史上最全相似三角形难题精选

1、百度文库-让每个人平等地提升自我如图，在 ABC中，ABO90，AB=6m, BC=8m 动点P以2m/s的速度从 A 点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向 点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当上=时，求 CPQ的面积；相似二角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题 如图，在 RtAABC中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4 过点 B作射线 BB1 AC.动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点 E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH丄AB于H,过点E作E

2、F丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t 秒.(1) 当t为何值时，AD=AB并求出此时DE的长度;(2) 当厶DEG与厶ACB相似时，求t的值.11百度文库-让每个人平等地提升自我如图1,在RtAABC中，AC吐90, AO 6, BO8,点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM丄BD,垂足为 M , EN丄CD,垂足为N.(1) 当 AD= CD时，求证：DE/ AC;(2) 探究：AD为何值时， BME与厶CNE相似？#如图所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动

3、；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速 度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为 x.(1) 当x为何值时，PQ/ BC?(2) APQ与厶CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.百度文库-让每个人平等地提升自我如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q 同时出发，用t (s)表示移动的时间(0vtv6)。(1) 当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2) 当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？模块二：构

4、造辅助线一一双垂直模型 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2, 1)，正比例函数y=kx的图象与线段 OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式33百度文库-让每个人平等地提升自我在厶ABC中，AB=2 1 , AC=4, BC=2以AB为边在C点的异侧作 ABD,使厶ABD为等腰直角三角形，求线段 CD的长.在厶ABC中，AC=BC / ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点.求证：MC: NC=AP PB.#百度文库-让每个人平等地提升自我如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B 的坐标

5、为（1, 3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴 于点E.那么D点的坐标为（）4 122 131133 12 A. （ - f ）6.（ 5 j 5 ? C, C 2 7 - ） D.（匚兰）0已知，如图，直线y二-2x+ 2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象 限做一个矩形ABCD使得矩形的两边之比为1 : 2。求C、D两点的坐标。模块三：构造辅助线一一A型与X型55百度文库-让每个人平等地提升自我如图： ABC中，D是AB上一点，AD=AC BC边上的中线AE交CD于F。求证:AR CF=1BEC#BEBC 丄四边形ABCD中, AC为AB、AD的比例中项，且A

6、C平分/ DAB.求证:況 =CD2在梯形 ABCD中, AB/ CD, AB= b, CD= a, E为 AD边上的任意一点，EF/ AB,百度文库-让每个人平等地提升自我且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：DEp + b当| =1时，EF=：;DEa + 2b/当T =2时，EF=:；DEb + 3b Z当I =3时，EF=.|DE 刊X当代严 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b和k表示EF的一般结论，并 给出证明77已知：如图，在厶ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上两点，且BE= EF= FC.求BN: NQ: QM.2证明：（1）重心定理：三角形顶点到

7、重心的距离等于该顶点对边上中线长的 石（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的 两邻边对应成比例.百度文库-让每个人平等地提升自我模块四：相似中的定值问题如图，在等边厶ABC中，M、N分别是边AB, AC的中点，D为MN上任意一点,1 I 2BD CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.求证广卜、+丽二丽1已知：如图，梯形 ABCD中，AB-#百度文库-让每个人平等地提升自我如图，在 ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在厶ABC 上。求证：AR + CP =卜下99百度文库-让每个人平等地提升自我模块五

8、：相似中的共线线段成比例问题 如图1,点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点 Q, S,交AD, CD于R, T.求证：PQ PR=PS PT.(2)如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时， PQ - PR=PS PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由(要 求仅以图2为例进行证明或说明)；已知：如图， ABC中，AB= AC, AD是中线，P是AD上一点，过C作CF/ AB, 延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP2= PE- PF.#百度文库-让每个人平等地提升自我如图，已知 ABC中，AD,

9、BF分别为BC, AC边上的高，过D作AB的垂线交AB 于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG?EH已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BCPE PHCD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：十 二育H1111百度文库-让每个人平等地提升自我H为垂心（三角形三条高线的交点）；PD2= AD DH已知，如图，锐角 ABC中，AD丄BC于D, 在AD上有一点P,且/ BPC为直角.求证:模块六：相似中的积式问题综合已知如图，CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA 于 F。求证：AC - CF=BC

10、DF.#百度文库-让每个人平等地提升自我如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的高，点 M在CD上，DH丄BM且与AC的延长线交于点 E.求证：(AED CBM; (2) AE CM=AC- CD如图， ABC是直角三角形，/ ACB=90，CD丄AB于DE是AC的中点，ED的 延长线与CB的延长线交于点F.(1) 求证：FD2=FB- FC(2) 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由1313百度文库-让每个人平等地提升自我如图，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点M , CG 与AD相交于点N.求证：AN DN=CN MN如图，BD、

11、CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作DG丄BC于G,分别交CE及 BA的延长线于F、H。求证：(1) DG2= BG- CG;(2) BG - CG= GF - GH#百度文库-让每个人平等地提升自我模块七：相似基本模型运用 ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/ A=Z D=90,A DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1) 如图1,设DE与AB交于点M , EF与AC交于点N,求证： BEMsCNE(2) 如图2,将ADEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC 交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形 并证明你的结论.如图，四边形

