《121任意角的三角函数（一）》课件

1、1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（一） 1.1.掌握任意角的三角函数的定义，树立映射观点；掌握任意角的三角函数的定义，树立映射观点； 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 2.2.已知角已知角终边上一点，会求角终边上一点，会求角的各三角函数值；的各三角函数值； 3.3.掌握三角函数的定义域、值域掌握三角函数的定义域、值域. . 任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概是三角学中最基本最重要的概 念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究， 始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳

2、斯和托勒密等人对始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对 天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直 到到14641464年，德国数学家雷基奥蒙坦著年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角论各种三角 形形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统 的阐说；的阐说；14141616世纪，三角学曾一度成为欧洲数学世纪，三角学曾一度成为欧洲数学 的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、 平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建平面三角形和球面三角形的解法，三角恒

3、等式的建 立和推导等等立和推导等等.1631.1631年，三角学输入中国，三角学年，三角学输入中国，三角学 在中国早期比较通行的名称是在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”。 “八线八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦正弦 线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、 正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为 研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学 工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛工具，它在

4、测量、力学工程和无线电学中有着广泛 的应用的应用. . 在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，sinsin，coscos，tantan分别叫做分别叫做 角角的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ B C si n = A B a A C cos = A B a B C tan = A C a A A B B C C 当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos， tantan的值进行推广，以适应任意角的需要的值进行推广，以适应任意角的需要. .如何定义任如何定义任 意角的三角函数呢意角的三角函数呢? ? 我们

5、把锐角我们把锐角放到直角坐标系中，并使角放到直角坐标系中，并使角的顶的顶 点与原点点与原点O O重合重合, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合. .在角在角的终的终 边上取一点边上取一点P P（a a，b b）, ,设点设点P P与原点的距离为与原点的距离为r r，那么，那么， sinsin，coscos，tantan的值分别如何表示？的值分别如何表示？ sin b r cos a r tan b a x x y y o o P(aP(a，b)b) r r A A B B 思考思考: : 对于确定的角对于确定的角，上述三个比值是否随，上述三个比值是否随 点点P P在角在角的终

6、边上的位置的改变而改变呢？的终边上的位置的改变而改变呢？ 为什么？为什么？ 由相似三角形的知识可知由相似三角形的知识可知, ,这三个比值不会随着这三个比值不会随着 点点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变的终边上的位置的改变而改变. . 为了使为了使sinsin，coscos的表示式更简单，你认为点的表示式更简单，你认为点P P的位的位 置选在何处最好？此时，置选在何处最好？此时，sinsin，coscos分别等于什么？分别等于什么？ x x y y o o P(a P(a，b)b) sinb cosa tan b a 1 1 在直角坐标系中，以原点在直角坐标系中，以原点O O为圆心，以单

7、位长度为半径为圆心，以单位长度为半径 的圆称为单位圆的圆称为单位圆. . 对于角对于角的终边上一点的终边上一点P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，只需点，只需点P P为终边为终边 与单位圆的交点与单位圆的交点. . 的终边的终边 O Ox x y y P P 单位圆单位圆 设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），）， 为了不与当为了不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sinsin， coscos，tantan对应的值应分别如何定义？对应的值应分别如何定义？ 的终边的终边 P(xP(x

8、，y)y) O O x x y y siny cosx tan(0) y x x 对于一个任意给定的角对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的，按照上述定义，对应的 sinsin，coscos，tantan的值是否存在？是否唯一？的值是否存在？是否唯一？ 角角的终边在的终边在y y轴上时轴上时, , tantan的值无意义的值无意义, ,除此之除此之 外外, ,其它的角的三角函数其它的角的三角函数 值都是唯一确定的值都是唯一确定的. . 的终边的终边 P(xP(x，y)y) O O x x y y 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上 的点

9、的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角三角 函数函数 一、三角函数的定义一、三角函数的定义 正、余弦函数的定义域为正、余弦函数的定义域为R R， 正切函数的定义域是正切函数的定义域是 R |k ,kZ. 2 思考：思考：正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？ O O x y y 5 3 例例1 1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. . 5 3 13 P( ,) 22 解：解： 在直角坐标系中在直角坐标系中,作作 5 3 AOB . 易知易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的

10、交点坐标为 13 ( ,) 22 . 53 sin 32 , 51 cos 32 , 5 tan3 3 . P P0 0（3 3，4 4） P P（x x，y y） 例例2 2 已知角的终边过点已知角的终边过点P P0 0（3 3，4 4），求角的正弦、），求角的正弦、 余弦和正切值余弦和正切值. . O O x x y y M0 M 解解：由已知得由已知得 22 0 ( 3)( 4)5OP . . 设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点( , )P x y, , 分别过点分别过点 0 ,P P作作x轴的垂线轴的垂线 00 ,MP M P, ,则则 000 ,4,3MPy M POM

11、x OM OMP 00 OM P, , 于是于是, , 00 0 4 sin; 15 MPM Py y OPOP 0 0 3 cos; 15 OMOMx x OPOP sin4 tan. cos3 y x P P0 0（3 3，4 4） P P（x x，y y） O O x x y y M M0 0 M M 若点若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意一点，则终边上任意一点，则 P(xP(x，y)y) O O x x y y 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 提升总结提升总结 解析：解析：设()P xy，是角终边上任一点，因为 0 6 ，所以0yxr， yxx rry ，即 1 sincos tan 故应选 因为2,3xy ，所以 22 2( 3)13r ， 于是 33 13 sin 1313 y r ； 22 13 cos 1313 x r ； 3 tan 2 y x 解析解析: : 1.1.