2003年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第n卷3至10页，共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共50 分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的和差化积公式sin ： cosJ4-2 -二sin（二 5 ） _sin（： _ -）2COS -： cosJsin 二

2、 sin ：二一 cos（j ，）cos（-：，）正棱台、圆台的侧面积公式S台侧（c c）l其中c c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径、选择题：本大题共 10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1)设集合 A=xx? _1 0 , B =x log2x：0，则 Anb 等于(A)xx1(C)xX -(2)设y=/ 0.9c 0.414, y2 =8,丫3 =(舟2(A)y3 y y2(C)y1 y y3(3)“ 8a=-”是“a =2k 兀2(A)必要非充分条件(C)充分必要条件(4)已知a、P是平面，m

3、、n是直线.(A)若m a, an B=n ,贝U m I(B)若m II n, m 丄 a,贝U n丄a(C)若m丄a, m丄P,则a I B(D)若m 丄 a, muP,则a丄Pn(5)丄5 ,则(B) xx 0顶点(6)(7)(D)(B)(D)x x ： -1 或 x 1y2y1y3%y3y2(B )充分非必要条件(D )既非充分又非必要条件F列命题中不正确的是如图，直线I: x-2y *2=0过椭圆的左焦点F1和一个B该椭圆的离心率为(A)-5215(D)-5若z C且|z+ 2 2i|= 1，贝U |z 2- 2i|的最小值是(A) 2(B) 3(C) 4JBJ。丿(D) 5如果圆台

4、的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为-15 -(A) 2二（8）若数列an的通项公式是an3（一1广3,n = 1, 2,则 lim (a1a2. an)njtzi等于（A）丄24（9）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出(B)11（C）：（D）-623种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有(A) 24 种(B) 18 种(C) 12 种(B) 7.2（D） 6 种（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2, ,， k.规定：同意按“ 1”，不同意（含弃权）按“ 0”.令a

5、jJ ,第i号同学同意第j号同学当选， ：0,第i号同学不同意第j号同学当选,其中i = 1, 2, , , k.且j = 1, 2, , , k.则同时同意第1, 2号同学当选的人数为(A) a11- a12-. -a1k- a21-a22-. -a2k(B) ana21-. -ak1- a12-a22- . -ak2(C)&1&12&2向22.ak2ak2(D) a11a21 a12a22. a1ka2k第H卷（非选择题共100 分）注意事项：1 第H卷共9页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2 答卷前将密封线内的项目填写清楚.:、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在

6、题中横线上.(11) 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为(12) 函数 f (x) =lg(1+x2) , g(x)=2|x|, h(x)=tan2x 中，是偶函数.2 2(13) 以双曲线x 仝=1的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是169(14 )将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 三、解答题：本大题共 6小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数 f(x)二 cos x2sinxcosxsin x .(I)求f(x)的最小正周期；(n)求f

7、(x)的最大值、最小值.(16)(本小题满分13分)已知数列an是等差数列，且a 2, a1 a2 a3 = 12.(I)求数列an的通项公式；(n)令bn二an 3n，求数列0前n项和的公式.(17)(本小题满分15分)如图，正三棱柱 ABC AiBiCi中，D是BC的中点，AB= (A)A(I)求证：AiD 丄 BiCi；(n)求点D到平面ACCi的距离；(川)判断AiB与平面ADCi的位置关系，并证明你的结论.(i8)(本小题满分i5分)如图，Ai、A为椭圆的两个顶点，Fi、的两个焦点.(I)写出椭圆的方程及其准线方程;(n)过线段OA上异于O, A的任一点的垂线，交椭圆于 P, Pi两

8、点点，直线 AiP与APi交于点M .2 2求证：点M在双曲线-=1上.259(19)(本小题满分14分)有三个新兴城镇，分别位于A, B, C三点处，且 AB = AC= 13km , BC= 10km .今计划 合建一个中心医院， 为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图)(I)若希望点 P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？(H)若希望点 P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？(20)(本小题满分14分)设y二f(x)是定义在区间1, 1上的函数，且满足条件:(i) f(_1)=f(1)=0 ；(ii) 对任意的 u, v - 1, 1，都有 | f

9、(U)-f(V)|W |U-V| .(I)证明：对任意的 x - 1, 1,都有 x_1 W f (x) W 1-x ；1 + x x e _1 0)(n)判断函数g(x)=丿是否满足题设条件；1 -x,0,1(川)在区间-1, 1上是否存在满足题设条件的函数y = f(x)，且使得对任意的u,v - 1 , 1,都有 I f (u) - f (v)| = I U -V I .若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学参考答案(文史类)、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分.(1 )A(2) D(3) A(4) A(5) D