12、ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分 别交AC、CD于点P、Q.(1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外)；(2) 求 BP: PQ: QR1515百度文库-让每个人平等地提升自我#如图，在 ABC中，AD丄BC于D,AE ACDE丄AB于E, DF丄AC于F。求证:AF 模块八：相似里的垂直模型2ABX BE 在厶 ABC中,/ A=90,AD丄 BC,DEL AB求证：AC2 忑百度文库-让每个人平等地提升自我1717A已知:Rt ABC中, / ACB=90,CD丄 AB 于 D,DE1 AC于 E,DH BC于 F. 求证:CD3=ABAEBF1正

13、方形 ABCD中 ,AE=-AD,AO=BO,Ot CE于 F.求证:OF2=CFEF4百度文库-让每个人平等地提升自我1919已知： ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE丄AC于E,H是DE中点，连结AH,BE. 求证:AH丄BEA ABC中 ,AB=AC,BDLAC于 D.求证:BC2=2CDAC ABC中，/ACB=90,CD丄AB于D,E是BC的中点，DE和AC的延长线交于F.求证: FCFCFA;AC FA2)BC FDF已知,RtABC中,/ ABC=90,D 是 BC上一点,BE AC于 E,BFL AD 于 F.百度文库-让每个人平等地提升自我已知:RtAABC中,/ A

14、CB=90AD 平分/ CAB交 BC于 D,CEL AB 于 E,DFL AB于 F 点. 求证:AF2=ABAE已知： ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE丄AC于E,H是DE中点，连结AH,BE.2020百度文库-让每个人平等地提升自我求证:AH丄BE模块九：相似综合（一） 在厶ABC中,D,E分别是AB,BC边上的点，连结DE并延长交AC的延长线于F若BD:DE=AB:AC.求证:AEFC是等腰三角形一直线分别交 ABC的BC延长线于D交AC,AB于E,F且/ AEF= / AFE.2121百度文库-让每个人平等地提升自我求证:BD:CD=BF:CE2222（需要写出多种解法）梅

15、涅劳斯定理:直线分别交 ABC的BC延长线于D交ACAB于E、F,求证:BD CE AF1DC EA FB百度文库-让每个人平等地提升自我已知:E是梯形ABCD对角线的交点，AD求证:EFAD=EGBC2323设GABC的重心，过G作直线与AB BC分别交于点E和F求证:AEEBFCBF百度文库-让每个人平等地提升自我模块十：相似综合(二)AR AD在厶ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且 就二 丽，/ BAD=/ACE(1) 求证：AC2= BC- CD;AC(2) 若 E ABC的重心，求、二已知 ABC中，AB= AC= 5，BO 8,点D在BC边上移动，连接 AD，将厶ADC

16、沿直线AD翻折，点C的对应点为Ci.(1) 当ACi丄BC时，CD的长是多少？(2) 设CD=、 ACD与AABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系 式，(3) 在点D移动的过程中，是否存在 BCiD为直角三角形的情形？若存在，直 接写出CD的长；若不存在，请说明理由. ABC中，AB= AC= 6，FC:EC=1 3，点D在AB边上(点D与点A、B不重合)， 过点D作DE/ AC,交BC边于点E,过点E作EF丄AC,垂足为F,连接DF.(1) 设AD=x, CF= y,求y关于x的函数关系式，(2) 若厶DEFft CEF相似，求 AD长(3) 是否存在点。，使厶ADF为等腰三角形？若

17、存在，直接写出 AD的长；若不 存在，请说明理由.如图，等边 ABC中，D、F分别是边BC AB上的点，且CD= BF,以AD为边向 BD左作等边厶ADE,连接CF、EF,设社=k2525百度文库-让每个人平等地提升自我(1) 求证；四边形CDEF是平行四边形；(2) 当/DE& 30时，求k的值；(3) 是否存在实数k,使8CDEF= SABC?若存在，求出k的值；若不存在, 请说明理由.已知 ABC中，/ C= 90, AC-BC= 2,点P在射线AC上，点Q在CB的延长 线上，且AP- BQ,连接PQ交直线AB于D,过P作PEAB于E.(1) 求证：DP- DQ；(2) 设AP-x, BD- y,求y与x之间的函数关系式；(3) 当厶DEP QCP时，求AP的长.备用图如图1,在平面直角坐标系中， ABC和ADEF都是等边三角形，顶点B、D与 原点O重合，边BC在x轴的正半轴上，边AB与DE在一条直线上.已知AB- 6, DE- 2.(1)将ADEF绕点O逆时针方向旋转90(如图2),连接CE CF试判断四边形DECF勺形状，并说明理由；(2)将厶DEF绕点0旋转，连接AF.在旋转过程中，当 ABF是直角三角形时,求点F的坐标；(3)将ADEF沿直线AB上