两角和与差的余弦公式证明之欧阳学创编

1、两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比时间：2021.03. 03创作：欧阳学沈阳市教育研究院王思宾两甬和与差的余弦公式是三甬函数恒等变换的基础，其他三甬函数公式都是在此公式基础上变形傅到的， 因此 两玮和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公 式，往往得到了广大教师的关注.对于不同版本的教材采 用的方法往往不同，认真体会各种不同的两甬和与差的余 弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问 题、研究问题、解决问题的芳邑力有彳艮大的作用.下面将两甬 和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下:方法一：应用三甬函数线推导差玮公式的方法设甬a的终边与单位圆的交点为Pl, ZPOP1 =

2、p,贝!J ZPOx = a p.过点P作PM丄x轴，垂足为 M,那么OM即为a-0甬 的余弦线，这里要用表示a,卩的正弦、余弦的线段来表 示OM.过点P作PA丄OP1,垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂 足为B,再过点P作PC丄AB,垂足为C,那么cosp =OA, sinp = AP,并且ZPAC=ZPlOx = a,于是 OM =OB + BM = OB + CP = OAcosa + APsiiia = cospcosa + sinpsina.说明：应用三甬函数线推导差甬公式这一方法简单明了， 构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到 解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另

3、一个问题 是公式是在工0均为锐甬的情况下进行的证明，因此还要 考虑z 0的玮度从锐玮 向任意甬的推广问题.方法二：应用三甬形全等、两点间的距离公式推导差玮公 式的方法设 Pl(xl , yl) ,P2(x2 ,y2),贝!J 有 IP1P2 1=J(X2-坷十(乃一乃.在直甬坐标系内做单位圆，并做出任意角 a, a+p和 一0, 它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆 与 x 轴交于 P1 ,贝!J Pl(l,0)、P2(cosa , sina)、 P3(cos(a+0), sin(a+(3)、目(込(-0),血(-Q).今0鸟=ZPg皿*,且闵| = |0闯二|0剧=K| = 1

4、,:.沁取、叽,.憶创=|爲引，=J(COSQ COS(-Q)y +(siil 盘 2-2 cos (cz+ 0)= 2- 2cosorcos 0- 2sin &sin.(-Q) cos (o;+ /5)= cos or cossin asm /5 9cos (CL- 0)= cos 必 cos Q+ sin Xsin 0说明：该推导方法巧妙的将三甬形全等和两点间的品巨离结 合在一起，利用单位圆上与甬化有关的四个点牡(1,0),爲(cos Cd, sin ),昌(cos(& + 0), sin (d + Q)R (uos(-Q),sm(-戸)建立起等式关系，通过将等式的化简、 变形就可以得到符

5、合要求的和甬与差甬的三甬公式.在此 种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于 鸟。兄三点在一条直线牙口&。庄三点在一条直线上时这一 特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的品巨离公式推导差甬公式 的方法设戸(cos&, sin &) ,j2(cos Q,sin. 0)则I对=( COS Of- cos b+( sin a- sin 0)，= 2- 2(cos arcos +sin a;sin 0)在厶OPQ中，0日0耳+|0娜-2|0刊002如，.|PQf=l+l-2uos(g_Q cos (a;-= cos or cos /3+sin orsin说明：此题的解题

6、思路和构想都是容易实现的.因为要求 两甬和与差的三玮函数，所以构造出和甬和差玮是必须实 现的.构造出的和甬或差甬的余弦函数又需要和这两个甬 的三甬函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点 间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是 推导两甬和与差的余弦的比较容易理解的一种方法.但此 种方法必须是在学习 完余弦定理的前提下才育邑使用，因此 此种方法在必修四中又无法使用.另外也同样需要考虑 只卫三点在一条直线上的情况.方法四：应用三玮形面积公式推导推导差甬公式的方法设a、P是两个任意甬，把a、卩两个甬的一条边拼在 一起，顶点为 O,过B点作 OB的垂线，交a另一边于 A,交卩另一边于

7、C,贝!J有 SA OAC=SA OAB+Sa OBC. 根据三玮形面积公式，有S+Q)二 廖| +土 |旳 | 西.|M|0Cjsm (a+戸)二卜绷OE|+0U|O&|. OB = OAcosa= |?C|cos J3 AB= |(?/4|sin d BC = 0Csm0|O|OC-|sin (a+Q)二 |0外111引0口心 /?+|O|cos |GC|sin Q. oa oc w o,.siii(a+p)=sinacosp+sinpcosa.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和甬公式及差甬公式.(1 )sin(a-p)=sina+(-p)=sinacos(-p)+sin(-p)cosa

8、=sinacosp- sinpcosa;(2) cos(a+p)=sin90-(a+p)=sin(90-a)-p=sin(90-a)cosp - sinpcos(90-a)=cosacosp-sinasinp;(3) cos(a-p)=cosa+(-p)=cosacos(-p)-sinasin(- p)=cosacosp+sinasinp.说明：此种推导方法通过三甬形的面积的和巧妙的将两甬 和的三甬函数与各个甬的三甬函数和联系在一起，体现了 数形结合的特点.缺点是公式还是在两个甬为锐甬的情况 下进行的证明，因此同样需要将甬的范围进行拓展.(五)应用 数量积推导余弦的差甬公式在平面直甬坐标系xOy内，作单位圆O, 以 Ox为始边 作甬a,卩，它们的终边与单位圆的交点为 A, B,贝!JQA = (cosat sina), OB = (cosp, sinp).由向量数量积的概念，有，QB =网闵cos (盘- 0) = CQS 9- 0).由向量的数量积的坐标农示，有OA-OB = (cossin &) (cos ,sin 二 cos Qcos ,5+sinsin于是,有 cos (Of- j8)=cos 必 cos j+sin Xsin 0说明：应用数量积推导余弦的差玮公式无论是构造两个甬 的差，还是傅到每个甬的三甬函数值都是容易实现的，而 且从向量的数量积的定义和坐标运算