4圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)之欧阳学创编

1、锥曲线中的定点定值问题创作：欧阳学时间:2021.03. 03一、直线恒过定点问题例1.已知动点E在直线/： = 一2上，过点E分别作曲线C：x =4的切线EA,EB ,切点为A、B,求证：直线A3恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设,-2）,心中咫，今），1=过点A的抛物线切线方程为y _且=-山）,切线过E点2/. -2- = x. (- x),42整理得：同理可得卅一2心2-8 = 0/. xpx2是方程x2 -2ax-8 = 0的两根. x +x2 = 2axx x2 =一8/ + 4 可得43中点)2,又k _才一2 _ 44 _州+吃_(1xx -x2-x2422:.直线AB的方

2、程为y - (牛+ 2) = - (a - a)即y = x + 2：. A3过定点(0, 2)2 2 292例 2、已知点p(心儿)是椭圆： + /=1上任意一点，直线/2的方程为土+ yy = l,直线过P点与直线/垂直，点2M (-1, 0)关于直线人的对称点为N,直线PN恒过一定点G,求点G的坐标。解：直线的 方程为x(y-儿)=2凡(兀-兀)即2皿_3_3)=0设M(-l,0)关于直线/(的对称点N的坐标为N(g h)2x? + 3兀一 4.V. 4 m =7 + 12 儿2治W,解得2 2一代 兀2 一4H _ 2X(： +4X(； _ 4兀2 _8兀2y0(4-v)2儿(-兀 -

3、 3吋+4)fn-x0直线PN的斜率为= 一儿一球+4需+2吋-张。-8从 而 直 线 PN 的 方 程 为x(/ + 4x03 + 2x(f - 8斗)-8即 x =2+4) 丫* x()4 + 4Aq3 + 2jv( 8xo 8从而直线PV恒过定点G(l, 0)二、恒为定值问题例 3、已知椭圆两焦点斤、坨在y轴上，短轴长为2血，离 心率为 遲，P是椭圆在第一 象限弧上一点，且2腐两=1,过P作关于直线FP对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线 AB的斜率为定值；2 2解：（1）设椭圆方程为二+二=1,由题意可得cr2 2a = 2,b =屁=2迈,

4、所以椭圆的方程为+ y = 1贝 HF.血),耳(0,血)，设 Pg y0)(x0 0,儿 0)则两=（一心血一儿）,两=（一心一-儿）,.点P（x，）o）在曲线上，贝!J竝此2从而_（2 此）=1,得 y0 = y/2 9则点P的坐标为(1)。(2)由(1)沁 PFJIx轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为心0）, 则PB的直线方程为： y匚+21 = 1124设辱小备jZZ2 + k2y-y/2=k(x-)y_/I = (x_l)得(2 + /)疋 + 2鸟(血一灯 x + (/I -)2-4 = 0e *田/r + 2/2Zc 2mi|4k冋理可得则厂k所以直线AB的斜率% =

5、也二如=血为定值。心一心例4、已知动直线y = (x+i)与椭圆 3两点,已知点7M(_3,0),求证：顾祈为定值.解：将y = “（x + l）代入3 中得（l + 3k+-5 = = 36 疋 一 4（3/ +1）（3疋 一 5） = 48/ + 20 0出9+空+心3/+1993k2+1课后作业：21.在平面直角坐标系.9$中，已知椭圆C: + /=1.如图所示，斜率为R伙0)且不 过原点的直线/交椭圆C于A , B 两点，线段A3的中点为E, 射线OE交椭圆C于点G, 交直线x = _3于点)(-3,7).(I )求也2+疋的最小值；I(II )若|OGf=|O|OE9求证：直线/过定

6、点； 1解：(I )由题意:设直线I: y = kx + n(n 0),Iy = kx + nv2 。 消 y 得：（1 + 3疋庆+6加+ 32一3 = 0, + 十=113 设B（x2,y2）,AB的中点E（x,儿），则由韦达定理得:-6kn me -3lm f一 3kii fnxx +禺=，艮Px” = , Vo =klv +n = xk + n =7 1 + 3k21 + 3/51 + 3 疋1 + 3/所以中点E的坐标为（三丝，一二），1+3疋1+3疋因为O、E、D三点在同一直线上,所以koE = Kod,即=_ 解得加=7， 3k 3k所以m2+k2 = -L + f2,当且仅当

7、1时取等号，即 k1nr+k2）最小值为2.（II ）证明：由题意知:n0,因为直线OD的方程为m尸-亍,mnrm2+3 9y = _x.3 得交点G的纵坐标为九=+）厂=13又因为y严匚*,）怙=加,且|OG=|OD|OE|,所以nrn=hi m2+3 + 3k2又由（I）知：匸丄、所以解得k=z所以直线的方程为 kI: y = kx + k即有/ ：）,=狀牙+ 1）,令尤=一1得,y=0,与实数k无关,所以直线I过定点（1,0）.2.已知点N为曲线尸=4兀（兀0）上的一点，若A（40）, 是否存在垂直x轴的直线/披以A/V为直径的圆截得的弦长 恒为定值？若存在，求出直线/的方程；若不存在， 请说明理由.解： 设AN的中点为叭 垂直于x轴的直线方程为以A/V为直径的圆交/于C,D两点，CD的中