控制系统的状态空间分析

1、自动控制原理(下部)第二章第二章 控制系统的状态空间分析在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分 析，包括线性状态方程的求解和系统的能控与能观性分析。2.1定常系统状态方程的解2.1.1线性系统的解给定线性定常系统非齐次状态方程为2： x(t) = Ax(t) + Bu(t)(2.1.1)其中，x(t)Rn,u(t)wRr,Aw RnYBwR网，且初始条件为 x(t)y=x(O)。将方程(2.1.1 )写为x(t) _ Ax(t) =Bu(t)在上式两边左乘e-At，可得dAtAte x(t)_Ax(t) e x(t) = e Bu(t)dt将上式由O积分到

2、t，得etx(t) - x(0) = o e Bu( )d故可求出其解为x(t) = eAtx(0)亠 I eA(t-)Bu( )d(2.1.2a)或tx(t) =(t)x(O) + (t BuG)(2.1.2b)式中叮建)二eAt为系统的状态转移矩阵。对于线性时变系统非齐次状态方程，x(t)二 A(t)x(t) B(t)u(t)(2.1.3)类似可求出其解为tx(t)二 G(t,O)x(O)亠 I 尬(t, )B( )u( )d(2.1.4)一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵；：(t,t0)只能表示成一个无穷项之和，只有在 特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。2.1.2状态转移矩阵1

3、状态转移矩阵性质定义2.1时变系统状态转移矩阵G(t,t。)是满足如下矩阵微分方程和初始条件3(t,t)=A(t)(t,t) &(to ,to) = I的解。下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质:2、 j (t2 击)(ti ,to)=(t2 , t )；3、G(t,t。)：(to,t)；4、 当A给定后,-J(t,to)唯一； 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式tt(t,to) = I + Addi + A(1)礼 A2)2 血1 + A(t) : A(.)d.)：A()d(2.1.5)(2.1.6a)特别地,上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限

4、项近似。 只有当满足3即在矩阵乘法可交换的条件下，门(t, t0 )才可表示为如下矩阵指数函数形式f t(2.1.6b)G(t,t0) = exp、A( )d r0显然，定常系统的状态转移矩阵G(t - to)不依赖于初始时刻to，其性质仅是上述时变系统的特例。例2. 1试求如下线性定常系统补冷 1和X2_-2-3 X2的状态转移矩阵 (和状态转移矩阵的逆 -1 (t)。解对于该系统，八卩1 1A _-2-3-其状态转移矩阵由下式确定(t)二 eAt = L(sl - A)由于自动控制原理(下部)第二章si A =ol1 i-111。s!-2-3-*s + 325其逆矩阵为(Si - A)1

5、s 3 (s 1)(s 2) -2s +3(S 十 1)(S 十 2)| -2.(s + 1)(s + 2)s1 _ (s+1)(s+2)s(s 1)(s 2)因此：(t) =eAt = L(sl - A)2宀_2t_L_2t-Iee -e亠 _L_2t_L-2t-2e+ 2e-e + 2e由于-1 (t) =(),故可求得状态转移矩阵的逆为G(t)二et2ee2t_2et +2e2tt 2t e - ec 2t2e例2.2求下列系统的时间响应:pH 1 NFi,2 一 -2-3上1一式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。解对该系统0213-0状态转移矩阵

6、(t)=eAt已在例2.1中求得，即3e丄_尹 _2e丄+2尹-U-2te -e-e + 2e因此，系统对单位阶跃输入的响应为:IL2ee2e-2t 一e4-2te - eX2(t )2e+2e-2tXi(0)+2七Lx2(0L-2te自动控制原理(下部)第二章7如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为；X1 (t)2.矩阵指数函数eAt的计算前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数eAt。如果给定矩阵A中所有元素的值，MATLAB将提供一种计算eAT的简便方法，其中 T为常数。除了上述方法外，对 eAt的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中

