第21讲　圆的有关性质（可编辑PPT）

1、栏目索引 第第2121讲讲 圆的有关性质圆的有关性质 栏目索引总纲目录 泰安考情分析泰安考情分析 基础知识过关基础知识过关 泰安考点聚焦泰安考点聚焦 总纲目录总纲目录 随堂巩固练习随堂巩固练习 栏目索引泰安考情分析 泰安考情分析 栏目索引基础知识过关 基础知识过关 知识点一知识点一 圆的有关概念圆的有关概念 知识点二知识点二 圆的有关性质圆的有关性质 知识点三知识点三 圆内接四边形圆内接四边形 栏目索引基础知识过关 知识点一知识点一 圆的有关概念圆的有关概念 1.1.圆的两种定义圆的两种定义 (1)在一个平面内,线段OA绕它 固定的一个端点O 旋 转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其固定

2、的端点O 叫做 圆心 ,线段OA叫做 半径 . (2)在同一平面上到定点的距离等于 定长 的所 有点的集合叫做圆. 栏目索引基础知识过关 2.2.弦和弧弦和弧 (1)弦:连接圆上 任意两点 的线段叫做弦,经过圆心的弦 叫做 直径 ,直径是圆中最长的弦. (2)弧:圆上 任意两点间的部分 叫做圆弧,简称弧.弧可 分为 劣弧 、半圆和优弧. 3.3.同心圆和等圆同心圆和等圆: :圆心相同的圆叫做同心圆;半径相等的圆叫做等 圆. 栏目索引基础知识过关 4.4.圆心角和圆周角圆心角和圆周角: :顶点在 圆心上 的角叫做圆心角;顶 点在圆上,并且 两边都与圆相交 的角叫做圆周角. 5.5.弦心距弦心距:

3、 :圆心到弦的距离叫做 弦心距 ,即由圆心向弦 作垂线段,则这条垂线段的长度叫做弦心距. 栏目索引基础知识过关 知识点二知识点二 圆的有关圆的有关性质性质 1.1.圆的对称性圆的对称性 (1)圆是轴对称图形, 任何一条直径所在的直线 都是圆 的对称轴; (2)圆是中心对称图形,对称中心是 圆心 . 栏目索引基础知识过关 2.2.垂径定理及其推论垂径定理及其推论 (1)定理:垂直于弦的直径平分 弦 ,并且平分 弦所对的两条弧 . (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 . 温馨提示温馨提示 (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的 优 弧;(5)平

4、分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. 栏目索引基础知识过关 3.3.圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧 相等 ,所对的 弦 相等,所对的弦的弦心距相等. (2)推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条 弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相 等. 栏目索引基础知识过关 4.4.圆周角定理及推论圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,都等于它所对 圆心角的 一半 . (2)推论: 同弧或等弧 所对的圆周角相等;半圆(或直径) 所对的圆周角

5、是 直角 ;90的圆周角所对是 直径 . 温馨提示温馨提示 (1)同一条弧所对的圆周角相等,同一条弦所对的圆周 角相等或互补;(2)当已知条件中有直径时,常常作直径所对的圆 周角,这是圆中常作的辅助线;(3)等弧只存在于同圆或等圆中,是 指能够完全重合的弧,而不是弧长相等或者所对圆心角相等的弧. 栏目索引基础知识过关 知识点三知识点三 圆内接四边形圆内接四边形 1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角 互补 . 栏目索引随堂巩固训练 泰安考点聚焦 考点一考点一 垂径垂径定理及其推论定理及其推论 考点二考点二 圆心角、弧、弦的关系圆心角、弧、弦的关

6、系 考点三考点三 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 考点四考点四 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质 栏目索引泰安考点聚焦 考点一考点一 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 中考解题指导中考解题指导大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点 的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论. 栏目索引泰安考点聚焦 例例1 1 (2017泰安一模)如图,AB是O的直径,点D平分弧AC,AC=5, DE=1.5,则OE= . 4 3 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析OD为O半径,点D平分弧AC,AC=5, ODAC,AE=CE=2.5. 设OE=x, D

7、E=1.5,OA=OD=x+1.5. 在RtAEO中,AE2+OE2=AO2, 即2.52+x2=(x+1.5)2,解得x= . 4 3 栏目索引泰安考点聚焦 变式变式1-11-1一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排 水管水面宽CD等于 1.6 m. 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析如图,作OEAB于点E,交CD于点F,连接OC. AB=1.2 m,OEAB, 由垂径定理知AE=0.6 m. OA=1 m,OE=0.8 m. 水管水面上升了0.2 m, EF=0.2 m, OF=0.8 m-0.2 m=0.

8、6 m, CF=0.8(m),CD=1.6 m. 22 OCOF 22 10.6 栏目索引泰安考点聚焦 考点考点二二 圆心角、弧、弦的关系圆心角、弧、弦的关系 例例2如图,D,E分别是O的半径OA,OB上的点,CDOA,CE OB,CD=CE,则 与的大小关系是 = . AC l BC l AC l BC l 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析CDOA,CEOB, CDO=CEO=90, 又CD=CE,CO=CO, CODCOE.COD=COE, =. AC l BC l 栏目索引泰安考点聚焦 变式变式2-1 (2017甘肃兰州)如图,在O中, 的长= 的长,点D在 O上,CDB=25,则AOB=

