结构动力计算的特点和内容单自由度体系的自由振动和强迫振

1、1 v结 构 动 力 计 算 的 特 点 和 内 容 v单自由度体系的自由振动和强迫振动 v多自由度体系的自由振动和强迫振动 v无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 v近似法求自振频率 v矩阵位移法求自振频率 2 1、结构动力计算的特点和内容 动荷载与静荷载的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变， 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变， 而且变得很快 或变得很慢 衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。 与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动 力计 算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含 了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。 建立的方程

2、是微分方程。 动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素： 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动） 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动） 2、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） 14-1 动力计算概述 3 偏心质量m,偏心距e,匀角速度 惯性力:F=m 2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载. t F(t ) t F t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） F t F(t ) t tr F tr F 3

3、）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载） 4 3、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难，常作简化如下： 1）集中质量法）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。 m mm梁 m +m梁 I I2I m+m柱 厂房排架水平振动 时的计算简图 单自由度体系 三个自由度体系 5 水平振动时的计算体系 多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块 (t) v(t) u(t) 三个自由

4、度 三个自由度 复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度 6 x y(x) 2）广义坐标法）广义坐标法 将无限自由度体系化成 有限自由度体系的另一种方法假设振动曲线 n i ii xaxy 1 )()( 221 ,., 为满足位移边界条件已知函数,称为 形状函数, a1, a2, an为待定的参数（广义坐标）。 烟囱底部的位移条件:0, 0 dx dy y 于是近似设变形曲线为: 13 2 2 1 .)( n nx axaxaxy n个自由度体系 简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0 于是近似设变形曲线为: n k k l xk axy 1 sin)( n个自由度体系

5、7 几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集 中质量数，可能比它多，也可能比它少。 2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度， 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。 8 单自由度体系动单自由度体系动 力分析的重要性力分析的重要性 具有实际应用价值，或进行初步的估算。 多自由度体系动力分析的基础。 自由振动自由振动(固有振动固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理

6、） m k k y(t) y(t) m 1、刚度法 y mky 从力系平衡角度建立的自由振动微分方程 2、柔度法 从位移协调角度建立的 自由振动微分方程 取振动体系为研究对象， 惯性力： =1/k ).(0akymy . my . my . myf I . ).()(bmyfy I . 14-2 单自由度体系的自由振动 9 二、自由振动微分方程的解 )( m k w )sin()(awtaty sincos)( 0 0 w w wt v tyty )0( 020 yCyy cossin)( 21 wwtCtCty y(t) t y0 y0 y(t ) t v0/ v0/ T t a a T /

7、 )(0akyym . 0 2 yyw . )0( 0 10 w v Cvy . 10 )sin()(awtaty sincos)( 0 0 w w wt v tyty 0 01 v y tg w a 2 2 02 0 , v ya w 0 cosa v w 0 sinaya sincoscossintatawawa 振幅: 初始相位角: 三、结构的自振周期 )sin()(awtaty) 2 ( w ty) 2 (sin(a w wta)2sin(awta 周期函数的条件: y(t+T )=y(t ) )sin()(awtaty是周期函数,且周期是: w 2 T 频率: w 2 1 T f 每

8、秒钟内的振动次数。 圆频率: f T w2 2 2秒内的振动次数。 无阻尼自由振动是简谐振动无阻尼自由振动是简谐振动 11 自振周期计算公式的几种形式： g st D 2 g W 2m2 k m 2 T w 2 圆频率计算 公式的几种形式： st g D W g m k w m 1 其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动 方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三则中哪一 个最便于

9、计算来选用。 一些重要性质： （1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关， 与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期 越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度 越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只 有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力 性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果 其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。 W是质是质 点的重力点的重力 12 例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三

10、则者的自振频率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：1）求 EI l 48 3 1 F=1 3l/16 5l/32 F=1 l/2 EI lllll EI l 768 7 ) 32 5 216 3 2 2( 6 1 3 2 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192 3 3 3 1 1 481 ml EI m w 3 2 2 7 7681 ml EI m w 3 3 3 1921 ml EI m w 据此可得：1 2 3= 1 1.512 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。 13 l/2l/2 m l/2l/2 k 1 A CB 33 S 9

