半导体物理学简明教程答案陈志明编第二章 半导体中的载流子及其输运性质 课后习题答案

1、-半导体物理学简明教程答案陈志明编第二章 半导体中的载流子及其输运性质 课后习题答案 半导体物理学简明教程 97 第二章 半导体中的载流子及其输运性质 1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（EEC）的状态数Z由式（2-20）给出。 证明：设导带底能量为EC，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即 2 k32?2?k12?k2 E(k)?EC?2?mtml? 与椭球标准方程 2 k12k12k2 ?2?2?1 2abc 相比较，可知其电子等能面的三个半轴a、b、c分别为 2m(E?E)a?b?t2c2 ?

2、2m(E?E) c?l2c2 ? 于是，K空间能量为E的等能面所包围的体积即可表示为 1 1 442 V?abc?2?(8mlmt)2(E?EC)2 33? 因为k空间的量子态密度是V/(4?3)，所以动能小于（EEC）的状态数（球体内的状态 数）就是 13 (8mlmt2)1/2 Z?2V(E?EC)3/2 3 3? 1 2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。 证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量mp轻和mp重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即： 3/2 V(2mp轻)1/2 gV(E

3、)1?(E?E) V23 2?3/2V(2mp重)1/2 gV(E)2?(E?E) V23 2? 98 第2章 价带顶附近的状态密度 gV(E)?gV(E)1?gV(E)2即： 3/23/2V(2mp轻)V(2mp重)1/21/2gV(E)?(E?E)+ (E?E)VV23232?2? V(EV?E)2 232 ?(2m)?（2m p重P轻222? 只不过要将其中的有效质量mp*理解为mp?(mp轻?mp重)*3/23/22/3则可得： 32(2m*?(2mp轻)?（2mp重)3/2带入上面式子可得： p) *3/2V(2mp)gV(E)?(EV?E)1/2 232? 3、完成本章从式（2-4

4、2）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决 定。 解：非简并半导体的价带中空穴浓度p0为 p0?EV EV(1?fB(E)gV(E)dE 带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得 *1(2mp)p0?2?2?3?EVEVexp(E?EF)(EV?E)dE K0T 令x?(EV?E)(K0T),则 (EV?E)2?(K0T)2x2 d(EV?E)?k0Tdx 将积分下限的EV（价带底）改为-，计算可得 p0?2( 令 m*pk0T2?2)exp(EV?EF) K0T NV?2( 则得 m*pk0T2?2)?2(2?m*pk0T)h3 半导体物理学简明教程 99 P0?N

5、Vexp(?EF?EV) k0T 4、当EEF=1.5kT、4kT、10kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据 这些能级的几率，并分析计算结果说明了什么问题。 解：已知费米分布函数f(E)?1 1?eE?EF kT；玻耳兹曼分布函数fB?e?E?EFkT 1?0.1824，fB?e?1.5?0.223； 1.51?e 1?4f?e?0.0183； 当EEF=4kT时：f(E)?，?0.01799B41?e 1当EEF=10kT时：f(E)?4.54?10?5，fB?e?10?4.5?10?5； 101?e当EEF=1.5kT时：f(E)? 计算结果表明，两种统计方法在EEF2

6、kT时误差较大，反之误差较小；EEF高于kT的倍数越大，两种统计方法的误差越小。 5、对非简并半导体证明其热平衡电子和空穴密度也可用本征载流子密度ni和本征费米能级 Ei表示为 n0?niexp(EF?Ei； E?EF )p0?niexp(i)kTkT 证明：因为导带中的电子密度为：n0?NCexp(?EC?EF) kT 本证载流子浓度为ni?NCexp(?EC?Ei) kT 结合以上两个公式可得：n0?NCexp(?EC?EFE?Ei?EC?Ei)?NCexp(F) kTkT?NCexp(?EC?EiE?EiE?Ei)exp(F)?niexp(F) kTkTkT EV?EF) kT 因为价带

7、中的空穴密度为：p0?NVexp( 本证载流子浓度为ni?NVexp(EV?Ei) kT 100 第2章 同理可得：p0?niexp(Ei?EF) kT 6、已知6H-SiC中氮和铝的电离能分别为0.1eV和0.2eV，求其300K下电离度能达到90%的掺杂浓度上限。 解：查表2-1可得，室温下6H-SiC的Nc=8.91019cm-3，Nv=2.51019cm-3。 当在6H-SiC中参入氮元素时： 未电离施主占施主杂质数的百分比为 D?( 将此公式变形并带入数据计算可得： 2ND?E)exp(D) Nck0T D?Nc?ED0.1?8.9?10190.1ND?()exp(?)?()exp(

8、?)?9.523?1016cm?3 2k0T20.026 当在6H-SiC中参入铝元素时： 未电离受主占受主杂质数的百分比为 D?( 将此公式变形并带入数据计算可得： 4NA?E)exp(A) NVk0T D?NV?ED0.1?2.5?10190.2NA?()exp(?)?()exp(?)?2.85?1014cm?3 4k0T40.026 7、计算施主浓度分别为1014cm-3、1016cm-3、1018cm-3的硅在室温下的费米能级（假定杂质全 部电离）。根据计算结果核对全电离假设是否对每一种情况都成立。核对时，取施主能级位于导带底下0.05eV处。 解：因为假定假定杂质全部电离，故可知n0

