一阶线性微分方程及其解法

1、一阶线性微分方程及其解法 二、可分离变量的微分方程 )2 . 1 ()()(dxxfdyyg 则称方程（则称方程（1 1）为可分离变量的微分方程）为可分离变量的微分方程. . 设函数设函数)(yg和和)(xf是连续的是连续的, , 一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式： )1(),(yxfy 若方程（若方程（1）可以写成如下形式：）可以写成如下形式： 时，时，当当0)(1 yg xxh yg y d)( )( d )3 . 1 (d)( )( d )2 . 1 (xxh yg y 变量分离变量分离 两端积分两端积分 一阶线性微分方程及其解法 CxHyG )()( 可以验证可以验证:

2、(1.4)式式为微分方程为微分方程 (1) 的的(隐式隐式)通解通解. ).( 为为任任意意常常数数C)4 . 1 ( 时，当0)(2 0 yg .) 1 ( 0 的解也是方程yy 注注: 若题目只需求通解，则不必讨论若题目只需求通解，则不必讨论 .0)(情形情形 yg 一阶线性微分方程及其解法 例1 求微分方程求微分方程.2 d d 的通解的通解xy x y 解解分离变量分离变量,d2 d xx y y 两端积分两端积分 ,d2 d xx y y ,ln 1 2 Cxy . 2为所求通解 为所求通解 x Cey , 2 1 xC eey , 2 1 xC eey C 一阶线性微分方程及其解法

3、 例2求微分方程求微分方程.e d d 的通解y x y x 解解分离变量分离变量 ,d d xe y y x 两端积分两端积分 x y y x de d ,ln 1 Cey x .为所求通解 x e Cey , 1 x eC eey , 1 x eC eey C ).( 为任意常数为任意常数C 注意到注意到:当当C=0时即时即y=0也是方程的解也是方程的解 一阶线性微分方程及其解法 应用应用: 衰变问题衰变问题: : 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其 它元素它元素, ,铀的含量不断减少铀的含量不断减少, ,由物理学知识由物理学知识, ,铀的衰变速度

4、与未衰变铀的衰变速度与未衰变 的原子的含量的原子的含量M M成正比成正比, ,已知已知t=0t=0时时, ,铀的含量为铀的含量为M M0, 0,求衰变过程中铀 求衰变过程中铀 含量含量M(t)M(t)随随t t的变化规律的变化规律 解解 )0( , d kkM dt M v dt Md (这里显然有 )0 变量分离变量分离kdt M dM 两端积分两端积分tktMlnln 即即 kt CeM 00 |MM t 又又 故故CM 0 kt MMe 0 故故, ,衰变规律为衰变规律为 一阶线性微分方程及其解法 练习练习 12.1第第3题题,增加一个条件增加一个条件:曲线过曲线过(2,3)点点,求曲线

5、方程求曲线方程 x y y 变量分离变量分离 ,d 1d x xy y 两端积分两端积分|ln|ln|lnCxy |ln|lnCxy Cxy 即即 又又 6 632 xy C，yx 即所求曲线方程为： 故时 一阶线性微分方程及其解法 练习练习:12.2第第3题题 x duufxxf 0 )()()()(xf，uf求为可微函数 两边求导得两边求导得:)(1)(xfxf yy1 y dx dy 1 dx y dy 1 变量分离变量分离 0)0(f 注意注意: :这里隐藏一个初始条件这里隐藏一个初始条件 一阶线性微分方程及其解法 利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解 .)(的的通通解

6、解求求 2 yx dx dy 解解 ,uyx 令令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1u dx du ,arctanCxu 解解得得 得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 例例6 变量代换是解方程的一种常用的手段变量代换是解方程的一种常用的手段 一阶线性微分方程及其解法 . 1 的通解求 yxdx dy .ln的通解求xyyyyxxyu 令 yxu令 一阶线性微分方程及其解法 二、齐次方程二、齐次方程 形如形如 dyy f dxx 的一阶微分方程称为齐次方程的一阶微分方程称为齐次方程 或或 dxx f dyy