11、6 )2/( 12 l EI l EI F CB 33 S 96 )2/( 12 l EI l EI F CA FSCA FSCB 3 SS 192 l EI FFk CBCA 3 192 ml EI m k w 例例2:求图示刚架的自振 频率。不计柱的质量。 EIEI EI1= m l h 1 3EI/h2 6EI/h2 6EI/h2 k 12EI/h33EI/h3 3 15 h EI k 3 15 mh EI m k w 14 27 4l 27 2l 9 l 1 1 3 l EI lllll EI l 4374 5 ) 9327 4 3 2( 6 1 3 3 11 3 11 5 43741

12、 ml EI m w l/32l/3 m 例例3 例例4 l/2l m 12 l EI ll l llll EI8 ) 3 2 222 1 23 2 222 1 ( 1 3 11 3 11 81 ml EI m w 15 1 例例5解法1：求 k=1/h MBA=kh = MBC k 1 h m I= EI B A C lh EI l EI3 3 lmh EI m k 2 11 3 w 2 3 lh EI k 1 h 解法2：求 EI lhhlh EI33 2 2 1 2 11 2 11 31 mlh EI m w 16 例例6 l EI m k 1 k11 k11 k 3 3 l EI 解：

13、求 k 3 11 3 l EI kk m k m k l EI 3 3 11 w 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方 便。 3 12 l EI 一端铰结的杆的侧移刚度为： 3 3 l EI 两端刚结的杆的侧移刚度为： 17 强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动结构在荷载作用下的振动 k y(t) y m ky F(t ) m F(t ) F(t ) m 弹性力ky、惯性力 和荷载F(t)之间的平衡方程为: 1 1、简谐荷载、简谐荷载 t m F tAwsinsin)( 22 t

14、 m F tAtAwsinsinsin 22 tAysin )( 22 w m F A tyt m F y st w ww sin )1 ( 1 sin )1 ( 22222 w F m F yst 2 单自由度体系强迫 振动的微分方程 特解： my . )(.)(atFkymy . )1114( )( 2 m tF yyw . my . m t F yywsin 2 . 14-3 单自由度体系的强迫振动 18 最大静位移最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。 tyy st w sin 1 1 22 特解可写为： 通解可写为：tytCtCy st w wwsin

15、1 1 cossin 22 21 设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则： 0, 1 2 22 1 CyC st w w )sin(sin 1 1 22 ttyy st w w w 过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在） 按自振频率振动 按荷载频率振动 19 平稳阶段： tyy st w sin 1 1 22 最大动位移（振幅）为： 22 max 1 1 w st yy 22 max 1 1 w st y y 动力系数为： 1 0 2 3 123 w 重要的特性 f当/0时,1，荷载变 化得很慢，可当作静荷载处理。 f当0/1，并

16、且随 /的增大而增大。 f当/1时,。即当荷 载频率接近于自振频率时，振幅 会无限增大。称为“共振”。通常 把0.75/1时,的绝对值随/ 的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 20 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内 力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动 力系数按静力方法来计算即可。力系数按静力方法来计算即可。 例：例：已知m=3

17、00kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,F=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。 2m EI m k Fsint 2m 解：解：1)求求 kEI l 2 1 2 1 48 3 21 EI l EI l EI l 192 5 19248 333 1 3 11 16.134 5 1921 s ml EI m w 2)求求 552. 1 1 1 22 w m EI l FFy 3 5 333 max 1075. 5 1090192 451020552. 1 192 5 3)求求ymax, Mmax mkNlFM.04.31420552. 1 4 1 )(

18、4 1 max 21 例例14-314-3 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数 W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力 F=10kN，F的竖向分量为Fsint。忽略梁的质量，试求强迫振动 的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m. 解：1）求自振频率和荷载频率 S QlEIg 1 343 4 .57400359807480101 . 24848 S n 1 3 .526050014. 32602 2）求动力系数 88. 5 4 .573 .521 1 1 1 2

