相似三角形判定赏析

1、相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 A BC A1 B1C1 A =A1，B =B1， C =C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 当当 则则ABC 与与A1B1C1 记作记作ABC A1B1C1。 要把表示对应角顶点的要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。字母写在对应的位置上。 注意注意 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形对应角相等、对应边成比例的三角形 叫做相似三角形。叫做相似三角形。 A B C E D F 相似的表示方法相似的表示方法 符号：符号： 读作：相似于读作：相似于

2、相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似比相似比 AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，时， A BC A1 B1C1 则则ABC 与与A1B1C1 的相似比为的相似比为 k . 或或A1B1C1 与与ABC 的相似比为的相似比为 . 1 k 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 这两个风筝图形相似，观察并思考：这两个风筝图形相似，观察并思考： 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形判定赏析

3、相似三角形判定赏析 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 A B A A1 B1C1 大胆猜想，大胆猜想， 那么，那么， 若已知若已知ABA1B1， 能否得出能否得出ABC1 A1B1C1 ABA1B1 除了根据相似三角形的除了根据相似三角形的定义定义来判断是否来判断是否 相似，还有相似，还有其它的方法其它的方法吗？吗？ 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 理解相似三角形的判定方法理解相似三角形的判定方法 知识与能力知识与能力 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 以问题的形式，创设一个有利于学生动手以问题的形式，创设一个有利于学生动手 和探究的情境，达到学会本节课所学的相似和探究的情境，达

4、到学会本节课所学的相似 三角形的判定方法三角形的判定方法 过程与方法过程与方法 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，培养学生积极的思考、动手、观察的能力， 使学生感悟几何知识在生活中的价值使学生感悟几何知识在生活中的价值 情感态度与价值观情感态度与价值观 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 会应用相似三角形的两个判定方法。会应用相似三角形的两个判定方法。 怎样选择合格的判定方法来判定两个怎样选择合格的判定方法来判定两个 三角形相似。三角形相似。 抓住判定方法的条件，通过已知条件抓住判定方法的条件，通过已知条件 的分析，把握图形的结构特点。的分析，把握图形的结构特点。 相似三角形判定赏析相似

5、三角形判定赏析 已知：已知：DE/BC，且，且D是边是边AB的中点的中点，DE交交 AC于于E . 猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系?并证明。并证明。 A B C D E 证明证明: 且且 A= A DE / BC 1 =B，2 =C ADE与与ABC的对应角相等的对应角相等 相似。相似。 1 2 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。 四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形 DE=BF , DB= EF ADE ABC A B C D E F 过过E作作EF/AB交交BC

6、于于F 又又 DE / BC 又又 AD = DB AD = EF A =3， ， 2 =C ADE EFC DE = FC =BF， ADE与与ABC的对应边成比例的对应边成比例 2 3 AE=EC 1 2 AE AC 1 2 DE BC 1 2 ADAEDE ABACBC 1 2 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 已知：已知：DE/BC，ADE与与ABC有什么关系有什么关系? 猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系? 相似。相似。 A BC D E F 当点当点D在在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？上任意一点时，上面的结论还成立吗？ 1 2 你能证明吗？你能证明吗？ 相

7、似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。 知识要点知识要点 平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的定理 A BC DE 即：即： 在在ABC中，中， 如果如果DEBC， 那么那么ADEABC A型型 你还能画出其你还能画出其 他图形吗？他图形吗？ 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相 似。似。 DE

8、 A CB 延伸延伸 即：即： 如果如果DEBC， 那么那么ADEABC 你能证明吗？你能证明吗？ X型型 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 平行于三角形一边的直线截其它两边，平行于三角形一边的直线截其它两边， 所得的对应线段成比例。所得的对应线段成比例。 推论推论 A BC DE 即：即： 在在ABC中，中， 如果如果DEBC， 那么那么 , ADAEDE ABACBC , ADAE DBEC , DBEC ADAE , ABACBC ADAEDE （上比全，（上比全， 全比上）全比上） （上比下，下比上）（上比下，下比上） （下比全，全比下）（下比全，全比下） DBEC ABAC ，,

9、 ABAC DBEC 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 AB C D E 相似具有传递性相似具有传递性 ADEABC M N 如果再作如果再作 MNDE ，共有多少对相似三角形？，共有多少对相似三角形？ AMNADE AMNABC 共有三对相似三角形。共有三对相似三角形。 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 定义定义判定方法判定方法 全等全等 三角三角 形形 相似相似 三角三角 形形 回顾并思考回顾并思考 三角、三边对三角、三边对 应相等的两个应相等的两个 三角形全等三角形全等 三角对应相等三角对应相等, 三三 边对应成比例的两边对应成比例的两 个三角形相似个三角形相似 角边角角边角 A

10、 S A 角角边角角边 A A S 边边边边边边 S S S 边角边边角边 S A S 斜边与直角边斜边与直角边 H L 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？ 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 边边边边边边 S S S 已知：已知： ABCA1B1C1. A1 B1C1 A BC 111111 . ABBCAC ABBCAC 求证：求证： 有效利用判定定理一去求证。有效利用判定定理一去求证。 探究探究1 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截（或它的延长线）上截 取取 ，过点，过点D作作 ，交，交