7、一阶线性微分方程及其解法 解法：解法： 针对齐次方程针对齐次方程 dy y dxx ，作变量代换，作变量代换 y u x 即即 y xu，则，则 dy du ux dxdx 将其代入原式，得：将其代入原式，得： du uu dx ，即，即 uudu dxx 这是一个关于变量这是一个关于变量u与与x的可分离变量的方程；的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得然后，利用分离变量法求得 11 ( ) dudx uux 一阶线性微分方程及其解法 例例1 求方程求方程 22 dydy yxxy dxdx 的通解的通解 解解 原方程化为原方程化为 2 2 dyy dx xyx 2 1 y dyx y

8、 dx x ,即即 这是齐次方程，这是齐次方程， 令令 y u x yxu ,即即 dydu ux dxdx 故故 代入得：代入得： 2 1 duu ux dxu 一阶线性微分方程及其解法 进行分离变量整理，并两边积分，进行分离变量整理，并两边积分， ln| |ln| |ln|uuxc 故所求通解为：故所求通解为： ln| | y yc x 这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程， 11 1dudx ux 得：得： 书上还有一个例子，自己可以练习练习书上还有一个例子，自己可以练习练习 一阶线性微分方程及其解法 22 ()2xydxxydy 1 0 x y 2 221

9、 ( ) 2 2( ) y dyxy x y dxxy x y u x 2 1 2 duu dxxu 2 1 12 u dudx ux 2 111 ( )ln(1)( )ln( )ln 222 uxc 2 (1)1cxu 222 ()c xyx 1 0 x y 1c 22 yxx 求求微分方程微分方程 ，满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解：解： 方程可化为：方程可化为： 它是齐次方程。令 代入整理后，有 分离变量，则有 两边积分，得 即 代入上式，于是所求方程的通解为 把初始条件代入上式，求出 ，故所求方程的特解为 一阶线性微分方程及其解法 例例3 求方程求方程 10 x y eydx

10、yx dy 的通解的通解 解：这是一个齐次方程。先将方程变形为解：这是一个齐次方程。先将方程变形为 110 x y dxx e dyy 令令 x u y xyu dxdu uy dydy ,即即 ，故，故 一阶线性微分方程及其解法 代入得：代入得： 110 u du euyu dy 这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程， 分离变量分离变量 ，并两边积分，得：，并两边积分，得： 11 u u e dudy y ue 故故 ln()lnln u ueyc 所以，原方程通解为所以，原方程通解为 ： x y yexc 一阶线性微分方程及其解法 五、小结五、小结 本节主要内

11、容是：本节主要内容是： 1齐次方程齐次方程 dyy f dxx 2齐次方程的解法：关键是令齐次方程的解法：关键是令 y u x ，从而，从而 原方程转化为可分离原方程转化为可分离 变量方程去求解；变量方程去求解； yxu，则，则 dydu ux dxdx ，代入原方程后，代入原方程后， dxx f dyy 或或 一阶线性微分方程及其解法 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： 一、一阶线性微分方程及其解法一、一阶线性微分方程及其解法 例例1 1 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一

12、阶线性微分方程。的，则称其为一阶线性微分方程。 1. 1. 一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程的定义 2 23)1(xyy 2 sin 1 )4(xy xdx dy 22 )3(xyy )12sin() ()2( 3 xxyy xyyy )5(1sin)6( 2 xyxy （是）（是） （是）（是） 一阶线性微分方程及其解法 (1) )()(xQyxP dx dy 2. 2. 一阶线性微分方程的一般式一阶线性微分方程的一般式 3. 3. 一阶线性微分方程的分类一阶线性微分方程的分类 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性齐次微）称为一阶线性齐次微 分方程。分方程。 0)( xQ 当当

13、时，方程（时，方程（1）称为一阶线性非齐次）称为一阶线性非齐次 微分方程。微分方程。 0)( xQ (2) )()(yQxyP dy dx 或或 一阶线性微分方程及其解法 )2 . 2(0)( d d yxP x y ,d)( d xxP y y ,d)( d xxP y y ,lnd)(lnCxxPy 齐次线性方程的通解为：齐次线性方程的通解为： . d)( xxP Cey 1 齐次线性方程：齐次线性方程： 求解法求解法: 分离变量：分离变量： 1. 常数变易法常数变易法 一阶线性微分方程及其解法 2 非齐次线性方程：非齐次线性方程：).()( d d xQyxP x y )()(待待定定将

