相似三角形的性质全

1、1 1、什么叫相似三角形？、什么叫相似三角形？ 什么是它们相似比什么是它们相似比? ? 三角对应相等、三边对应成比例三角对应相等、三边对应成比例 的两个三角形的两个三角形, ,叫做相似三角形叫做相似三角形. . 相似三角形对应边的比叫做它们的相似比相似三角形对应边的比叫做它们的相似比. . A B C A A/ / B B/ / C/ 相似三角形的对应角相似三角形的对应角_ 相似三角形的对应边相似三角形的对应边_ 想一想想一想: : 它们还有哪些性质呢它们还有哪些性质呢? ? 2 2、相似三角形有何特征？、相似三角形有何特征？ 成比例成比例 相等相等 一个三角形有三种重要线段：一个三角形有三种

2、重要线段： 如果如果两个三角形相似两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？那么这些对应线段有什么关系呢？ 情境引入情境引入 高、中线、角平分线高、中线、角平分线 24.5 相似三角形的性质相似三角形的性质 学习目标学习目标 1 1、在理解相似三角形、在理解相似三角形特征特征的的 基础上，掌握相似三角形对应基础上，掌握相似三角形对应 高、对应中线、对应角平分线、高、对应中线、对应角平分线、 周长、面积的比等性质周长、面积的比等性质. . 2 2、通过实践体会相似三角形、通过实践体会相似三角形 的性质，会用性质解决相关的的性质，会用性质解决相关的 问题问题. . A CB A B C D

3、D 2 1 （1 1） ABCABC 1 2 相似比为 AD A D 对应中线 的比 A CB A B C D 2 1 （2 2） D D ABCABC 1 2 相似比为 AD AD 对应高的比， A CB A B C D D 2 1 （3 3） ABCABC 1 2 相似比为 AD A D 对应角 平分线的 比 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 放大前放大前 放大后放大后 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 ABCABC与与ABCABC的相似比是多少？的相似比是多少？ ABCABC与与ABCABC的周长比是多少的周长比是多少? ? 面积比是多少？面积比是多少？ 4 44 4正方形网格正

4、方形网格 如图，如图，ABCABC与与ABCABC有什么关系？有什么关系？ 为什么？为什么？ 试问：是不是任意相似三角形都有此关系呢？你能加以试问：是不是任意相似三角形都有此关系呢？你能加以 验证吗？验证吗？ 你发现上面两个相似三角形的周长你发现上面两个相似三角形的周长 比与相似比有什么关系？面积比与相比与相似比有什么关系？面积比与相 似比又有什么关系？似比又有什么关系？ 2 2 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 1010 2 2 22 1 1 55 22 A A B B C C A A CC BB 2 2 预习提纲：预习提纲： 1 1、阅读课本

5、、阅读课本P P146 146、 、P P147 147、 、P P148 148 2 2、你能得出、你能得出相似三角形对应高相似三角形对应高 的比、对应中线的比、对应角平的比、对应中线的比、对应角平 分线的比、周长的比、面积的比分线的比、周长的比、面积的比 是什么？是什么？ 3 3、你能证明相似三角形的性质？、你能证明相似三角形的性质？ 对应高的比对应高的比 对应中线的比对应中线的比 对应角平分线的比对应角平分线的比 周长的比周长的比 相相 似似 三三 角角 形形 等于相似比等于相似比. . 面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方 相似三角形的性质相似三角形的性质 证明：证明：AB

6、CDEF. B =E, 相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比. . ( (相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例). ). A BC MD EF N . DE AB DN AM . EF BC DE AB 又又AM,DN分别是分别是ABC和和DEF的中线的中线. ,2ENEF ,BM2 BC ABMDEN.( ). . EN BM DE AB 且且B =E. 推导性质推导性质 求证：求证： 已知：已知： ABCABCDEF. AMDEF. AM、DNDN分别为中线分别为中线 . DE AB DN AM 证明：证明：ABCDEF. B =E, BAC=EDF.

7、又又AM,DN分别是分别是BAC和和EDF的的 角平分线角平分线. BAM=1/2 BAC， EDN=1/2 EDF， BAM=EDN. AMBDNE. ( (两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似). ). 相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比. . ( (相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例). ). A BC M D EF N . DE AB DN AM 推导性质推导性质 求证：求证： 已知：已知： ABCABCDEF. AMDEF. AM、DNDN分别角平分线分别角平分线 . DE AB DN AM 相似三角形的性质全相似三

8、角形的性质全 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、相似三角形的对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比都等于相似比对应角平分线的比都等于相似比. . 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 1 1 相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。 已知：已知： 求证：求证： BA AB ACCBBA CABCAB CBAABC 证明：证明： CBAABC AC CA CB BC BA AB BA AB ACCBBA CABCAB ( (相似三角形对应边相似三角形对应边 成比例成比例) ) ( (等比性质等比性质) ) A CB B A C 推导性质推导性质 相似三角形的性质全相

9、似三角形的性质全 A A B B C C A A B B C C 证明：证明： ABCABCA A/ /B B/ / C C/ /，相似比为，相似比为k k k CA AC CB BC BA AB / AB=kAAB=kA/ /B B/ /，BC=kBBC=kB/ /C C/ /，AC=kAAC=kA/ /C C/ / （相似三角形的对应边成比例）（相似三角形的对应边成比例） / CACBBA ACBCAB CBA ABC 的周长 的周长 k CACBBA CACBBAk )( )( / / 相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形