7、的四 种计算方法。方法一：直接计算法(矩阵指数函数)At I z A2t2A3t3f 1 aFe = I AtA t(2.1.7)2!3!心 k!可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。方法二：对角线标准形与 Jordan标准形法若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么eAt可由下式给出eit| /eAt 十的-1 = P Io0P1(2.1.8)ent式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。类似地，若矩阵 A可变换为Jordan标准形，则eAt= S e J t S -例2.3考虑如下矩阵A01A=001-3eAt可由下式确定出0113(2.1.9)解该矩阵的特征

8、方程为| I _ A|3 _32.3 _1 * _1)3 二0因此，矩阵A有三个相重特征值入=1可以证明，矩阵 A也将具有三重特征向量(即有两个广义特征向量)。易知，将矩阵 A变换为Jordan标准形的变换矩阵为100S=110r21 一自动控制原理（下部）第二章17于是矩阵S的逆为SJ-101-201j00卩1叮100|SaAS =-1100011101-21J1-33L1211101=011=J001注意到tette1tte可得即At e-tett2tet-t2e1 .2 1 -t e24 t 41 丄2 tte +-t e2et -tet t2e-3tet -t2ett22.t 1 .

9、2 t te t e2et 2tet -t2et211001ete-t e2-1001100t etet110J2100t e1-21 一一方法三：拉氏变换法(2.1.10)eAt 二 L(sl - A) J为了求出eAt,关键是必须首先求出（sl-A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。例2.4考虑如下矩阵A试用前面介绍的两种方法计算解方法一由于A的特征值为因此，由式（2.1.10）可得Ate方法由于sl可得o o_-AeAt。0 和-2 (入 1=0,1| eo-20-A-恬-2）,故可求得所需的变换矩阵P为P =?00 1_2te1-2121 02 -1(1 一宀2

10、et；s011 iJ?-11s-2_；0s+2 一j1 (sl-A)Js(s 2)11(1-e2J2teeAt 二 L(sl - A)二因此卫 方法四：化eAt为A的有限项法（Caley-Hamilton定理法）AtAt第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化e为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得e的方法。凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。考虑n 维矩阵A及其特征方程| I - A n ajan4 an = 0凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即(2.1.11)An aAanA

11、anl = 0为了证明此定理，注意到（入I）的伴随矩阵adj（ -A）是入的n -1次多项式，即adj(l A) =B1z B2n，BnJBn式中，BI。由于I - Al(I - A)adj( I - A) =adj( d - A)( d - A)=可得| I - A| l na1I 2 ananl=（ I A）（ B/，- B2 . 亠 亠 BnBn）= （Bi 2 B22Bn Bn）C I - A）从上式可看出，A和Bi （i=1,2,；n）相乘的次序是可交换的。因此，如果（入-A）及其伴随矩阵adj（ ”A）中有一个为零；则其乘积为零。如果在上式中用A代替 人显然 入I为零。这样Ana1

12、 AnJ :(1，anjA anI = 0即证明了凯莱-哈密尔顿定理。最小多项式按照凯莱-哈密尔顿定理，任一 nh维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不 一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵 A为其根的最小阶次多项式称为最小多 项式，也就是说，定义 nxn维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式 $ （入）即() =&m - a1 m J.亠 am - am, m 乞 n使得$A） = 0；或者(A) = Ama1AmJ:(1，am4A - amI = 0最小多项式在n Xi维矩阵多项式的计算中起着重要作用。假设入的多项式d（入是（入-A）的伴随矩阵adj（ -A|的所有元素的最高

13、公约式。可以证明;如果将d（入的入最高阶次的系数选为 1；则最小多项式 $ （由下式给出：(2.1.12)注意；n Xi维矩阵A的最小多项式 $ （可按下列步骤求出：1、根据伴随矩阵adj（ -A|，写出作为 入的因式分解多项式的 adj（ -A）的各元素；2、 确定作为伴随矩阵adj（ -A|各元素的最高公约式d（入。）选取d（入的入最高阶次系数为1。如果不存在公约式，贝Ud（入）=13、 最小多项式 $ （可由| AA|除以d（入得到。设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式1212/. 2m J 1m J /. 2te 1te 2(2.1.13)2mA2