14、将 变变易易 xCC 作变换作变换 xxP exCy d)( )( ,)()()( d)(d)( xxPxxP exPxCexCy 得得代代入入原原方方程程和和将将,yy ),()( d)( xQexC xxP 可分离变量方程可分离变量方程 一阶线性微分方程及其解法 , d)()( d)( CxexQxC xxP 积分得积分得 一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为的通解为: xxPxxP eCxexQy d)(d)( d)( . 为 为任任意意常常数数其其中中C 2. 常数变易公式常数变易公式 的通解为： d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP )()(x

15、QyxP dx dy 一阶线性微分方程及其解法 )()(xQyxP dx dy （2）一阶线性非齐次微分方程）一阶线性非齐次微分方程 常数变易法常数变易法 1）一般式）一般式 2）解法）解法 3）通解公式）通解公式 )( )()( CdxexQey dxxPdxxP dxxP Ce )( dxexQe dxxPdxxP )()( )( 齐次的齐次的 通解通解 非齐次 的特解 一阶线性微分方程及其解法 dxxP ey )( )( )( CdxexQ dxxP 关于通解公式要注意：关于通解公式要注意： 只表示某一只表示某一 个函数个函数 若 时，绝对值符号可不写 即即 特别注意特别注意： 而是而是

16、 | )(|ln)(xdxxP ln| ()|ln()( ) ( ) xxP x dx eeex ln() () x ex ln( )1 ( ) x e x 一阶线性微分方程及其解法 例例1 1、求微分方程、求微分方程 2 x yye 的通解的通解. . 11 22 x yye 1 0 2 yy 解法解法1 1（常数变易法）（常数变易法） 原方程变形为原方程变形为 : : 对应的齐次方程为对应的齐次方程为 ： 得通解为得通解为 11 ( ) 22 dxx P x dx yCeCeCe 设原方程的解为设原方程的解为 1 2 ( ) x yC x e 从而从而 11 1 22 ( )( ) 2 x

17、x yC x eC x e代入原方程得代入原方程得 一阶线性微分方程及其解法 111 111 222 ( )( )( ) 222 xxx x Cx eC x eC x ee 1 ( ) 2 x Cxe 2 ( ) x C xeC 化简得化简得 两边积分，得两边积分，得 1 22 ( ) x x x yC x eCee 11 ( ),( ) 22 x P xQ xe 所以，原方程的通解所以，原方程的通解 解法解法2（用公式法）（用公式法） 把它们代入公式得把它们代入公式得11 () 12 2 2 dxdx x yeeedx C 22 () xx eeC 一阶线性微分方程及其解法 . 1 2 的通

18、解的通解求求xy x y , 1 )( x xP ,xxQ 2 )( Cdxexey dx x dx x 1 2 1 Cdxexe xxln2ln 解解 例例2 2 则通解为则通解为 Cdxx x 3 1 x C x 3 4 1 一阶线性微分方程及其解法 . 00)12( 1 2 的特解的特解满足满足求求 x ydxxxydyx , 2 )( x xP 2 1 )( x x xQ Cdxe x x ey dx x dx x 2 2 2 1 Cdxxe x )1( ln2 解解 练习练习 则通解为则通解为 Cx x x2 1 2 2 原方程变形为原方程变形为, 12 2 x x y xdx dy

19、 其中其中 2 1 2 1 x C x 一阶线性微分方程及其解法 . 1 的的通通解解求求方方程程 x e y x y x , 1 )( x xP ,)( x e xQ x Cxe x e ey x x x x x d d 1 d 1 Cxe x e e x x x d lnln Cxe x x d 1 . 1 Ce x x 解解 (不)例4 通解：通解： Cxx x e x x d 1 一阶线性微分方程及其解法 得得由由0 1 x y, 2 1 C 因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为 2 2 11 2 1 xx y (ln )ln0 xy dyyydx (讲讲)求以下方