9、 ( B ) A.45B.50 C.55D.60 AB BC 栏目索引泰安考点聚焦 解析连接OC.CDB=25, COB=50.又=, AOB=COB=50,故选B. AB l BC l 栏目索引泰安考点聚焦 变式变式2-22-2如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,ABC=50, 则DAB等于( C ) A.55B.60 C.65D.70 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析连接BD,如图. 点D是弧AC的中点,即的长=的长, ABD=CBD,又ABC=50, ABD=50=25, AB是半圆的直径, ADB=90,DAB=90-25=65.故选C. CD AD 1 2 栏目索引泰安考点聚焦

10、 方法技巧方法技巧熟记并能灵活运用圆心角、弧、弦之间的关系的 定理及推论是解决此类问题的关键. 栏目索引泰安考点聚焦 考点三考点三 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 例例3 (2017泰安)如图,ABC内接于O,若A=,则OBC等于 ( D ) A.180- B.2 C.90+ D.90- 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析连接OC,则BOC=2A=2, OB=OC, OBC=OCB= (180-2)=90-. 1 2 栏目索引泰安考点聚焦 变式变式3-1 (2016泰安)如图,ABC内接于O,AB是O的直径, B=30,CE平分ACB交O于E,交AB于点D,连接AE,则SADES CDB=(

11、 D ) A.1 B.1 C.12 D.23 3 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析如图所示,连接OE. AB是O的直径,ACB=90. 在RtACB中,B=30, 设AC=x,则AB=2x,BC=x, OA=x. 3 栏目索引泰安考点聚焦 CE平分ACB, ACE=BCE=ACB=45, BAE=BCE=45, AOE=2ACE=90, AOE为等腰直角三角形, AE=x, BAE=BCE,ADE=BDC, ADECDB, SADE SCDB=2 3.故选D. 1 2 2 2 AE BC 2 2 3 x x 栏目索引泰安考点聚焦 变式变式3-23-2 (2018泰安)如图,O是ABC的外接圆,A

12、=45,BC= 4,则O的直径为 4 . 2 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析连接OB,OC, A=45,BOC=90. OB=OC, BOC为等腰直角三角形. BC=4,OB=OC=2, 圆的直径为22=4. 2 22 栏目索引泰安考点聚焦 方法技巧方法技巧求圆周角的度数,可以转化为求同弧所对的圆心角 的度数,同理,求圆心角的度数,可以转化为求同弧所对的圆周角 的度数. 栏目索引泰安考点聚焦 考点四考点四 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质 中考解题指导中考解题指导圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的外 角等于它的内对角,此知识点较为简单,但也是非常容易忽略的, 当碰到圆与四边形结合的题目

13、时,要优先考虑圆内接四边形的性 质和推论. 栏目索引 例例4 (2017泰安)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点 C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若ABC=55,则ACD等 于 ( A ) A.20B.35 C.40D.55 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析连接OC,CM所在直线为O的切线,CMOC. CMAM,OCAM, DAC=ACO. 又OA=OC,OAC=ACO, DAC=OAC. AB为O的直径,ACB=90, ABC=55,CAO=DAC=35. 栏目索引泰安考点聚焦 四边形ABCD为O的内接四边形, ADC+ABC=180,ADC=125, ACD=180-DAC

14、-ADC=180-35-125=20. 栏目索引泰安考点聚焦 变式变式4-1如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行 四边形,则ADC的大小为 ( C ) A.45B.50 C.60D.75 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边 形,B=AOC.四边形ABCD是O的内接四边形,B+ D=180,x+2x=180,x=60.ADC=60.故选C. 栏目索引 变式变式4-2如图,A,B,C三点在O上,且CBD=60,那么AOC= 120 . 栏目索引泰安考点聚焦 解析解析如图,在优弧AC上取一点E,连接AE,CE,则四边形ABCE为 圆的

15、内接四边形,且AOC=2AEC, AEC+ABC=180, CBD+ABC=180, AEC=CBD=60. AOC=2AEC=120. 方法技巧通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之 栏目索引泰安考点聚焦 方法技巧方法技巧通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之 间的转化,这是解决此类问题的关键. 栏目索引随堂巩固训练 一、选择题一、选择题 1.(2018济宁)如图,点B,C,D在O上,若BCD=130,则BOD的 度数是 ( D ) A.50 B.60 C.80 D.100 随堂巩固训练 栏目索引随堂巩固训练 2.在半径为13的O中,弦ABCD,弦AB和CD的距离为7,若AB=2

16、 4,则CD 的长为 ( D ) A.10 B.4 C.10或4 D.10或2 30 30165 栏目索引随堂巩固训练 3.(2018湖北武汉)如图,在O中,点C在优弧上,将弧 折叠后 刚好经过AB的中点D.若O的半径为,AB=4,则BC的长是( B ) A.2 B.3 C. D. AB BC 5 32 5 3 2 65 2 栏目索引随堂巩固训练 二、填空题二、填空题 4.如图,将半径为4 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则 折痕AB的长为 4 cm. 3 栏目索引随堂巩固训练 解析解析连接AO,过O作ODAB,交于点D,交弦AB于点E. 折叠后恰好经过圆心O, OE=DE. O的半径为4cm, AB AB 栏目索引随堂巩固训练 OE=OD=4=2cm, 由ODAB,知AB=2AE, 在RtAOE中, AE=2cm, AB=2AE=4cm. 1 2 1 2 22 OAOE 22 423 3 栏目索引随堂巩固训练 三三、解答题、解答题 5.如图,以ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交 点分别为D,E,且 = . (1)试判断ABC的形状,并说明理由; (2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sinABD的值. DE l BE l 栏目索引随堂巩固训练 解析解析(1)ABC为等腰三角形.理由如下:连接AE,如图所示. 的长=的长,DAE=BAE