平面几何地定值与最值问题

1、第二十三讲 平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.? ?每天他都要从家所在的点 A 出发，到集市点B,但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点0,?而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想，我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，？然后再到集市的路程最短呢？ 解析 在圆周上选一点 P，过P作O 0的切线MN使得/ APK=/ BPK,即a =3 .那么朝圣 者沿At B的路线去走，距离最短.证明如图2,在圆周上除F点外再任选一点 P.连结BF?与切线 MN交于 R,AR+BRAP+BP

2、./ RP +AP AR. AP +BP =AP +RP +RBAR+BPAP+BP.不过,用尺规作图法求点 P的位置至今没有解决.？ “古堡朝圣问题”属于数学上“最 短路线问题”，解决它的方法是采用“等角原理” .【知识延伸】平面几何中的定值问题 ，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.?所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中 ，可以直接通过计算来求出定值；也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值，然后证明当相应几何元素变化时，此值保持不变.例1如果 ABC的外接圆半径 R一定，求证：abC是定值.（S表示 ABC

3、的面积）S1 c解析由三角形面积S二丄absinc和正弦定理=2R,2 si nC/ c=2Rsi nC.abc 2c 4Rsin C ,=4R是定值.S sin C sinC点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形，计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系，还有不等关系，例如在变动一些几何元素时 ，？某一相关的值保持不大于（或不小于）某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,?这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题，解决这些问题总要证明相关的几何不等式，并指明不等式成为等式的情形（或者至少证明不等式可以成为等式）.例2 如图，已知O 0的半径R=3-、3，A为O

4、 O上一点，过A作一半径为r=3的O 0问00何时最长?最长值是多少？00何时最短？最短值是多少？解析 当0落在0A的连线段上（即O A与线段0A的 交点B时）00最短，且最短长度为3-3 ;当0落在0A的延长线上（即O 0与 0A的延长线交点 C时）00最长，且最长的长度为 3、.3 +3 .点评O 0是一个动圆，满足条件的O 0有无数个，但由于O 0过A点，所以O 0的圆心 0在以A为圆心半径为3的O A上.【好题妙解】佳题新题品味例1如图，已知P为定角0的角平分线上的定点，过0 P?两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明 连结AP、BP,由于它们为有相同圆

5、周角的 弦,AP=PB,不妨记为 r. ?另记 X1=0A,X2=0B.对厶POA应用余弦定理，得 X12+OP-2OP cos / AOP- X1=r2.1故X1为方程X2-2OP cos / AOB x+（OP2-r 2）=0的根，同理x2亦为其根.21因此X1,x 2为此方程的两根，由韦达定理，得X1+X2=2OP（ / AOB）是定值.2点评当X1=X2时,x计X2为此定值，事实上此时 0P定是直径.例2如图，在矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=9, O O与外切，且O O与ABBC?相切.O 0与ADCD相切,设O 0的半径为x, O 0与OO的面积的和为 S,求S?的最大值和最小

6、值解析 设O O的半径为y,过0与O分别作CD与 BC 的垂线0H,0 F,?垂足分别为H,F,0H、O F交于点E,则 有:0 E=8-(x+y),0E=9-(x+y)由勾股定理可得：2 2 2(x+y)=8-(x+y)+9-(x+y).整理，得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知 1 x 2r. ?求证:PC AC是定值.解析 若放大O 0,使O 0切O Q的直径于点 Q（如图）,显然此时有 PC- AC=P0 A0=2r R（定值）.再证明如图的情况：连结C0,P02, ?则PQ?必过点 0,?且0C丄BE,得 CQOQ2 _QC2 R2 -2Rr ,从而 BC=R+ R2 -2

7、Rr ,EC=R-、R2 -2Rr .所以 PC- AC=EC BC=2Rr,故 PC- AC是定值.点评,完成一般情况运动的观点，从特殊位置入手,找出相应定值，然后可借助特殊位置为桥梁解答几何定值问题时，可先在符合题目条件的前提下用 的证明.竞赛样题展示例1 （第十五届江苏省初中数学竞赛题 ）如图，正方形ABCD勺边长为1,?点P为边BC 上任意一点（可与点B或点C重合）,分别过点B、CD作射线AP的垂线,?垂足分别为点B、 C、D .求BB +CC +DD的最大值和最小值.1解析 T Sa dp（= S APC =2S 四边形 BCD= S ABP+ S ADF+ S DPC1=丄 AP(