20、程在求以下方程在 下的特解下的特解ey x 1 | y x yydy dx1 ln 1 原方程可化为：原方程可化为： 原方程通解为：原方程通解为： ()() () Py dyPy dy xeQy edyC y C yx ln ln 2 1 Cyyxln)ln2(或或 一阶线性微分方程及其解法 0)( 3 dyyxydx 求方程通解：求方程通解： 若化为：若化为： xy y dx dy 3 则不是一阶线性的则不是一阶线性的 而化为：而化为： x y y y xy dy dx1 2 3 则是一阶线性的则是一阶线性的 再见书上习题再见书上习题 一阶线性微分方程及其解法 ),(tv设设降降落落伞伞下下

21、落落速速度度为为 . )0( 系系落落速速度度与与时时间间的的函函数数关关速速度度为为零零，求求降降落落伞伞下下 伞伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度成成正正比比，并并设设降降落落 后后，所所受受空空气气阻阻力力与与设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落 t , d d kvmg t v m 解解 例9 kvmgF :其所受力为其所受力为 maF :由由牛牛顿顿第第二二定定律律得得 一阶线性微分方程及其解法 (方法1)gv m k t v d d 即即一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 d dd Ctegev t m k t m k dCtege t m k t m k Ce k mg e

22、 t m k t m k . t m k Ce k mg k mg cv|t :0 0 代代入入通通解解得得将将 ).e1( t m k k mg v 所所求求特特解解为为 一阶线性微分方程及其解法 选择题考点选择题考点 （间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分， 偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序） 大题考点大题考点 1、求极限求极限 2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）隐函数求导（一个方程和方程组情形） 3、抽象函数求导抽象函数求导 4、求极值、求极值 5、直角坐标系下计算二重

23、积分、直角坐标系下计算二重积分 6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标） 7、解齐次方程、解齐次方程（令（令U=U=。，转化为。，转化为U U和和X X的方程）的方程） 8 8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）、解一阶线性方程（用公式或常数变易法） 9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性 一阶线性微分方程及其解法 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2 和和 2 xy 所围成的所围成的 图形的面积图形的面积. 解解 两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0( 面积元素面积元素 dx

24、xxdA)( 2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 x dxxxA)( 2 1 0 1 0 3 33 2 2 3 x x. 3 1 2 xy 2 yx 例例 画草图如右画草图如右 一阶线性微分方程及其解法 dxxfV b a 2 )( dyy 2 )( d c V d )(yx x y 0 c x y o )(xfy 一阶线性微分方程及其解法 注：注： ，即动点，即动点P P以任意方式即沿任意曲线趋向定以任意方式即沿任意曲线趋向定 点点P P0 0时，都有时，都有f(P) Af(P) A APf PP )(lim 0 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx y

25、 x 求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换； 重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹 逼准则；换元；利用公式和运算法则）逼准则；换元；利用公式和运算法则） xcos1 2 2 x 等价无穷小替换；等价无穷小替换； 一阶线性微分方程及其解法 对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限 注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过

26、换元后 的一元函数照样可用的一元函数照样可用 例例求求 y yx x y 1 )0,2(),( )1lim （ x y x yx x y 1 )0,2(),( )1lim （ 2 1 1 )0,2(),( lim e e x yx ),(),(lim ),( ),(1lim yxgyxf yxg e yxf （ 型 1 2 1 1 )0,2(),( lim e e yx y yx 或用重要公式或用重要公式 原式原式 一阶线性微分方程及其解法 例例求求 xy xy yx 1 sinlim )0,2(),( xyxy yx sinlim )0,2(),( xy xy yx sin lim )0,

27、2(),( 22 )0, 0(),( 1 coslim yx xy yx y y yx sinx lim )0, 2(),( 22 22 )0, 0(),( 1 sinlim yx yx yx ）（ 1 0 0 0 2 0 无穷小的性质无穷小的性质 一阶线性微分方程及其解法 04 222 zzyx ),(yxzz 2 2 x z 求 设设确定确定 两边对x求偏导数： 0422 x z x z zx z x x z 2 再对上式对再对上式对x求偏导数：求偏导数： （按商的求导公式）（按商的求导公式） . )2( ) 2 ()2( )2( )2( 222 2 z z x xz z x z xz x

