函数的幂级数的展开与技巧

1、1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数在点的某个邻域内存在直至阶的连续导数，则 ， (1)这里=称为皮亚诺型余项。如果增加条件“有阶连续导数”，那么还可以写成三种形式 （拉格朗日余项） （柯西余项） ， （积分型余项）如果在(1)中抹去余项，那么在附近可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果函数在处有任意阶的导数，这时称形式为： (2)的

2、级数为函数在的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在附近确切地表达，或说在泰勒级数在附近的和函数是否就是，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子：例1 由于函数在处的任何阶导数都为0，即 所以在处的泰勒级数为： ， 显然，它在上收敛，且其和函数， 由此看到对一切都有，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有时才能够。在实际应用上主要讨论在的展开式。这时（2）也可以写成，称为麦克劳林级数。3 函数的幂级数展开与技巧3.1一般的泰勒展开法（直接展开法）我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。通常有三种展开思路：1、统一用

3、柯西余项来估计余项；2、统一用积分余项来估计余项；3、柯西余项（或积分余项）结合拉格朗日余项来估计余项。本文采用第二种思路。例2 求次多项式 ， 的展开式。解：由于 总有 ，因而，即多项式函数的幂级数展开就是它本身。例3 求函数的展开式。解：因为， ，有， ；从而， 。例4 求函数的展开式。解：由于，有 ，； 所以 在 内能展开为麦克劳林级数： ；同样可证（更简单的方法是对上面的展开式逐项求导）： 。例5 求函数的展开式。解：注意到，函数 的各阶导数是 ， 从而 ，有；注意到，当或时，不变符号且关于变量单调，因此总是在时取最大值，从而，；所以的麦克劳林级数是， (3) 用比式判断法容易求得(3

4、)的收敛半径，且当时收敛，时发散，故级数域。 将(3)式中换成就得到函数 在处的泰勒展开式：，它的收敛域为。例6 讨论：二项式函数展开式。解：当为正整数时，有二项式定理直接展开得到的展开式，这已经在前面例2中讨论过了。下面讨论不等于正整数时的情形，这时：，； 于是的麦克劳林级数是， (4)运用比式判别法可得(4)的收敛半径。设（由二项式定理易证的情形），有 ，。由比式判别法知级数收敛，故通项趋于,因此。所以，在上有 ， (5)对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，其结果如下：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为；在(5)式中，令就得到 ， (6)当时，得到 。 (7)例7 以与分别

5、代入(6) (7)得到， (8)， (9)对于(8) (9)分别逐项可积，可得函数与的展开式，。这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的，特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有用。 3.2 通过变形、转换、利用已知的展开式例8 将函数展开式的幂级数并指出收敛半径。分析：将变为的形式。解：因为，。例9 求的麦克劳林展开式（至含的项）。 解：由于，故 ，因 故收敛区间为。例10 将展开成的幂级数（至含项）。解：由的展开式得 。3.3 利用逐项积分方法例11 将函数展开成的幂级数，并求其收敛区间。分析：该题可化为的形式展开，但这样的展开式

6、中变成的幂次，而不是的幂次，我们知道：，将展开再积分就方便了 。解：因为，而， 对上式两端积分可得：，当时，上式为交错级数， ，显然有 且，依莱布尼茨判别法知：当时，级数收敛，因此收敛区间为。 3.4 逐项微分法例12 将展开成的幂级数。分析：先展开，再逐项微分。解：因为，注意到，所以，。例13 将展开成的幂级数。解：因为，所以 。注：值得注意的是逐项积分法或逐项微分法，常常在区间内部进行，但并不是绝对的，这里就不再证明了。 3.5 待定系数法例14 求下列函数的幂级数展开。（1）； （2）。解：(1) 设，因为 ，所以，故即，比较系数得： ， ， ， 由，得：，从而 ，。(2)设，则 ，比较

7、等式两边同次幂系数得：，这里利用了三角恒等式，所以。 3.6 微分方程法例15 求的幂级数展开形式。注：在前面例14中用待定系数法已求出幂级数展开式，现在用微分方程法计算，从而得到 。解： 设，因此，即， 1由1两边同时求阶导数得：， 2令 得：， 3这儿下标“0”表示在处的值，在1式中令得：，在3式两边微商一次得，令，知，得：，代入公式3得：， ，故 4这里“”表示右边的级数为左边函数的泰勒级数，容易证明右边的级数的收敛半径，利用逐项微分法可以验证级数的和函数是1给定的微分方程的解，且，而函数在处连续，故4式中“”改为“”对也成立。3.7 利用级数的运算例16 利用函数的幂级数展开，求下列极

8、限。（1）； （2）。解：（1）因为，所以 。（2）由基本初等函数的幂级数展开式得，代入，即得 。例17 计算积分。 解：因为 ，故级数在上一致收敛，故可逐项积分。当时有，而当时有 ，由阿贝尔定理得，即 。 4结论我们是在泰勒级数基础上研究幂级数的展开式，利用以上几种方法可以对“幂级数的展开式”这一块内容有深刻的认识，且利用这些展开式解决问题，为我们在今后研究幂级数中提供了工具。致谢 对在研究及撰写论文过程中给予帮助的组织或个人表示衷心感谢！参考文献：1 数学分析.第三版.华东师范大学数学系，2002，52-58. 2 高等数学试题精选题解.华中理工大学出版社，2000，492-498.3 数学分析内容方法与技巧.华中科技大学出版社，2003，164-178. 4裴礼文.数学分析中的典型问题与解法.第二版.高等教育出版，2003，447-453.5 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲.北京：高等教育出版社，198