )!1( 1 ) 1 1 1() 2 2 1)( 1 1 1( ! 1 ) 1 1 1( ! 2 1 11 1 n n nnn n n nnn n xn , 1nn xx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的 n x ! 1 ! 2 1 11 n

9、 xn 1 2 1 2 1 11 n 1 2 1 3 n , 3 ;是有界的是有界的 n x .lim存在存在 n n x e n n n ) 1 1(lim记为记为)71828. 2( e 类似地类似地, , xt 令令 t t x x tx ) 1 1(lim) 1 1(lim t t t ) 1 1 1(lim ) 1 1 1() 1 1 1(lim 1 tt t t . e e x x x ) 1 1(lim , 1 x t 令令 t t x x t x) 1 1(lim)1(lim 1 0 . e ex x x 1 0 )1(lim 述述极极限限的的一一般般形形式式：利利用用变变量量

10、代代换换可可导导出出上上 ex x x )( 1 0) )(1lim （ （ 注意这个极限的特征：注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为底为两项之和，第一项为1，第二项，第二项 是是 无穷小量，指数与第二项互为倒数无穷小量，指数与第二项互为倒数 。 例4.) 1 1(lim x x x 求求 解 x x x ) 1 1( 1 lim 1 ) 1 1(lim x x x 原式原式 . 1 e 例5.) 2 3 (lim 2x x x x 求求 解 422 ) 2 1 1() 2 1 1(lim xx x x 原式原式. 2 e 1.两个准则两个准则 夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 . 2.两个重要极限两个重要极限 ; 1 sin lim10 某过程某过程 .)1(lim