10、(6) B(7) C(8) B(9) B(10) C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16 分.(11)3(12)f(X), g(x)(13) y2 二 _36(x -4)4(14)/二 4三、解答题：本大题共 6小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识；考查运算能力满分13 分.(I)解:因为f (x) = cos x -2sinxcosx - sin2 x二 cos2x -sin 2x所以f (x)(n)解:因为的最小正周期T =-=二.2f(x 2cos(2),所以f(x)的最

11、大值为 2 ,4最小值为-、.2 .(16) 本小题主要考查等差、 等比数列等基本知识； 考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力满分13分.(I)解：设数列an的公差为d,则 a1 a2 a3a1 3d =12,又 a - 2,得 d = 2 .所以an =2n .(n)解：由 bn = an 3 =2n3，得Sn =2 3 4 32 (2n -2) 3nJ 2n 3n,3Sn-232432. - (2n- 2)3n2n3n 1 将式减去式，得一2& =2(3 323n) 一2n 3n 1= 3(3n -1)-2n 3n 13(1 -3n)n1所以Snn 3.2(17) 本小题主要考查直线与

12、平面的位置关系，正棱柱的性质等基本知识， 考查空间想象能力和逻辑推理能力满分 15分.(I)证法一：点 D是正 ABC中BC边的中点， AD丄B ( C)又A1A丄底面ABC,： A1D丄B (C)/ BC / B1C1,二 AQ丄 B1C1.证法二：连结A1C,则A1C = A1.点D是等腰 A1C B的底边BC的中点, A1D 丄 BC / BC / B1C1,二 Ap丄 B1C1.(n)解法一：作 DE丄AC于E,平面ACC1丄平面AB (C) DE丄平面ACC1于E,在 Rt ADC 中,AC =2CD 二 a , AD即DE的长为点D到平面ACC1的距离.所求距离DE二CDa.AC

13、4解法二：设点 D到平面ACC1的距离为x.体积 VC1 ACD =Vd ACC,.1 .3 211a CC1a CCi x ,3 83 23 3 x a，即点d到平面ACC1的距离为a 4 4(川)答：直线 AjB/平面ADC证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F,贝U F为A1C的中点./ D 是 BC 的中点， DF / A1 (B)又 DF 二平面 ADC1, A1 B 二平面 ADC1,- A1B/平面 ADC1.证法二：如图 2,取 C1B1 的中点 D1,贝U AD / A1D1, C1D / D1 B, AD /平面 A1D1B，且 C1D /平面 A1D1B,平面

14、ADC 1 / 平面 A1D1 (B)A1B二平面 A1D1B,- AB/平面 ADC1.1图1图2(18) 本小题主要考查直线、 椭圆和双曲线等基本知识； 考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.(I)解：由图可知：a =5 , c =4，所以b ha2 -c2 =3 .2 2该椭圆的方程为11，准线方程为259(n)证明：设K点坐标为(x0,0).点P,Pi的坐标分别记为(x0,y0),(x0, -y0)，其中 0 ： x : 5，则2Xo252y。9-ii -直线AiP, PiA的方程分别为:(Xo 5)y =y(x 5),” (5 -Xo)y 二 y(x -5).” 式除以式得x05

15、x55 - x。x - 5化简上式得x =，代入式得y=y.X。X。于是，直线AiP与APi的交点M的从标为(25 , 5.XoXo因为i /25、2 i/5y、225(订(石)2 2 所以，直线AiP与APi的交点M在双曲线 -= i上.259(i9)本小题主要考查函数， 不等式等基本知识； 考查运用数学知识分析问题和解决问题的 能力.满分i4分.(I)解：设 P的坐标为(o , y)，贝U P至三镇距离的平方和为f(y) =2(25 y2) (i2-y)2= 3(y-4)2 i46 ,所以，当y = 4时，函数f（y）取得最小值.n）解法一：P至三镇的最远距离为答：点P的坐标是（0,4）

16、g(yJK,当更12沖jJ12-y| ,当芒5 + y2 -20 -这时P到A, B, C三点的最远距离为 PiC或P2A,且PiC MC , P2AMA，所以，点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.119答：点P的坐标为(0 ,竺).24(20) 本小题主要考查函数和不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分14分.(I)证明：由题设条件可得，当X，一1,1时，有|f(x)|=| f(x)-f(1)|E|x-1|=1-x即 x 1 乞 f(X)乞1 X(n)答：函数 g(x)满足题设条件验证如下：g(-1) =0弋(1).对任意的u, v 1 , 1,当 u, v 0, 1时，有 | g(u) -g(v) |=|(1 -u) - (1 - v)| =|u -v| ；当 u, v 1, 0时，同理有 | g(u) - g(v) | = |