回归模型的假设检验附

1、第6章回归模型的假设检验1,区间估计一基本概念假设对消费函数回C i2Y u归分析之后，得出边际消费倾向2的估计值为0.509。这是对未知的总体 MPC 2的一个单一的点估计。这个点估计可不可靠？虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值(E( ?2)2)，但由于抽样波动，单一估计值很可能不同(3)于真值。在统计学中，一个点估计量的可靠性有它的标准误差来衡量。因此，我们不能完全 依赖一个点估计值，而是围绕点估计量构造一个区间。比方说，在点估计量的两旁各划出宽 为2或3个标准误差的一个区间，使得它有95%勺概率包含着真实的参数值。这就是取件估计的粗略概念。假定我们想知道宽竟，比方说,?2离2有多

2、“近”。为了这个目的，试求两个正数和a, 0 a 1，使得随机区间(纟)包含2的概率为1 a。Pr( ?2如果存在这个区间，就称之为置信区间, 置信区间的端点称临界值。上限和下限。(1 a)称置信系数或置信度,0.05 , 0.01。(1)a称为显著水平。比方说a 0.05, (1)式就可读为：试中的区间包含真实的2的概率为95%2,回归系数的置信区间元回归时，在ui的正态性假定下，OLS估计量本身就是正态分布的，其均值和方差已随之列出。以？2为例S?2(2)2的方差2(X X)这是一个标准化正态变量。因此，如果知道真实的总体方差2已知，就可以利用正态分2 2布对2作概率性表达。当已知时，以为

3、均值，为方差的正态变量有一个重要性质，就是之间的面积约占 68% 95% 99%2 2但是很少能知道，在现实中用无偏估计量来确定。用？代替 ,(2)可以改写为?2 2S门)这样定义的t变量遵循自由度为n-2的t分布。用t分布来建立2的置信区间Pr(ta/2tta/2)1a(4)t是给出的值，而ta/2由显著水平为a/2和自由度为n-2的t分布给出的临界值。(3)带入(4),得?Pr( t22ta/2)1 a(5)Pr( la/2S(?2)重新整理Pr(?2ta/2S( ?2 )2?ta/2 S( ?)1 a(6) 给出的是2的一个100(1 a)%的置信区间，在整理?2 ta/2 S(笃)(7

4、)假设通过回归分析求得?2 0.509, S( ?2) 0.0357，并且自由度=&若求a 0.05，也就是取95%的置信系数，查找 t分布表t(8,0.05) =2.306。可证实 2的95%勺置信区间为：0.42682 0.5194(8)再整理0.509 2.306 0.03570.509 0.0823对这个置信区间的解释是：给定置信系数为95%从长远看，在类似于(0.4268 , 0.5194 )的每100个区间中，将有 95个包含着真实的2值。但不能说95%勺概率包含着真实的2 ,因为这区间已经是固定的，不是随机的。要么落入其中要么落在其外，因此概率是不是1就是0。3，假设检验假设检验

5、就是，某一给定的观测或发现是否与某声称的假设相符？(1),置信区间的方法利用上面的消费函数。?2 0.509，某人称2 0.3原假设H。：0.3备择(替代)假设比：0.3- 双侧假设所观测的?2是否与H。相符？为了回答此问题，引用(8)的置信区间。从长远看，在类似于(0.4268 , 0.5194 )的每100个区间中，将有 95个包含着真实的2值。决策法则：构造一个2的100 (1-a ) %勺置信区间。如果2在假设H。的下落如此区间，就不要拒绝H 0。如果他落在在此区间之外就要拒绝H 0。遵照此规则，H。：0.3，显然落在上面的置信区间之外，因此能以95%勺置信度拒绝MPO的真值是0.3的

6、假设。即使原假设是正确的，我们得到一个大到0.509的MPG，最多也只有5%勺机会，这是一个小概率。在统计学中，当我们拒绝原假设时，我们说统计上显著的。反之不显著。(2),显著性检验法显著性检验法是利用样本结果，来证实一个原假设的真伪的一种检验程序。根据手中算出 的统计量的值决定是否接受原假设。t 22S(2)(9)其中2是在H。下的2的值。遵循自由度为 n-2的t分布。如果原假设下2的真值被设定，则容易的算出t值。因此这个变量就可作为一个统计量。置信区间为Pr(ta/2?2S(?2)ta/2)(10)(10)再整理得此式给出在给定Pr(ta/2S()2时，?2以概率?22ta /2 S( ?

