2721相似三角形的判定(5)

1、 1、相似三角形有哪些判定方法、相似三角形有哪些判定方法? A C/B/ A/ CB 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ （）定义法（不常用）（）定义法（不常用） （）（）“平行平行”定理：定理：平行于三角形一边平行于三角形一边 的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。三角形相似。 （）（）“三边三边”定理：定理：三边对应的比相等，三边对应的比相等， 两个三角形相似两个三角形相似. （）（）“两边夹角两边夹角”定理：定理：两组对应边的比相两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等的两个三

2、角形相似等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似. 观察 观察两副三角尺，其中同样角度（观察两副三角尺，其中同样角度（30 与与60，或，或45与与45）的两个三角尺）的两个三角尺,它们它们 一定相似吗？一定相似吗？ 如果两个三角形有两组角对应相等，如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？它们一定相似吗？ (1)作作ABC和和 ABC,使得使得AA, BB，这时它们的第三个角满足，这时它们的第三个角满足C C吗吗? (2)分别度量这两个三角形的边长分别度量这两个三角形的边长,计算计算 ,你有什么发现你有什么发现? , AB AC ABAC BC BC (3)ABC和和 ABC 相似吗相

3、似吗? A B C A/ C/ B/ 分析分析:要证两个三角形相似，要证两个三角形相似， 目前只有四个途径。一是目前只有四个途径。一是 三角形相似的定义；二是三角形相似的定义；二是“平行平行”定理；三是定理；三是“三边三边”定理；定理； 四是上节课学习的四是上节课学习的“两边夹角两边夹角”定理。定理。 A B C A/ C/ B/ 已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/ 中中, / ,BBAA 求证求证:ABC A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢怎样实现移动呢? 为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢为了使

4、用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ 证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结连结DE。 A B C A/ C/ B/ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。 D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/ A DE A/B/C/（SAS） ADE=B/， 又又 B/=B， ADE=B， DE/BC， ADEABC。 A/B/C

5、/ABC 求证：求证：ABCABC ABC 已知：在已知：在ABC ABC 和和 ABC, ABC,中中, , 若若A=A，B=B， -“两角两角”定定 理理 C A A B BC A=A， B=B ABC ABC 相似三角形的识别相似三角形的识别 (两个角分别对应相等的两个三角形相似两个角分别对应相等的两个三角形相似) 例例1 1、已知：、已知：ABC和和DEF中，中， A=400，B=800，E=800， F=600。求证：。求证：ABCDEF A FECB D 证明：证明： 在在ABC中，中，A=400，B=800， C=1800A B =1800400 800 600 在在DEF中，中

6、，E=800，F=600 B=E，C=F ABCDEF（两角对应相等，两三角形相似）。（两角对应相等，两三角形相似）。 400 800 800 600 2 2、课堂练习、课堂练习 （1）、已知）、已知ABC与与A/B/C/中，中，B=B/=750，C=500， A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？，这两个三角形相似吗？为什么？ （2）已知等腰三角形）已知等腰三角形ABC和和 A/B/C/中，中，A、A/分别是顶角，分别是顶角， 求证：求证：如果如果A=A / ，那么，那么 ABCA/B/C/。 如果如果B=B /，那么 ，那么 ABCA/B/C/。 A BC A/ B/ C/ 750 7

7、50 500 550 550 A BC A/ B/C/ A BC A/ B/C/ 例例2. 如图，如图，ABC中，中， DEBC，EFAB， 试说明试说明ADEEFC. A E F B C D 例题分析例题分析 解解: DEBC，EFAB（已知），（已知）， ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） AEDC. （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个角分别对应相等的 两个三角形相似）两个三角形相似） 3.从下面这些三角形中，选出从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的一组你喜欢的相相 似的三角形似的三角形证明证明

8、. ? 9 ? 5 ? 2 ? 4 30 105 45 30 30 105 6 5 4 3 30 4.5 2.5 2 45 30 1 应用新知：应用新知： 选一选选一选 （1）与（）与（4）与（）与（5）-“两角两角”定理定理 （2）与（）与（6）-“两边夹角两边夹角”定理定理 4、判断题：、判断题： (1)所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似 . ( ) (2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.( ) (3)所有的等边三角形都相似所有的等边三角形都相似. ( ) (4)所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似. ( ) (5)顶角相

9、等的两个等腰三角形相似顶角相等的两个等腰三角形相似. ( ) (6)有一个角相等的两个等腰三角形相似有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( ) 应用新知：应用新知： 想一想想一想 A A B B D D C C 图图 3 3 填一填填一填 （1）如图）如图3，点，点D在在AB上，当上，当 时，时， ACDABC。 （2）如图）如图4，已知点，已知点E在在AC上，若点上，若点D在在AB上，则满足上，则满足 条件条件 ，就可以使，就可以使ADE与原与原ABC相似。相似。 A A B BC C E E 图图 4 4 ACD B ? ( (或者或者 ACB ADB) ) DE/BC D D ( (或者

10、或者 C ADE) )( (或者或者 B ADE) ) D D D D B BA A C C P48?练习?1、2 （或APCDPB） PB PC PD PA 即PAPB=PCPD 例例2.2.弦弦ABAB和和CDCD相交于相交于oo内一点内一点P,P,求证求证:PA:PAPB=PCPB=PCPDPD A B C D P O 证明:连接AD、BC A、C都是BD所对的圆周角 A=C 同理: D=B（或APDCPB） PADPCB PB PD PC PA 即PAPB=PCPD A BC D E 例例3.已知已知D、E分别是分别是ABC的边的边AB,AC上的点，上的点， 若若A=35, C=85,