9、?NCe 带底的位置表示为 ?EC?EFkT?ND，则可将费米能级相对于导 EF?EC?kTlnND NC 将室温下Si的导带底有效态密度NC=2.8?1019 cm-3和相应的ND代入上式，即可得各种掺杂浓度下的费米能级位置，即 1014 ?0.326eV ND=10 cm时：EF?EC?0.026?ln2.8?101914-3 半导体物理学简明教程 101 1016 ND=10 cm时：EF?EC?0.026?ln?0.206eV 192.8?1016-31018 ND=10 cm时：EF?EC?0.026?ln?0.087eV 2.8?101918-3 为验证杂质全部电离的假定是否都成立

10、，须利用以上求得的费米能级位置求出各种掺杂浓度下的杂质电离度 n? D ND?11?2eE?E?DF kT 为此先求出各种掺杂浓度下费米能级相对于杂质能级的位置 ED?EF?(EC?EF)?(EC?ED)?EC?EF?ED 于是知 ND=1014 cm-3时：ED?EF?0.326?0.05?0.276eV ND=1016 cm-3时：ED?EF?0.206?0.05?0.156eV ND=1018 cm-3时：ED?EF?0.087?0.05?0.037eV 相应的电离度即为 n?DND=10 cm时：?ND16-311?2e?0.276 0.026?0.99995 ND=1016 cm-3

11、时： n? D ND?11?2e 1 ?0.1560.026?0.995 ND=10 cm时：18-3n?D ND?1?2e0.037 0.026?0.67 验证结果表明，室温下ND=1014 cm-3时的电离度达到99.995%，ND=1016 cm-3时的电离度达到99.5%，这两种情况都可以近似认为杂质全电离；ND=1019 cm-3的电离度只有67%这种情况下的电离度都很小，不能视为全电离。 8、试计算掺磷的硅和锗在室温下成为弱简并半导体时的杂质浓度。 解：设发生弱简并时 EC?EF?2kT=0.052eV 102 第2章 已知磷在Si中的电离能?ED = 0.044eV，硅室温下的N

12、C=2.8?1019 cm-3 磷在Ge中的电离能?ED = 0.0126eV，锗室温下的NC=1.1?1019 cm-3 对只含一种施主杂质的n型半导体，按参考书中式（3-112）计算简并是的杂质浓度。将弱简并条件EC?EF?2k0T带入该式，得 对 Si: ND?19 ?2ee0.044 ?20.026)F1/2(?2)?7.8?1018cm?3; 式中，F1/2(?2)?1.293?10?2 对 Ge: ND?19 ?2ee?20.001260.026)F1/2(?2)?2.3?1018cm?3 9、利用上题结果，计算室温下掺磷的弱简并硅和锗的电子密度。 解：已知电离施主的浓度 ?nD?

13、ND 1?2eEF?ED kT?1?2eNDEF?EC kTeEC?ED kT?ND1?2ee?ED?2kT 对于硅：nD?ND 1?2ee0.044 ?20.026?0.405ND，n0?nD?0.405?7.8?1018?3.16?1018cm?3 对于锗：nD?ND 1?2ee?20.01260.026?0.694ND，n0?nD?0.694?2.3?1018?1.6?1018cm?3 10、求轻掺杂Si中电子在104V/cm电场作用下的平均自由时间和平均自由程。 解：查图2-20可知，对于Si中电子，电场强度为104V/cm时，平均漂移速度为8.5106cm/s vd8.5?106 2

14、?850cm/V?s 根据迁移率公式可知?4E10 根据电导迁移率公式?c?q?n2，其中mc?0.26m0，?c?850cm/V?s mc 代入数据可以求得平均自由时间为： ?n?cmc q0.085?0.26?9.108?10?31?1.258?10?13s ?191.6?10 进一步可以求得平均自由程为 Ln?vdn?8.5?106?1.258?10?13?1.069?10?6cm 11、室温下，硅中载流子的迁移率随掺杂浓度N（ND或NA）变化的规律可用下列经验公式 半导体物理学简明教程 103 来表示 ?0? ?1 1?(N/N?) 式中的4个拟合参数对电子和空穴作为多数载流子或少数载

15、流子的取值不同，如下表所示： 本教程图2-13中硅的两条曲线即是用此表中的多数载流子数据按此式绘制出来的。试用 Origin函数图形软件仿照图2-13的格式计算并重绘这两条曲线，同时计算并绘制少数载流子的两条曲线于同一图中，对结果作适当的对比分析。 解：根据数据绘图如下 结果说明多子更容易受到散射影响，少子迁移率要大于多子迁移率。另外电子迁移率要比空穴迁移率大。 12、现有施主浓度为51015cm-3的Si，欲用其制造电阻R=10k的p型电阻器，这种电阻器 在T=300K、外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，请问如何对原材料进行杂质补偿？ 解：根据欧姆定律I? V5?0.5mA R10

