315立体几何中的向量法专题

1、 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B 处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 l abcd 解：解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ， 化为向量问题化为向量问题 根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算 2 2 2 )(DBCDACABd

2、)(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2 222 DBCAbca 2 222 于是，得于是，得 2222 2dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CA DB 因此因此.cos2 2222 dcbaab A B C D 图图3 所以所以. 2 cos 2222 ab dcba 回到图形问题回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2 2222 ab dcba 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜

3、面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B 处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 l abcd 思考：思考： （1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以测出，而可以测出，而AB未知，未知， 其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出AB的长吗？的长吗？ A B C D 图图3 2 2 )( DBCDACAB 由由 )(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAB 分析：分析

4、： cos2 222 abbca 可算出可算出 AB 的长。的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条 对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的 夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦 值吗？值吗？ 分析：分析：如图，设以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线 长为长为 ，三条棱长分别为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。 A1 B1 C1 D1 A B C D A d， cba 2 22 11 ()dACABBCCC 则则 cos)(2 222

5、acbcabbca )(2 cos 2222 acbcab cbad （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶，并且以某一顶 点为端点的各棱间的夹角都等于点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻，那么可以确定这个四棱柱相邻 两个面夹角的余弦值吗？两个面夹角的余弦值吗？ a A1B1 C1 D1 A B C D 分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角 回归图形回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面 AB1 内过内过 A1 作作 A1EAB 于点于点 E， EF 在平面在平面 AC 内作内作 CFAB 于于 F

6、。 cos sin 1 aBFAEaCFEA ，则则 CFEAFCEA cos coscos 11 ， | 1 1 CFEA CFEA 22 1 sin )()( a BFCBAEAA 22 22222 sin cos)cos(cos)cos(coscos a aaaa cos1 cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 练习：练习： （1 1）如图）如图4 4，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两两 点，直线点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直内，且都垂直ABAB，

7、已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8， 求求CDCD的长。的长。 B 图图4 A C D （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为中，底面是边长为2的正三的正三 角形，角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 A B C A1 B1 C1 图图5 如图如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中， 分别是棱分别是棱 上的动点，且上的动点，且 。 （1）求证：）求证： ； （2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二 面角面角 的正切值。的正切值。 aCBAOOA

8、BC FE、 BCAB、BFAE ECFA BEFB BEFB O C B A O A B C E F 图图6 ？时，才能提起这块钢板 少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运 这块钢板在这些，且是 角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三 力，在它的顶点处分别受质量为 角形面的钢板的如图，一块均匀的正三例 .20060 ,500 3 321 321 kgFFF FFFkg F F1 1 F F2 2 F F3 3 A C B O 500kg F F1 1 F F2 2 F F3 3 A C B O 500kg z x y ).0 , 2 1 , 2 3 (),0 , 1 , 0(),0 ,

9、 0 , 0( , CBA Axyz yAByAB xAyABCA 坐标分别为 则正三角形的顶点建立空间直角坐标系 轴的单位长度为轴正方向，方向为平面， 坐标为为原点，平面解：如图，以点 F F1 1 F F2 2 F F3 3 A C B O 500kg z x y ),0 , 1 , 0(),( 2 1 60cos 60, ),( 1 1 zyx ACABF zyxF 的数量积运算，得 ，利用向量的夹角均为与由于 为方向上的单位向量坐标设力 ),0 , 2 1 , 2 3 (),( 2 1 60cos zyx . 2 1 , 12 1 yx解得 F F1 1 F F2 2 F F3 3 A

10、 C B O 500kg z x y 3 2 , 1 222 zzyx因此又因为 ) 3 2 , 2 1 , 12 1 (200 1 F所以 ) 3 2 , 0 , 3 1 (200 ) 3 2 , 2 1 , 12 1 (200 3 2 F F 类似地 F F1 1 F F2 2 F F3 3 A C B O 500kg z x y )6, 0 , 0(200 ) 3 2 , 0 , 3 1 () 3 2 , 2 1 , 12 1 () 3 2 , 2 1 , 12 1 (200 321 FFF它们的合力 所以钢板仍静止不动。 由于 作用点为大小为 的合力方向向上， 这说明，作用在钢板上 ,

11、5006200 .,6200 Okg 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方 形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点， 作作EFPB交交PB于点于点F. (1)求证：求证：PA/平面平面EDB (2)求证：求证：PB平面平面EFD (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。 A B C D P P E E F F A B C D P P E E F F X Y Z G 解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点， 设设DC=1 (1)证明：连结证明：连结A

12、C,AC交交BD于点于点G,连结连结EG (1,0,0),(0,0,1), 1 1 (0, ) 2 2 AP E 依依题题意意得得 )0 2 1 , 2 1 (，的坐标为故点 是此正方形的中心，所以点 是正方形，因为底面 G G ABCD A B C D P P E E F F X Y Z G ) 2 1 , 0 , 2 1 (),1, 0 , 1 (EGPA且 EGPAEGPA/2，即所以 EDBPAEDBEG平面且平面而, EDBPA 平面所以，/ A B C D P P E E F F X Y Z G ) 1, 1 , 1 (),0 , 1 , 1 (2PBB）证明：依题意得（ 0 2 1 2 1 0), 2 1 , 2 1 , 0(DEPBDE故又 DEPB 所以 , , EDEEF PBEF 且 由已知 EFDPB平面所以 A B C D P P E E F F X Y Z G 的平面角。是二面角故 ）可知由（）解：已知（ DPBCEFD DFPBEFPB ,2,3 ) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为 ( , ,1)(1,1, 1) ( , ,) x y zk k kk 所所以以 kzkykx1,即 0DFPB因为 0131 )1 ,() 1,