8、BB +DD +CC ),22于是 BB +CC +DD =.AP又 1 wAP .2 ,故,2 w BB，+CC +DD? w 2, BB +CC +DD的最小值为、2 ,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求AB例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题 )已知 ABC内接于O O,D是BC?或其延长线 上一点,AE是厶ABC外接圆的一条弦，若/ BAE=Z CAD.求证:AD.AE为定值.证明 如图(1),当点D是BC上任意一点且/ BAE=Z CAD寸,连结BE, 则/ E=Z C, / BAE=/ CAD, ABEA ADC.ABAEAD AC即AD- AE=AB- AC为定值

9、.如图(2),当点D在BC的延长线上时，/ BAE=/ CAD此匕时,/ ACDM AEB. AEBA ACD,.ABADAEAC即AD- AE=AB- AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时，只要/ CAD=/ BAE总有AD- AE为定值. 点评先探求定值，当ADL BC,AE为圆的直径时，满足/ BAE=/ CAD这一条件，？不难发现厶 ACSA AEB所以AD-AE=AB- AC,因为已知AB,AC均为定值？再就一般情况分点 D?在BC 上，点D在BC的延长线上两种情况分别证明 .全能训练A级1. 已知MN是O O的切线,AB是O O的直径.求证：点A B与MN的距离的和

10、为定值.2. 已知：O O与O O外切于C,P是O O上任一点，PT与O 0相切于点T.求证:PC:PT是定值.3. O O与O 02相交于P、Q两点,过P作任一直线交O O于点E,交O Q于点F.求证：/ EQF 为定值4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点 A,过A引互相垂直的弦 PQ,RS求PQ+RS勺最大值 和最小值.5.如图，已知 ABC的周长为2p,在ABAC上分别取点 M和N,使MN? / BC,?且 皿2与厶ABC的内切圆相切.求:MN的最值.1.如图1,已知正方形 ABCD勺边长为3,点E在BC上 ,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC勺最 小值为（）A.2.3 B. .1

11、3 C. 14D.15 (2)作为四条边构成一个梯形,?则在所构成的梯形中，中2.用四条线段 a=14,b=13,c=9,d=7.位线长的最大值是 3.如图2, O O的半径为、2,A、B两点在O O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB?延长线上任一点，QS丄0P于S,则0POS=.4. 已知，如图3,线段AB上有任一点 M,分别以AM,BM为边长作正方形 AMFE、? MBCD正方 形AMFE MBC的外接圆O OO O交于 M N两点，则直线MN的情况是（？）A.定直线 B.经过定点 C. 一定不过定点D.以上都有可能5. 如图，已知O O的半径为R,以O 0上一点A为圆心,以r为半径作O

12、 A,?又PQ与O A相切, 切点为D,且交O O于P、Q.求证:AP AQ为定值.6.如图,O 0与O Q相交于A、B两点,经过点B?的一直线和两圆分别相交于点C和D,设此两圆的半径为 Ri,R2.求证:AC:AD=Ri：R2.A级(答案)1.定长为圆的直径 2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)定值为 丄R (R,r是两圆的半径).VR+r3. 因/ E, / F为定角(大小固定)易得/ EQF为定值.4. 如图,设OA=a(定值),过0作OBL PQ,OCL RS,B、C为垂足, 设 OB=x,OC=y,O xw a,(0 yw a),且 x2+y2=a2.所以 PQ=2PB=2

13、.1 - x2 ,RS=2(1 - x2 J - y2).所以 PQ+RS=2(.1 x2 - . 1-y2). (PQ+RS)2=4(2-a 2+2 ,1 -a2 X2y2 )242 22, 22、，2 a 9 a而 x y =x (a -x )=-(x-) +.2424当x2=时,(x 2y2)最大值=.24此时 PQ+RS= 4(2 - a2 2 - a2)；当 x2=0 或 x2=a2 时,(x 2y2)最小值=0,此时(PQ+RS)最小值=2 (1+ 11 - a2 )5.设BC=a,BC边上的高为h,内切圆半径为r.MN h -2r2r、o AMWA ABC,MN=a(1-), ?

14、BC hh由 SABC=rp, / r= S ABCah ,乜 + (1一?)1P P2=_P4P 2p aaa MN=a(1-)=p (1-) w pPPP当且仅当-=1 -旦，即a=R时,取等号， MN的最大值为 卫.P P24B级(答案)1.B. TA、C关于BD对称,连结AE交BD于 P,此时PE+PC=AEt短(1) 当上底为7,下底分别为14,13,9时，中位线长分别为10.5,10,8;(2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3. 连结 Og AB于 M,则 OQLAB.连结 OA,则 OA!AQ./ QMPN QSP=90 , S,P, ? Q,M四点共圆，故 OS OP=OM OQ.2又 OM- OQ=OA=2, OS- OP=2.4. B.由图可知直线 MN可看作O O和O O的割线,当M在点A时，直线MN变为O O?的切线，当M在点B时，直线MN变为O O的切线.这两种情况是以 AB?为直角边的