工程数学线性代数第一章同济第五版ppt课件

1、用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.2112221121121

2、12aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列横排称行、竖排由四个数排成二行二列横排称行、竖排称列的数表称列的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算假设记假设记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa

3、对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 那么二元线性方程组的解为那么二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 留意留意 分母都为原方程组的系数

4、行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的数数表表行行个个数数排排成成设设有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaa

5、aaaa6 6式称为数表式称为数表5 5所确定的三阶行列式所确定的三阶行列式. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 留意留意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，

6、蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号阐明阐明1 对角线法那么只适用于二阶与三阶行列式对角线法那么只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 假设三元线性方程组假设三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2. 2. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于

7、不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 假设记假设记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,

8、333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,

9、3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 那么三元线性方程组的解为那么三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计计算算三三阶阶行行列列式式按

10、对角线法那么，按对角线法那么，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 01111

11、22213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法那么对角线法那么二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结三、小结 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff解解设所求的二

12、次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为 . 1322 xxxf一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有反复数字的三位数？有反复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种

13、放法种放法.共有共有6123 二、全陈列及其逆序数二、全陈列及其逆序数同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全陈列或陈列元素的全陈列或陈列.nn 个不同的元素的一切陈列的种数，通常个不同的元素的一切陈列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一个陈列在一个陈列 中，假设中，假设数数 那么称这两个数组成一个逆序那么称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如

14、例如 陈列陈列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个规范次序我们规定各元素之间有一个规范次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为规范次序不同的自然数，规定由小到大为规范次序.陈列的逆序数陈列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个陈列中一切逆序的总数称为此陈列的一个陈列中一切逆序的总数称为此陈列的逆序数逆序数.例如例如 陈列陈列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此陈列的逆序数为故此陈列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算陈列逆序数的方法计算陈列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数

15、前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求陈列的逆序数陈列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n逆序数为奇数的陈列称为奇陈列逆序数为奇数的陈列称为奇陈列;逆序数为偶数的陈列称为偶陈列逆序数为偶数的陈列称为偶陈列.陈列的奇偶性陈列的奇偶性分别计算出陈列中每个元素前面比它大的数码分别计算出陈列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出陈列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出陈列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求陈列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求陈列的逆序数序数.方法

16、方法2 2例例1 1 求陈列求陈列3251432514的逆序数的逆序数. .解解在陈列在陈列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只需一个大的数只需一个3,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是陈列于是陈列32514的逆序数为的逆序数为13010 t. 5 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;例例2 2 计算以下陈列的逆序数，并讨论它们的计算以下陈列的逆序数，并

17、讨论它们的奇偶性奇偶性. . 2179863541解解453689712544310010 t18 此陈列为偶陈列此陈列为偶陈列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶陈列；时为偶陈列；14 ,4 kkn当当 时为奇陈列时为奇陈列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数时，陈列为偶陈列，为偶数时，陈列为偶陈列，k当当 为奇数时，陈列为奇陈列为奇数时，陈列为奇陈列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0

18、1 1 2 2 k2 2 陈列具有奇偶性陈列具有奇偶性. .3 计算陈列逆序数常用的方法有计算陈列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的一切陈列种数为个不同的元素的一切陈列种数为n!.n三、小结三、小结分别用两种方法求陈列分别用两种方法求陈列16352487的逆序数的逆序数.思索题解答思索题解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 201012130 t8 由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数. 810231100 t一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 32211331

19、2312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 阐明阐明1三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!32每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积3每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标陈列的三个元素的下标陈列例如例如322113aaa列标陈列的逆序数为列标陈列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标陈列的逆序数为列标陈列的逆序数为 , 101132 t偶陈列偶陈列奇陈列奇陈列正号正号 ,负号负号 .)1(32132133323123

20、2221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的的元元素素称称为为行行列列式式数数)det(ijijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD

21、212121212122221112111 阐明阐明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数一样的一次方程组的需求而程个数和未知量个数一样的一次方程组的需求而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t 例例1 1计算对角行列式计算对角行列式00040030020010

22、00分析分析展开式中项的普通方式是展开式中项的普通方式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2 计算上三角行列式计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的普通方式是展开式中项的普通方式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不

23、为零的项只需所以不为零的项只需.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明对角行列式证明对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第

24、二式.假设记假设记,1, iniia 那么依行列式定义那么依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕例例5 5设设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明.21DD 证证由行列式定义有由行列式定义有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211由于

25、由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数一样的一次方程组的需方程个数和未知量个数一样的一次方程组的需求而定义的求而定义的.2、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标陈正负号由下标陈列的逆序数决议列的逆序数决

26、议.nn!n三、小结三、小结知知 1211123111211xxxxxf .3的的系系数数求求 x思索题解答思索题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat . 13 的系数为的系数为故故 x一、对换的定义一、对换的定义定义定义在陈列中，将恣意两个元素对调，其他在陈列中，将恣意两个元素对调，其他元素不动，这种作出新陈列的手续叫做元素不动，这种作出新陈列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做

27、相邻对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab二、对换与陈列的奇偶性的关系二、对换与陈列的奇偶性的关系定理定理1 1一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改动奇偶性改动奇偶性证明证明设陈列为设陈列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改动外，其它元素的逆序数不改动.b,aabba当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数添加的逆序数添加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不

28、变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，陈列改动奇偶性因此对换相邻两个元素，陈列改动奇偶性.设陈列为设陈列为nmlcbcbabaa111当当 时，时，ba 现来对换现来对换 与与a.b次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改动所以一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改动奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab推论推论奇陈列调成规范陈列的对换次数为奇数，奇陈列调