14、m_jmAmemtAte即可求出eAt。利用式（2.13）求解时，所得eAt是以Ak(k=0,1,2,-，m和 e(i=1,2,3,(2.1.14)：2（t），am_1（t）-e2t(2.1.15) 2(t) mam(t)，m= emtm）的形式表示的。此外，也可采用如下等价的方法。将式（2.13）按最后一行展开，容易得到eAt 0(t)l ： 1(t)A ： 2(t)A2am(t)Am从而通过求解下列方程组:：0（t） ： 1（t） 1+ C2(t)站 +am_1(t)昇 = /可确定出ak （t） （k=0,1,2m-1）,进而代入式（2.14）即可求得eA。m=n，即有如果A为n呦维矩阵

15、，且具有相异特征值，则所需确定的:-k（t）的个数为Ate= ： (t)l ：1(t)A ： 2(t)A2anJ(t)AnJ(2.1.16)如果A含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的:k（t）的个数小于n.例2.5考虑如下矩阵Ao o_-A-2试用化eAt为A的有限项法计算eAt 。解矩阵A的特征方程为det( I - A) = ?； (2) =0可得相异特征值为入=0,脸=-2。由式（2.13）,可得将上述行列式展开，可得-2texeAte1_2t eAt eAt-2eA 2I2tAe 0eAt = 1 (A 2I _ Ae)2o o-1 J1 2 /2 0-、o o-另一种可

16、选用的方法是采用式（2.16）。首先，由确定待定时间函数:0（t）和:1 （t）。由于乃=0, h= -2，上述两式变为求解此方程组，可得因此，：。=1：0（t） -2： 1（t）孑1 亠a（t）=1,內二（1-e ）2Ate1：0；（1-e-2te2.2能控性与能观测性分析能控性和能观测性的概念是由R.E.Kalman于60年代初首先提出的。在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到很重要的作用。实际上，可控性和可观性可以给出控制系统设计问题的完全解存在性的条件。如果所研究的系统不可控，那么控制系统设计问题的解不 存在。可控和可观测性决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状

17、态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。2.2.1系统的能控性1概述如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态 X（to）转移到任一状态，则称该系统在时刻to是能控的。如果系统的状态X（t。）在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻to是能观测的。前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具

18、有能控性和能观测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判 据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。2定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统2: x(t) = Ax(t) + Bu(t)(2.2.1)其中，x(t) Rn,u(tr R1,A Rnn,BRn1 (单输入)，且初始条件为x(t)t=x(0)。如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔to WW1内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（2.2.1）描述的系统在t = to时为状态（完全）能控的。如果每一个状态 都能

19、控，则称该系统为状态 （完全）能控的。下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即t=0。由上一章的内容可知，式（2.2.1）的解为x(t) =eAtx(0)eA（t_）利用状态能控性的定义，可得x（tj =0=eAt1x（0）t1eA（t）Bu（ ）do自动控制原理(下部)第二章x(0) - - e Bu(. )d .(2.2.2)将e公写为A的有限项的形式，即n_!e丄 J k( )Ak(2.2.3)k=0将式(2.2.3)代入式(2.2.2)，可得ktix(0) -AkB ak(.)u(.)d.(2.2.4)k=0记t1_0 a” )u( )d

20、.y k则式(2.2.4)成为n Jx(0)為 AkB ： kk =0Po 1Pi(2.2.5)n 1=-B :AB ：A B|如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足式(2.2.5)。这就要求nn维矩阵Q =B心 AnB的秩为n。由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当nxn维矩阵Q满秩，即rankQ = rankB ABAnB二 n时，由式(2.2.1 )确定的系统才是状态能控的。上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为x = Ax Bu式中，x(t) Rn,u(t)，Rr, A Rnn,B，Rn r，那么可以证明，状态能控性的条件