19、222 w EI Fl EI Ql yst st 4848 33 max DD W lFQ W Fl W Ql 4 )( 44 max st g D w 175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。 I22b 3570cm4 357039.7 39.7 1.35 可见，对于本例，采 用较小的截面的梁既 可避免共振，又能获 得较好的经济效益。 52.3/57.4=0.91 325 149.2 22 2 2、一般荷载、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动

20、力反应来推导 c 瞬时冲量的动力反应瞬时冲量的动力反应 设体系在t=0时静止， 然后 有瞬时冲量S作用。 F(t) t F 瞬时冲量S引起的振动可视为 由初始条件引起的自由振动。 由动量定理： tFSmvD0 0 m tF m S v D 0 0 0 y t t m S tyw w sin)( t t t t t m S tyw w sin)()(sinw w t m S sincos )( 0 0 w w wt v tyty 23 c 任意荷载任意荷载F(t)的动力反应的动力反应 F(t) t D dFdS)( 时刻的微分冲量对t瞬时 (t )引起的动力反应为: )(sin )( w w t

21、 m dF dy 初始静止状态的单自由度体系 在任意荷载作用下的位移公式: w w dtF m ty t )(sin)( 1 )( 0 (Duhamel 积分积分)（14-15） 初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式: w w w w wdtF m t v tyty t )(sin)( 1 sincos)( 0 0 0 t 24 c 几种荷载的动力反应几种荷载的动力反应 1）突加荷载）突加荷载 0, 0, 0 )( 0 tF t tF 当 当 F(t) t F w w dtF m ty t )(sin)( 1 )( 0 w w dtF m ty t )(sin 1 )(

22、0 0 )cos1 ()cos1 ( 2 0 tyt m F st ww w yst=F0=F0/m2 yst y(t) t 0 23 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动 2 )( max st y ty yst yst 25 2）短时荷载）短时荷载 ut utF t tF , 0 0, 0, 0 )( 0 F(t) t F u 阶段(0tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 和速度为初始条件作自由振动。 )cos1 ()(uyuy st w uyuv st wwsin)( sincos )( 0 0 w w wt v tyty )(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuyty

23、stst wwww )cos)(costutystww 或者直接由Duhamel积分作 w w dtF m ty t )(sin)( 1 )( 0 w w dtF m ty u )(sin 1 )( 0 0 )cos)(cos 2 0 tut m F ww w ) 2 (sin 2 sin2 u t u ystw w 26 另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 F(t) t F F(t) t F u F(t) t F u )cos1 ()(tyty st w )(cos1 ()(utyty st w 当0 u )cos1 ()(tyty st w)(cos1 (utystw )cos)

24、(costutystww) 2 (sin 2 sin2 u t u ystw w 27 单自由度体系的强迫振动(无阻尼) 简谐荷载简谐荷载 稳态反应稳态反应 tyy st sin m t F yywsin 2 . 2 w m F Fyst 荷载幅值引起 的静位移 22 1 1 w 动力系数 位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。 ymtymymI st 22 sin: 惯性力 惯性力与位移同方向同时达到幅值。 st ymI 2 max 动内力计算： 当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系 数与位移动力系数相同。动内力幅值为：Md=Mst Mst是动荷载幅值引起

25、的静内力。 当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力 系数与位移动力系数不相同。需先求出惯性力幅值，将其作用 在质点上，与动荷载幅值共同作用，按一般静力计算方法求内 力。 28 一般荷载作用下的动力反应一般荷载作用下的动力反应 w w dtF m ty t )(sin)( 1 )( 0 (Duhamel 积分)（14-15） 1）突加荷载）突加荷载 tF t tF 当 当 , 0, 0 )( 0 F(t) t F )cos1 ()(tyty st w yst=F0=F0/m2 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动 2 )( max st y ty yst y(t) t 0 23 ys