7、2)1-a的落入其中的区间。(11)(11)中的置信区间叫做接受域，而置信区间以外的区域叫做拒绝域。比较(6)和(11)就能看清假设检验的置信区间法和显著性检验之间的密切关系。在置 信区间程序中，我们试图建立一个某种概率包含有真实但未知的2的一个围或区间，而在显著性检验步骤中，我们假设2为某值，然后来看所计算的?2是否位于该假设值周围的某个致信围之。再回到消费函数。?20.509,S( ?2)0.0357，并且自由度=8。若求a 0.05，也就是取95%勺置信系数，查找t分布表 t(8,0.05) =2.306。若令 H。220.3,比 0.3由(11)Pr(0.2177?2 0.3823)

8、0.95F图所示，因预测的2落在临界域中，故拒绝真实0.3的原假设。在原假设0.3下?2的95%置信区间在现实中，不需要估计（11）,按（10）计算t值，然后看他是落在两个t临界值之间还是之外，用例子算0.509 0.30.03575.86t值清楚地落在图的临界域，拒绝H0如果一个统计量的值落在临界域这个统计量是统计上是显著的，这时我们拒绝原假设。一、t值t值是用来检验根据 OLS估计出来的回归系数是否显著的统计量。回归系数在统计学上如果被判断不为零，就是显著的。如果回归系数是不显著的（回归系数=0），则意味着解释变量对被解释变量没有任何影响，该变量在模型中没有存在的必要。（一），一元回归模型

9、模型：ya xu设有OLS估计出的a,分别为?, ?。2步骤1 ：估计残差方差s （残差的无偏方差）2U2sU? y ?n 22s的正平方根s，称做回归方程的标准误差。步骤2 :估计a, ?的方差2n (x X)2n x2( x)222 s?(x x)2 nx2 ( x)2ns方差表示的是相应的离散程度。步骤3:计算回归系数的标准误差现在假设a,为真正的回归系数，他们与估计的回归系数? ?之间的误差，即? a，超过2s?,2s?的概率在5好下，超过3s?,3s?的可能性非常小。步骤4：计算t值tj?回帰係数推定値 _? 回帰係数標準誤差 =s?步骤5:对估计出来的回归系数 ？ ？进行显著性检验

10、（t检验）t检验有双侧检验与单侧检验两种，说明双侧检验。首先，建立原假设与备择假设。原假设H 0 :0备择(替代)假设Hj :0计量经济分析常希望通过放弃原假设，支持备择假设来进行假设检验。假设检验在原假设 被拒绝时有意义，而且为拒绝原假设而进行假设检验。由步骤4计算出来的t值服从自由度n-2,因此，可以根据t分布表进行显著性检验。计 算出来的t值的绝对值大于t分布表中找到的t值，则放弃原假设，估计的回归系数显著。 这时，显著性水平一般采用 5%其次采取1%显著性水平即拒绝原假设的情况下，仍认为接 受原假设的概率，分析者出现错误判断的概率。放弃表示的是，如果原假设为正确地话，在 5% 1%勺概

11、率下所发生的稀奇的事发生，说明原假设不能信赖。样本数如果达到一定程度( n 30)，即自由度28以上，t值只要大于2.0，计量经济学 家就习惯于将回归系数判定为显著。但是样本数很少，即使判定之在2.0以上，也不要使用这一规则。在单侧检验中，付号条件既疋时备择假设（二）,多元回归模型：Y a1X12X 2 u求估计值2步骤1:估计残差万差S2 S?2n3步骤2:估计回归系数的方差步骤3:标准误差步骤4:计算t值t ?a?1,t勺,t ?2s?S?1步骤5:显著性检验例题1根据一兀回归模型 yax u的结果,Hi 为 0,0。2S?2回答以下问题。括号中的数值是t值。Y 14.107 1.224X

12、2(7.751 ) (20.166 )R 0.976, n 121, 按5%勺显著性水平，对回归系数进行显著性检验。2, 求a和 的95%勺置信区间。解答：(1), T检验的自由度为n k 1 12 1 1 10。根据t分布表，双侧检验中显著性水平为5%自由度为10的判定值为2.228。因此,t ?7.7512.228t?20.166 2.228原假设（H。: a 0,0）被放弃，估计的回归系数在5%水平上显著。（2），设a和 的估计值为a ?，标准误差为s?1.863, s ?0.061，a和 的95%的置信区间为：a（ t分布表双侧检验中5%显著性水平上自由度 n-2的判定值）s?（t分布