21、为n呦r维矩阵Q 二B AB 右B的秩为n,或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵Q =B A ;An4B能控性矩阵。例2.6考虑由下式确定的系统:由于1 1 detQ =detB - AB =00 0即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。例2.7考虑由下式确定的系统：乂一2 一占对于该情况，0 1 detQ = det B : AB=工 01 -1即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。3状态能控性条件的标准形判据关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。考虑如下的线性系统X = Ax Bu(2.2.6)式中

22、，x(t) Rn,u(t) Rr,A Rnn,B Rnr。如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P,使得PAP =一“ 二 diagh, 2, , n 注意，如果 A的特征值相异，那么 A的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。 例如，具有相重特征值的n n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵P的每一列是与 入(i=1,2，；n)有联系的A的一个特征向量。设x = P z(2.2.7)将式(2.2.7)代入式(2.2.6)，可得z = P *APz P*Bu(2.2.8)定义PB =(fj)则可将式(2.2.8)重写为21自动控制原理（下部）第二章召

23、=f11u1 f12u2f1rurZ2 = 2Z2f21U4f22u2 丁 f2rurZn =Zn - fnlUi 仏口2如果nM维矩阵丨的任一行元素全为零,那么对应的状态变量就不能由任ui来控制。由于状态能控的条件是 A的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵】二PB没有一行的所 有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（2.2.8）的矩阵PAP转换成对角线形式。如果式（2.2.6）中的矩阵 A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别九人1,4,4,衣,所且有n - 3个互异的

24、特征向量，那么A的Jordan标准形为10 0 10100%九41J =0扎4+0+心一其中，在主对角线上的3X3和2X2子矩阵称为Jordan块。假设能找到一个变换矩阵S,使得SAS 二 J如果利用x = S z（2.2.9）定义一个新的状态向量z,将式（2.2.9）代入式（2.2.6）中，可得到z 二SASz SBu=Jz 丨 u（2.2.10） 从而式（2.2.6）确定的系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当（ 1 ）式（2.2.10）中的矩 阵J中没有两个 Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个 Jordan块最后一行相对应的-S 4B的任一行元素不全为零；（3）对应于不同特征值

25、的-SB的每一行的元素不全为零时，则系统是状态能控的。例2.8下列系统是状态能控的:和-I!x2r（oxjX2?3 jx；l -2X2X3=X4X 一0【1Di-1X2 | +4 u-2J/3_|.3J1-21-21-511|X2X3+3|X4妝一21IN2F列系统是状态不能控的:2时肚x/l-1=iX!-21-11-24|x2 +1-2-5254用传递函数矩阵表达的状态能控性条件状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相 约，那么在被约去的模态中，系统不能控。例2.9考虑下列传递函数:X(s) _ s 2.5U(s)

26、 (s 2.5)(s-1)显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）（因此少了一阶）。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为111B : AB = |占1 一即能控性矩阵B AB的秩为1,所以可得到状态不能控的同样结论。5输出能控性在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。 对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统x=Ax Bu（2.2.11）y=Cx Du（2212）式中，xRn,uRr,y Rm,ARnn,

27、BRnr,CRmn,DRm r。如果能找到一个无约束的控制向量 U（t），在有限的时间间隔tWW1内，使任一给定的初 始输出y（to）转移到任一最终输出 y（h）,那么称由式（2.2.11 ）和（2.2.12）所描述的系统为 输出能控的。可以证明，系统输出能控的充要条件为：当且仅当m*n+1）r维输出能控性矩阵Q- CB CAB CA2BCAnB ;D的秩为m时，由式（2.2.11 ）和（2.2.12）所描述的系统为输出能控的。注意，在式（2.2.12）中存在Du项，对确定输出能控性是有帮助的。222系统的能观测性现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式x 二 Ax（2.2.1

28、3）y =Cx（2.2.14）式中，x Rn,y Rm,A Rn n,C Rm n。如果每一个状态x（t）都可通过在有限时间间隔 tow1内，由y（t）观测值确定，则称系统为（完全）能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设to=0。能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（2.2.13 ）和（2.2.14 ）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空