26、t yst 29 2）短时荷载）短时荷载 ut utF t tF , 0 0, 0, 0 )( 0 F(t) t F u 阶段(0tu)： 2 0 wm F y st ) 2 (sin 2 sin2)( u t u yty st w w 30 3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 r r r ttF tt t tF tF 当 当 , 0, )( 0 0 F(t) t F0 tr 这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求: rr r st r r st ttttt t y tt t t t y ty 当 当 ,)(sinsin 1 1 , sin )( ww w w w 对于这种线性渐增荷

27、载,其动力反应与升载时间的长短有 很大的关系。其动力系数的反应谱如下： 31 01.02.03.04.0 T tr 1.4 1.2 1.0 1.6 1.8 2.0 tr F0 动力系数反应谱 动力系数介乎1与2之间。 如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。 32 t y 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线 因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在 振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减 小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。 振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。 阻尼对振动的影响 33 忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映

28、实际结构的振动规律。大体上大体上 忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。 f产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦；周围介质的阻力。 f阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系： 与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 与质点速度无关（如摩擦力）。 f粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为 R(t)=cy )。 其他阻尼力也可

29、化为等效粘滞阻尼力来分析。 y 34 f考虑阻尼的振动模型 y ky k m F(t ) F(t ) y 动平衡方程： 1、有阻尼的自由振动 w w m c m k 2 , ( 阻尼比） )1( 2 wl 02 22 wwll) ( lt Cety设解为：特征方程为： 1)1（低阻尼）情况 2 1wwwwl rr i其中 tCtCey rr t ww w sincos 21 t yv tyey r r r t w w w w w sincos 00 0 c )2314(.02 2 yyyww . . )2214(.)(tFkyycym cy . my . 35 00 0 2 2 002 0 )

30、( )sin( yv y tg yv ya taey r r r t w w a w w aw w ae-t t y t y 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 阻尼对自振频率的影响. 而随www,1 2 r 当0.2,则0.96r/1 在工程结构问题中0.011 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。 2、有阻尼的强迫振动 单独由v0引起的自由振动： （低阻尼体系，1） 瞬时冲量dS=Fdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Fdt/m， y0=0为初始条件的自由振动： t v ey r r t w w w sin 0 t m Fdt ey r r t w w w sin 将荷载F(t)

31、的加载过程 看作一系列瞬时冲量 举例 )(sin )( )( w w w te m dF dy r t r 总反应 w w w dte m F ty r t t r )(sin )( )( )( 0 t yv tye r r r t w w w w w sincos 00 0 F(t) t d dFdS)( t 1=cr 39 （1）突加荷载F0)sin(cos1 )( 2 0 tte m F ty r r r t w w w w w w 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 yst y(t) t 0 23 45 y(t) t 0 23 45 静 力 平 衡 位 置 具有阻尼的体系在 突加荷

32、载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=F0/m2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。 40 （2）简谐荷载F(t)=Fsint 设特解为：y=Asint+Bcost 代入（14-34）得： 222222222222 22 4)( 2 , 4)(ww w ww w m F B m F A sincos 21 tCtCey rr t ww w +Asint+Bcost 齐次解加特解得到通解： 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变. 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯结论：在简谐荷载作用下，无论是否

33、计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 y=Asint+Bcost=yPsin(t) 2 11 2 2 2 2 2 2 22 )(1 )(2 ,41 2 1 w w a w w tg A B tg yBAy stP 振幅:yp，最大静力位移 yst=F/k=F/m2 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 w w )3414(sin2 2 t m F yyyww . tyty pp aacossinsincos 41 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 w w 动力系数与频率比/和阻尼

34、比有关 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 几点讨论： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。 当接近时，增加的 2 1 共振时共振时 很快，对的数值影响 也很大。在0.75/1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。 42 max并不发生在共振/=1时， 而发生在， 由y=yPsin(t) 可见， 只要有阻尼，位移总滞后荷载P （P=Fsint）一个 相位角， w 2 1 12 1 1 2 max 2 1 )(1 )(2 w w a tg 但因很小，可近似地认为： 2 21 w 当时,18