13、表双侧检验中5%显著性水平上自由度 n-2的判定值）s?因此，a的95%勺置信区间为14.1072.2281.863= （9.956 , 18.258 ）的95%的置信区间为1.2242.228 0.06仁 (1.088 , 1.360 )这就是说，分析者对于 a处于9.95618.258之间，处于 1.0881.360之间的事，具有95%的把握。例题2:1, 对进出口函数 Y a X u的回归系数a,进行OLS估计，这里2, 计算决定系数R23, 计算残差方差和回归方差的标准误差。4, 计算回归系数的标准误差5, 计算t值，并在1%的水平下，对回归系数进行显著性检验。解答：n XY2 2n

14、X ( X)13*58919608*114613* 30326(608)22.81513Y - X 1146 2.81513*60843.50761n13因此，新加坡的进出口函数为边际进口倾向为43.507612.81513X2.81513，即每一单位 GDP的增加，相应的有 2.8单位进口额的增加。由此可见，先加坡经济的特征之一是贸易依存度极高。2,决定系数0.9874n XY (X)( Y)2222n X ( X) n Y ( Y)估计出的进出口函数的拟合度非常良好。3, 求残差方差?2n 2191.08713 217.37157s 、s24.167924, 计算回归系数的方差和标准误差s

15、2 ?s2 X2n X2( X)221.4377s?4.6301s2n(X)20.00918981s?0.0958645, 求t?43.50769.397s?4.4.63012.815129.366s?0.095864T检验的自由度为n k 113 1 1 11t?为双侧检验，另一方面 t?由于存在0这一符号条件，为单侧检验。t?9.397 3.106t ?29.3662.718放弃原假设(H:a 0,0)估计出来的回归系数在 1%水平上显著。，F值T检验用于单个回归系数的显著性，而F值是在多元回归中对多个回归系数进行综合检验(F检验)时采用的。F检验也称为决定系数 R2或重相关系数 R的显著

16、性检验。步骤1 :建立原假设和备择假设原假设 ：H。：常数项以外的所有的回归系数为零备择假设：H1：H。不成立原假设被放弃，可以判断解释变量的全部或部分对被解释变量有影响。但是，哪一个解释 变量是有效的还无法判定。步骤2:计算F值回归平方和 解释变量数 残差平方和(Y? Y)2k?2R21 R2样本数-解释变量数-1步骤3:计算出来的F值，服从自由度(分子, F值大于判定值，放弃原假设，结果为显著。在例题：有10个家庭的月均储蓄 Y,月收入Y a 1X12X2 u进行OLS估计得出系数的显著性进行综合检验，显著性水平设为解答：n k 1分母)=(k,n k 1)的F分布。计算出的F分布表中，横

17、向为分子，纵向为分母。X，家庭人数 X2的数据，用多元回归模型R20.98358。求F值，并对估计出的回归1%R2 n k 10.9835810 2 12209.71 R k 1 0.9835821%显著性水平F自由度(分子，分母)=(k2,n k 1 7)的F检验的判Y根据分布表，定值F0=9.55，估计出来的F值大于临界值，因此放弃原假设，可见解释变量全部或部分对 有影响。三，结构变化的F检验结构变化的F检验，也成为Chowtest ,用于调查，检验经济分析中一个极其重要的问题， 即“是否存在结构变化”。步骤1:在利用时间序列所做的回归分析中，找出估算期间发生结构变化的时点(分界点)，以此

18、时点为标准，将期间分为前期和后期。步骤2：对前期，后期，全部期间进行回归分析，步骤3：根据结构变化的求各自的残差平方和 SSRI, SSR2, SSR。F检验公式，计算 F值。SSR :前期的残差平方和SSR2:后期的残差平房和SRR:全部期间的残差平方和(1), ni结构变化的n1 :前期的样本数 n2：后期的样本数 k:解释变量的数k 1, n2 k 1的情形。F检验为F SSR(SSR1 SSR2)5n2 2(k 1)SSRI SSR2(2)，n1 k 1,的情形(以及n1SSR SSRI n1 (k 1)SSRIk 1k 1)n2步骤4:利用F分布表，对步骤3计算出的F值进行检验。在检验时，分别就上述（1）的 情形中，自由度（分子，分母）=（kn2 2k 2） ,（2）的情形中，自由度（n2,m k 1）进行F检验。如果计算出的F值大于F分布表中的判定值，放弃“前期的回归系数与后期的回归系数完 全相等”的假设，说明出现了结构性变化。相反，如果计算出的F值小于F分布表中的判定值，不放弃“前期的回归系数与后期的回归系数完全相等”的假设，说明没有发生结构性变 化。四，预测利用估算出来的回归模型，说明预测置信区间的计算方法。预测置信区间，指的是被解释 变