29、成规范陈列的对换次数为奇数，偶陈列调成规范陈列的对换次数为偶数偶陈列调成规范陈列的对换次数为偶数. . nppptnaaaD21211 定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中 为行标陈列为行标陈列 的逆序数的逆序数. .tnppp21证明证明 由定理1知对换的次数就是陈列奇偶性的变化次数, 而规范陈列是偶陈列而规范陈列是偶陈列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证明证明按行列式定义有按行列式定义有 nnppptaaaD21211 nppptnaaaD211211 记记对于对于D中恣意一项中恣意一项 ,12121nnppptaaa 总有且仅有总有且仅有

30、中的某一项中的某一项1D ,12121nqqqsnaaa 与之对应并相等与之对应并相等;反之反之, 对于对于 中恣意一项中恣意一项1D ,12121nppptnaaa 也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项 ,12121nnqqqsaaa 与之对应并相等与之对应并相等, 于是于是D与与1D中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而.1DD 定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 是两个是两个 级陈列，级陈列， 为行为行标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和. .nnqqq,ppp2

31、121nt例例1 1 试判别试判别 和和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 能否都是六阶行列式中的项能否都是六阶行列式中的项.解解655642312314aaaaaa下标的逆序数为下标的逆序数为 6102210431265 t所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 下标的逆序数为下标的逆序数为 8452316 t所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.662551144332aaaaaa 例例2 2 在六阶行列式中，以下两项各应带什么符号在六阶行列式中，以下两项各

32、应带什么符号. .;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数为的逆序数为012201 t, 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行标陈列行标陈列341562的逆序数为的逆序数为列标陈列列标陈列234165的逆序数为的逆序数为400301 t所以所以 前边应带正号前边应带正号.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200 t例例3 3 用行列式的定义计算用行列式

33、的定义计算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 221 nn解解 nnnnntnaaaaD1 , 12,21, 11 nnt 1211 , !1 nt nnnt2121 1232 nn 1. 1. 一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法 nppptnaaaD21211 nnppptaaaD21211 nnqpqpqptaaaD22111 三、小结三、小结其中其中 是两个是两个 级陈列，级陈列， 为行为行标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和标陈列逆序数与列标陈列逆序数的

34、和. .nnqqq,ppp2121nt思索题思索题证明证明 在全部在全部 阶陈列中阶陈列中 , ,奇偶陈列各占奇偶陈列各占一半一半. . n 2 n思索题解答思索题解答证证 设在全部设在全部 阶陈列中有阶陈列中有 个奇陈列个奇陈列, , 个偶个偶陈列陈列, ,现来证现来证 . . nstts 将将 个奇陈列的前两个数对换个奇陈列的前两个数对换, ,那么这那么这 个奇个奇陈列全变成偶陈列陈列全变成偶陈列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,所以所以ss. ts 假设将假设将 个偶陈列的前两个数对换个偶陈列的前两个数对换, ,那么这那么这 个偶陈列个偶陈列全变成奇陈列全变成奇陈列, ,并且它

35、们彼此不同并且它们彼此不同, ,于是有于是有tt. st 故必有故必有. ts 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabijij 即即按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又由于行列式又由于行列式D可表示为可表示为 .12121 n

36、ppptnaaaD故故.TDD 证毕证毕设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 阐明阐明 行列式中行与列具有同等的位置行列式中行与列具有同等的位置,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序数数为为排排列列njippppt,11tppppnji的的逆逆

37、序序数数为为设设排排列列那么有那么有即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推论推论 假设行列式有两行列完全一样，那假设行列式有两行列完全一样，那么此行列式为零么此行列式为零. .证明证明互换一样的两行，有互换一样的两行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 361567567361266853kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 性质行列式中假设有

38、两行列元素成比性质行列式中假设有两行列元素成比例，那么此行列式为零例，那么此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5假设行列式的某一列行的元素都是假设行列式的某一列行的元素都是两数之和两数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 那么那么D等于以下两个行列式之和：等于以下两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 1222

39、11111122211111例如例如性质把行列式的某一列行的各元素乘以性质把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、运用举例二、运用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式

40、的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 2

41、3rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkij

42、aaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设设为为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设设为为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中

43、行与列具有同行列式中行与列具有同等的位置等的位置,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质思索题思索题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知思索题解答思索题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 111111111111222

44、2dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行

45、列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112

46、aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别引理引理 一个一个 阶行列式，假设其中第阶行列式，假设其中第 行一切行一切元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .1444241242221141

47、2113333aaaaaaaaaa 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 从而从而.1111AaD 再证普通情形再证普通情形, 此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行行对对调调第第行行第第行行行行依依次次与与第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnn

48、jnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nn

49、jnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija定理定理 行列式等于它的任一行列的各元行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行列展开法那么二、行列式按行列展开法那么nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211

50、ni, 2 , 1 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立时时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0

51、011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行列的元素与另一行列行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji

52、02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可可得得换换成成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 一样一样关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0

53、,1jijiij当当，当当其其中中例例 计算行列式计算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D23110 072066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 1. 行列式按行列展开法那么是把高阶行行列式按行列展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具列式的计算化为低阶行列式计算的重

54、要工具. ;,0,. 21jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中三、小结三、小结思索题思索题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 思索题解答思索题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121

55、2111设线性方程组设线性方程组,21不不全全为为零零若若常常数数项项nbbb那么称此方程组为非那么称此方程组为非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全全为为零零若若常常数数项项nbbb此时称方程组为齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法那么一、克拉默法那么假设线性方程组假设线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项替代后所得到的组右端的常数项替代后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是独一的，解有解，并且解是独一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的