28、 z 对于一阶偏导数，还可用公式法对于一阶偏导数，还可用公式法 z x F F x z zFxF zzyxzyxF z x zx 2 42,2 4),( 222 令 一阶线性微分方程及其解法 22 (,)f xyx y 2 2 x 2 x y 2 ( ,)f x x y 一阶线性微分方程及其解法 例例1 . 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 讨论讨论 是否处在点,)0 , 0( (1) 连续；连续；(2) 偏导数存在；偏导数存在；(3) 可微可微. 解解 (1) ),(lim 0 0 yxf y x )sin,cos(lim 0 f sincos lim 0

29、)sin(coslim 0 = 0 = f (0,0) 一阶线性微分方程及其解法 处处连连续续在在)0 ,0(),(yxf (2) )0 , 0( x f 0 )0 , 0()0 ,( lim 0 x fxf x 0 0 0 0 lim 2 0 x x x x 0)0 , 0( y f同同理理 .)0 , 0(),(处处偏偏导导数数存存在在在在yxf 一阶线性微分方程及其解法 0 )0 , 0()0 , 0()0 , 0(),( lim 0 yfxffyxf yx (3) ？ )0 , 0(),(fyxf 令令 22 yx yx 0 如如果果考考虑虑点点),(yx P 沿沿着着直直线线xy 趋

30、趋近近于于)0 , 0(， 则则 22 )( 0 lim yx xy xy )0 , 0()0 , 0(yfxf yx , 22 yx yx 22 )( 0 )( 0 limlim yx xy xyxy 一阶线性微分方程及其解法 , 2 1 22 0 )( 0 limlim xx xx x xy ),()0 , 0()0 , 0(oyfxfz yx 即即 f (x, y) 在在点点)0 , 0(处处不不可可微微. 0lim 0 )0()( o 一阶线性微分方程及其解法 例例2 一阶线性微分方程及其解法 证证 令令,cos x,sin y 则则 22 0 0 1 sinlim yx xy y x

31、 1 sincossinlim 2 0 0 ),0 , 0(f )0 , 0( x f x fxf x )0 , 0()0 ,( lim 0 , 0 00 lim 0 xx 同理同理. 0)0 , 0( y f 故函数在点故函数在点 (0, 0) 处连续处连续 ; 一阶线性微分方程及其解法 ,)()( 22 yx 下面证明：下面证明： )0 , 0(),(在在点点yxf可微可微 . yfxff yx )0 , 0()0 , 0( yx1 sin x 0 0 令令则则 ),(yxf )0 , 0(),(, 1 sin 22 yx yx xy )0 , 0(),(, 0 yx 且且可微可微在点在点

32、,)0 , 0(),(yxf. 0),(d )0,0( yxf 注注 此题表明此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件. 而非必要条件而非必要条件. 一阶线性微分方程及其解法 例例1.1. 求函数求函数 解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. . 得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步第二步 判别判别. 在点在点(1,0) 处处 为极小值为极小值; ; 解方程组解方程组 A B C ),(yxf x 0963 2 xx ),(yxf y 063 2 yy 的极值的极值. . 求二阶偏导数求二阶偏导数 ,66),(

33、 xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yy ,12 A,0 B,6 C ,0612 2 BAC 5)0,1( f ,0 A xyxyxyxf933),( 2233 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一阶线性微分方程及其解法 在点在点( 3,0) 处处 不是极值不是极值; ; 在点在点( 3,2) 处处 为极大值为极大值. . ,66),( xyxf xx ,0),(yxf yx 66),(yyxf yy ,12 A,0 B,6 C ,0612 2 BAC )0,3( f 6,0,12 CBA 31)2,3( f ,0)6(12 2 BAC,0 A 在点在点(1,2) 处处 不是极值不是极值; ; 6,0,12 CBA )2,1(f,0)6(12 2 BAC ABC 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一阶线性微分方程及其解法 重复是学习之母重复是学习之母弗莱格弗莱格 世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