16、 2， I0.5?10?3 ?10?5cm?2 外加5V电压时的电流密度J=50A/cm所以截面积A? J50 设E=100V/cm，则电导率为?。则L? V5L ?5?10?2cm，?0.5(?cm)?1 E100RA ?q?pp?q?p(NA?ND)其中?p是总掺杂浓度（NA+ND）的参数 应折中考虑，查表计算：当NA=1.251016cm-3时， NA+ND=1.751016cm-3，此时，?p?410cm/V?s ?q?p(NA?ND)?0.492?0.5计算可得NA=1.251016cm-3 2 104 第2章 13、试证明当?n?p且热平衡电子密度n0=ni(?p/?n)1/2时，

17、材料的电导率最小，并求300K时 Si和GaAs的最小电导率值，分别与其本征电导率相比较。 ni2解：由电导率的公式?q(n?n?p?p)，又因为p? n ni2 由以上两个公式可以得到?q(n?n?p) n ni2d? 令?0，可得?n?2?p?0 ndn 因此n?nip ?n 2(d2?2ni2?3? 又2dnn 故当n?ni?p32)?nn3i?p?0 ?p?n时，?取极小值。这时p?ni ?n?p 1?p1?niq()2?n?(n)2?p?2niqnp ?n?p所以最小电导率为?min 因为在一般情况下?n?p，所以电导率最小的半导体一般是弱p型。 对Si，取?n?1450cm/V?s

18、，?p?500cm/V?s，ni?1.0?10cm 则?min?2?1.0?10?1.6?10 而本征电导率 10?192210?3?500?2.72?10?6s/cm ?i?niq(?n?p)?1.0?1010?1.6?10?19?(1450?500)?3.12?10?6s/cm 26?3对GaAs，取?n?8000cm/V?s，?p?400cm/V?s，ni?2.1?10cm 2 则?min?2?2.1?10?1.6?10 而本征电导率 6?19?400?1.2?10?9s/cm ?i?niq(?n?p)?2.1?106?1.6?10?19?(8000?400)?2.8?10?9s/cm

19、14、试由电子平均动能3kT/2计算室温下电子的均方根热速度。对轻掺杂Si，求其电子在 10V/cm弱电场和104V/cm强电场下的平均漂移速度，并与电子的热运动速度作一比较。 半导体物理学简明教程 105 解：运动电子速度?与温度的关系可得 1*23mnv?kT 223?1.38?10?16?3001 72?()?1.124?10cm/s ?281.08?9.1?10 当E?10V/cm：v漂?E?1500?10?1.5?10cm/s ?v漂 4当E?10V/cm，由图2-20可查得：vd?8.5?10cm/s， 64 相应的迁移率?d/E?850cm/V?s 15、参照图1-24中Ge和S

20、i的能带图分析这两种材料为何在强电场下不出现负微分迁移率效 应。 答：(1) 存在导带电子的子能谷； (2) 子能谷与主能谷的能量差小于禁带宽度而远大于kT； (3) 电子在子能谷中的有效质量大于其主能谷中的有效质量，因而子能谷底的有效态密 度较高，迁移率较低。(这道题还是不知道该怎么组织语言来解释) 16、求Si和GaAs中的电子在(a)1kV/cm和(b)50kV/cm电场中通过1?m距离所用的时间。 解：查图2-20可知：E=1kV/cm，Si中电子平均漂移速度?n?1.8?10cm/V?s GaAs中电子平均漂移速度?n?8?10cm/V?s E=50kV/cm，Si中电子平均漂移速度

21、?n?10cm/V?s GaAs中电子平均漂移速度?n?10cm/V?s （a）当=1kV/cm时 因此Si中电子通过1?m距离所用的时间为 727262622 s1?10?4 t?5.6?10?11s 6v1.8?10 因此GaAs中电子通过1?m距离所用的时间为 s1?10?4 ?11t?1.25?10s 6v8?10 （b）当=50kV/cm时 因此Si中电子通过1?m距离所用的时间为 s1?10?4 t?1?10?11s 7v10 106 第2章 因此GaAs中电子通过1?m距离所用的时间为 s1?10?4 ?11t?1?10s 7v10 17、已知某半导体的电导率和霍尔系数分别为1

22、?cm和-1250 cm2/C，只含一种载流子，求 其密度与迁移率。 解：因为单载流子霍尔系数RH<0，所以其为n型半导体 根据公式RH?11115?2可得n? ?5?10cm?19qRH1.6?10?(?1250)nq 根据?nq?n可得?n? nq?1?1250cm2/V?s 15?195?10?1.6?10 18、已知InSb的n=75000 cm2/V.s，p=780 cm2/V.s，本征载流子密度为1.61016 cm-3，求300K 时本征InSb的霍耳系数和霍尔系数为零时的载流子浓度。 1p?nb2 解：根据两种载流子霍尔效应公式RH? q(p?nb)2 本证半导体霍尔系数RH? 当T=300K时，b=96.15 ?1?b，其中b?n ?pqni(1?b) 1p?nb211.6?1016?1.6?1016?96.152 3 此时RH?383cm