11、AED=60 则则ADAB= AEAC 85 35 60 85 ADEADE=180AAED 1803560 =85 解： 在中， 85ADEACB AA=35 又 ADEACB ADAE ACAB AD AB=AE AC即 例4、在四边形ABCD中，AC平分DAB， ACD=ABC。求证：AC2=ABAD A ACDAB证明：平分 B C D BACCAD ACDABC又 ACDABC ACAD ABAC AC ACAB AD 2 ACAB AD即 1、在ABC中，ACB90，CDBA 于点D。证明：AC2ADAB 练一练练一练 BDA C 2、已知梯形ABCD中，ADBC，BAD 90，对

12、角线BDDC。 证明：BD2ADBC 练一练练一练 B D A C E A B D C C 3.如图已知如图已知D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC 上的点，且上的点，且 。 证明：证明： 练一练练一练 AD ABAE AC AEDB E A B D C C 解：解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =4 3.已知如图，已知如图， ABD=C AD=2 AC=8，求，求AB A B C C D D B C C A 18 4 2 122 4、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDA

13、C于于D 若若 AB=6 AD=2 则则AC= BD= BC= 相似三角形的识别方法有那些？相似三角形的识别方法有那些？ 方法方法1：通过定义：通过定义 方法方法5：“两角两角”定理：定理：两角对应相等，两角对应相等， 两三角形相似。两三角形相似。 三 个 角 对 应 相 等 三 边 对 应 成 比 例 课课 堂堂 小小 结结 （这可是今天新学的，要牢记噢！（这可是今天新学的，要牢记噢！) 方法方法2： “平行平行”定理：定理：平行于三角形一边的直线和平行于三角形一边的直线和 其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 方法方法3：“三边三边”定理

14、：定理：三组对应的比相等，两个三组对应的比相等，两个 三角形相似三角形相似. 方法方法4：“两边夹角两边夹角”定理：定理：两组对应边的比相等，两组对应边的比相等， 且夹角相等的两个三角形相似且夹角相等的两个三角形相似. （不常用）（不常用） 四、课外作业四、课外作业 1.填填练习册练习册 2.复习复习 下下 课课 5、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900， BDAC于于D A B D C C E F 问：若问：若E是是BC中点，中点，ED的延的延 长线交长线交BA的延长线于的延长线于F， 求证：求证：AB : AC=DF : BF A BC D E A BC DE 2 1 O

15、 C B A D O CD AB A B C D E 如图如图, ABC中中,CD是边是边AB上的高上的高, 且且AD:CD=CD:BD, 求求C的大小的大小. D D B BA A C C 综合提高综合提高 4.如图，如图，P是是RtABC的斜边的斜边BC上异于上异于B、C 的一点，过点的一点，过点P作直线截作直线截ABC，使截得的，使截得的 三角形与三角形与ABC相似，满足这样条件的直线相似，满足这样条件的直线 共有共有 （ ） A.1条条 B.2条条 C.3条条 D.4条条 应用新知：应用新知： 画一画画一画 C 4.如图如图, B=90,AB=BE=EF=FC=1,求证求证: (1)

16、AEF?CEA. (2) 1+ 2= 45 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C CF FE E B B A A 证一证证一证 应用新知：应用新知： 已知零件的外径为已知零件的外径为25cm，要求，要求 它的厚度它的厚度x，需先求出它的内孔，需先求出它的内孔 直径直径AB，现用一个交叉卡钳，现用一个交叉卡钳 （AC和和BD的长相等）去量的长相等）去量 （如图），若（如图），若OA：OC=OB： OD=3，CD=7cm。求此零件的。求此零件的 厚度厚度x。 例例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形

17、相似。和原三角形相似。 ADB C 已知：在已知：在RtABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高。上的高。 证明证明: A=A，ADC=ACB=900， 此结论可以称为此结论可以称为“”,今今 后可以直接使用后可以直接使用. ACDABC（两角对应相等，两（两角对应相等，两 三角形相似）。三角形相似）。 同理同理 CBD ABC 。 ABCCBDACD。 求证：求证：ABCACD CBD 。 延伸练习延伸练习 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AD、BE分别是分别是 BC、AC上的高，上的高，AD、BE相交于点相交于点F。 （2）图中还有与）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出相

18、似的三角形吗？请一一写出 。 A BCD E （1）求证：）求证：AEFADC； F A F E DC 答答:有有AEFADCBECBDF. 课外思考题：课外思考题： 如图，在如图，在ABC中中 ，点，点D、E分别是边分别是边AB、AC上的点，连上的点，连 结结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ADE与与 ABC相似？相似？ A BC DE A BC D E 泰勒斯测量金字塔高度的示意图泰勒斯测量金字塔高度的示意图: : A A B C B C CB A CB A 如果人体高度如果人体高度AC1.7米，人影长米，人影长BC2.2米，而米，而BC 176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？ 可证可证ABCABC 即即 所以所以A?C=1.7x1762.2=136m CB BC CA AC A B C D F E 是否相似？是否相似？ ？ 可以证明！可以证明！ 求证：求证：ABCABC ABC 已知：在已知：在ABC ABC 和和 ABC, A