11、 于点于点E 根据前面的定理可得根据前面的定理可得 . 11 AB 1 ADAB 11 DEBC 11 AC 1111 ADEABC A1 B1C1 A BC DE 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 11 111111 ADAEDE ABBCAC 1 111111 , ABBCAC ADAB ABBCAC 1 AEAC ,DEBC 111 ABCABC 1 ADEABC 又又 A1 B1C1 A BC DE 1 11111111 , AEDEBCAC BCBCACAC （SSS） 1111 ADEABC 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三

12、组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。相等，那么这两个三角形相似。 知识要点知识要点 判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一 ABCA1B1C1. 111111 , ABBCAC ABBCAC 即：即： 如果如果 那么那么 A1 B1C1 A BC 三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。 边边边边边边 S S S 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 ABBCAC ADDEAE ，求证： 求证：BAD=CAE。 A D C E B ABCADE BAC=DAE BACDAC =DAEDAC 即即BAD=CAE 已知：已知： 解：解： ABBCAC ADDEA

13、E ， 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 边角边边角边 S A S 探究探究2 已知：已知： ABCA1B1C1. A1 B1C1 A BC 1111 , ABBC k ABBC 求证：求证： B =B1 . 你能证明吗？你能证明吗？ 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等，那么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三 角形相似。角形相似。 知识要点知识要点 判定三角形相似的定理之二判定三角形相似的定理之二 两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等， 两三角形相似。两三角形相似。 边角

14、边边角边 S A S A1 B1C1 A BC ABCA1B1C1. 即：即： 如果如果 1111 , ABBC k ABBC B =B1 . 那么那么 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 大家一起画一个三角形大家一起画一个三角形 ，三个角分别为，三个角分别为60、 45、75，大家画出的三角形相似吗，大家画出的三角形相似吗?同桌的同同桌的同 学，通过测量对应边的长度进行比较。学，通过测量对应边的长度进行比较。 探究探究3 即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 的三个角对应相等，那么这两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_。相似相似

15、 一定需要三一定需要三 个角吗？个角吗？ 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 角边角角边角 A S A 角角边角角边 A A S 角角角角 A A A1 B1C1 A BC 已知：已知： ABCA1B1C1.求证：求证： A =A1，B =B1 . 你能证明吗？你能证明吗？ 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似。三角形相似。 知识要点知识要点 判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三 两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。

16、角角角角 A A A1 B1C1 A BC ABCA1B1C1. 即：即： 如果如果 那么那么 A =A1，B =B1 . 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 如果两个三角形有一个内角对应相等，如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？那么这两个三角形一定相似吗？ 一角对应相等的两个三角形不一定相似。一角对应相等的两个三角形不一定相似。 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 常用的成比例的线段：常用的成比例的线段： 常用的相等的角：常用的相等的角： A =DCB ；B =ACD 2 ACAD AB 2 BCBD AB 2 CDAD DB AC BCAB CD B D A

17、 C 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 例题 已知：已知：DEBC，EFAB. 求证：求证：ADEEFC. A E F B C D 解解: DEBC，EFAB（已知）（已知） ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） AEDC（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ADEEFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）（两个角分别对应相等的两个三角形相似） 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1 又又ADB = A1D1B1 =900 ADB A1D1B1

18、（角角）（角角） 1111 ADAB k ADAB A1 B1C1 A BCD D1 证明：证明： 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1，BAC = B1A1C1 AD，A1D1分别是分别是BAC和和B1A1C1的角平分线的角平分线 BAD = B1A1D1 ADB A1D1B1（角角）（角角） 1111 ADAB k ADAB A1 B1C1 A BCD D1 证明：证明： 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比 A1

19、B1C1 A BCD D1 1111 ADAB k ADAB 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 探究探究4 已知：已知： ABCA1B1C1. 1111 , ABBC k ABBC 求证：求证： 你能证明吗？你能证明吗？ H L A B C A1 B1C1 RtABC 和和 RtA1B1C1. 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 如果一个直角三角形的斜边和一条直角如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。 知识要点知识要点 判定三角形相似的

20、定理之四判定三角形相似的定理之四 H L A B C ABCA1B1C1. 即：即： 如果如果 那么那么 A1 B1C1 1111 , ABBC k ABBC RtABC 和和 RtA1B1C1. 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 1. 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法： 通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线 三边对应成比例三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相

21、等） （SSS） （AA） （SAS） （HL） 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 对应角相等。对应角相等。 对应边成比例。对应边成比例。 对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。 2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质： 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 （1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。）所有的

22、直角三角形都相似。 （5）有一个角是）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。 （6）有一个角是）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。 1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 2. ADBC于点于点D， CEAB于点于点 E ，且，且 交交AD于于F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？ B C

23、 A E D F 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 50 30 100 30 30 3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ A CB A1 C1B1 D E F A BC 60 相似相似相似相似 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 4. 过过ABC(CB)的边的边AB上一点上一点D 作一条直线与另一边作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角相交，截得的小三角 形与形与ABC相似，这样的直线有几条？相似，这样的直线有几条？ C D 相似三角形判定赏析相似三角形判定赏析 B C A DE E B C A D ADE ABC AED ABC A=A AED=C