29、间表达式x = Ax Buy = Cx Du则自动控制原理（下部）第二章x(t) =eAtx(O)亠 | eA(t )Bu(.)d.从而y(t) =CeAtx(O) C teA()Bu(.)d DuLo由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式(2.2.13)和(2214)所描述的零输入系统就可以了。1.定常系统状态能观测性的代数判据考虑由式(3.13)和(2.2.14)所描述的线性定常系统。将其重写为x = Axy = Cx易知，其输出向量为y(t)二 CeAtx(O)At将e写

30、为A的有限项的形式，即n A.eAt 八k(t)AkkzO因而n -1ky(t)k(t)CA x(0)k=0y(t) =，o(t)Cx(O)：(t)CAx(O)川：gn(t)CAnx(0)(2.2.15)显然，如果系统是能观测的，那么在OWW1时间间隔内，给定输出y(t),就可由式(2.2.15) 唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nmxn维能观测性矩阵CA31.CAn -1的秩为n。2.2.13)和(2.2.14)所描述的由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式( 线性定常系统，当且仅当 n hm维能观测性矩阵Rt 二Ct 1atCt “(At)2Ct的秩为n,即rankRT

31、= n时，该系统才是能观测的。例2.10试判断由式m2和戸叩uX2 |-2 -1 X21y = 10和% 一所描述的系统是否为能控和能观测的。解由于能控性矩阵一 01 1Q = B ：AB = |1-1 一的秩为2，即rankQ =2 = n，故该系统是状态能控的。对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于Q二CB CAB = 011的秩为1，即rankQ，= 1二m，故该系统是输出能控的。为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于的秩为2，rankRT =2二n，故此系统是能观测的。2.用传递函数矩阵表达的能观测性条件类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达

32、。是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约,不能观测了。此时能观测性的充要条件则约去的模态其输出就例2.11证明下列系统是不能观测的。式中xj 卜2 x3 J10-11C解由于能观测性矩阵46rT =CT -ATCT aT)2CT= 5-7J-165-1注意到4665-75=01-1-1即rankRT ： 3 = n，故该系统是不能观测的。事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于Xi(s)和U (s)之间的传递函数为Xi(s)1U(s) - (s 1)(s 2)(s 3)又Y (s)和X1 (s)之间的传递函数为涪s 1)(s 4)故Y(s)与U(s)之间的传递函数为Y

33、(s) (s 1)(s 4)U(s) 一(s 1)(s 2)(s 3)显然，分子、分母多项式中的因子(s+1 )可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。3. 说明当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。4. 状态能观测性条件的标准形判据考虑由式(2.2.13)和(2.2.14)所描述的线性定常系统，将其重写为x 二 Ax(2.2.16)y 二 Cx(2.2.17)设非奇异线性变换矩阵 P可将A化为对角线矩阵，P 4AP 7式中，上二diag1,鼻,，n 为对

34、角线矩阵。定义X = Pz式(2.2.16)和(2.2.17)可写为如下对角线标准形z 二 P* APz 二.zy = CPz因此y(tCPetz(0)或e-t0 評乙（0）y(t) =cpe卅+z(0) =CP0ej1eZnPL如果mxn维矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。这是因为，如果CP的第i列含全为零的元素，则在输出方程中将不出现状态变量zi （0），因而不能由y上述判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式（2216）和（2217）化为对角线标准形的情况。如果不能将式（2.2.16）和（2.2.17）变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换 矩阵S,将其中

35、的系统矩阵A变换为Jordan标准形。1S AS 二 J式中，J为Jordan标准形矩阵。定义x = Sz则式（2.2.16）和（2217）可写为如下Jordan标准形.1z = S ASz = Jzy = CSz因此y（t）二 CSeJtz（0）系统能观测的充要条件为： （1） J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每 个Jordan块的第一行相对应的矩阵 CS列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应 的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。为了说明条件（2），在例3.7中，对应于每个Jordan块的第一行的CS列之元素用下划线 表示。例2.12下列系统是能观测的：自动控制原理(下部)第二章显然,0 2-1-o-1 2X XrurL习1 - -yo o-2 3X x_J2ylyyruLo o3 4_一-12 3X X X X