10、面积的比等于相似比的平方。 求证：求证： 2 2 CB BC S S CBA ABC A BC A BC D D 证明：证明： 分别过分别过A、A， 作作ADBC于于D， DCBDA于作 2 1 2 1 CBDA BCAD S S CBA ABC CB BC DA AD 2 2 CB BC CB BC CB BC 推导性质推导性质 已知：已知： CBAABC CBAABC （ ） 相似三角形对应高相似三角形对应高 的比等于相似比的比等于相似比 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 相似三角形的周长的比等于相似比相似三角形的周长的比等于相似比. . 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 2 2

11、A A B B C C A A B B C C ABC ABC A B C,A B C, 相似比为 相似比为k. k. =k=k2 2 k k， ABC的周长的周长 ABC的周长的周长 = s ABC s ABC 几何表述几何表述: : 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 3 3 面积比等于相似比的面积比等于相似比的平方平方 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 例例1 1 已知：已知：ABCABCABCABC，它们的，它们的 周长分别是周长分别是48cm48cm和和60cm60cm，且，且AB=12AB=12， BC=25BC=25，求，求BCBC、ABAB 例例2 2 如图，如图，ABC

12、ABC中，点中，点D D点点E E分别在分别在ABAB和和 ACAC上，上，DE/BC,DE=6,BC=9,DE/BC,DE=6,BC=9,且且 求求16 ADE S ABC S A B C DE 24.5(2)24.5(2) 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 1. 1.两个相似三角形的相似比为两个相似三角形的相似比为1 1：4 4，则对应边的高，则对应边的高 的比为的比为_，对应角的平分线的比为，对应角的平分线的比为_,_,周周 长的比为长的比为_,_,面积的比为面积的比为_._. 2. 2.已知已知ABCABCABCABC，对应边的中线之比，对应边的中线之比 为为3:23:2，ABCA

13、BC的周长为的周长为24cm24cm，面积为，面积为18c18c, , 则则 =_=_，ABCABC的周长等于的周长等于_cm_cm， ABCABC的面积为的面积为_c_c. . AB A B 3 3如图，如图，ABCABC中，中，DE/BC,AD:BD=4:3,DE/BC,AD:BD=4:3, 则则DE:BC=_, =_.DE:BC=_, =_. AED BCED S S A B C DE 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 例题例题1 BDADCD ABADAC RtACBABCDABC 2 2 )2( ;1 , ）求证（ 上的高，是中，在 24.5(3)24.5(3) 相似三角形的性质

14、全相似三角形的性质全 例例2 2 已知点已知点D D和和E E在在ABCABC的的ABAB和和ACAC上上， 1 /,16 3 ABC DE DEBCDBCE BC S 四边形的面积为 ， 求 C B E D A 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 1. 1.某时刻量得一棵树某时刻量得一棵树 AB AB 在地面上的影子长在地面上的影子长 BE=30 BE=30 米，同时测得在米，同时测得在 BE BE 方向上竖起的一根与地面垂方向上竖起的一根与地面垂 直的标杆直的标杆 CD CD 的影长的影长DF DF 为为 3 3 米，已知标杆高米，已知标杆高 DC=2 DC=2 米，则树米，则树 AB

15、AB 的高度是的高度是 . . B D E F C A 2. 2.竿高竿高1.51.5米，影长米，影长1 1米，同一时刻，米，同一时刻， 某塔影长某塔影长2020米，则塔高是米，则塔高是_米米. . 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 3. 3.已知已知DE / BC , CD DE / BC , CD 与与 BE BE 相交于点相交于点 O O ，并且，并且 S SDOEDOE：S SCOBCOB=4=4：9 9则则 AE : AC =AE : AC =（ ）. . ( A ) 4:9 ( B ) 16: 81 ( C ) 2: 3 (D) l : 2( A ) 4:9 ( B ) 16:

16、 81 ( C ) 2: 3 (D) l : 2 O E D C B A 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 拓展：已知：如图，梯形拓展：已知：如图，梯形ABCDABCD中，中，CD/ABCD/AB， ABCABC的平行线的平行线BEADBEAD于于E E，且，且 求求 2 1 AE DE BCDE ABE S S 四边形 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 的长求上，和在 分别和点中，在 CDBAPDBPACBC DPBCACABABC ,12 ,16,10 P D C B A 例例1 1 24.5(4)24.5(4) 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 例例2 2 如图，如图，ABC

17、ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边 BC=120mmBC=120mm，高，高AD=80mmAD=80mm，要把它加工成正方，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在BCBC上，其余两个顶上，其余两个顶 点分别在点分别在ABAB、ACAC上，这个正方形零件的边长是上，这个正方形零件的边长是 多少？多少？ 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 例例3 3 如图，如图，ABCABC中，中，DE/FG/BCDE/FG/BC，点，点 DEDE、FGFG把把ABCABC的面积分成三等分，已知的面积分成三等分，已知 BC=12cmBC=12cm，求，求FGFG的

18、长的长. . 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 练习练习2 如图如图ABC中，中，ADBC于于D，FGHI 为矩形，为矩形， BC=36cmBC=36cm，AD=12cmAD=12cm，求矩，求矩 形形FGHIFGHI的周长的周长. . 9 5 GH FG 练习练习1P391P39：1 1 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 练习练习3 3 如图如图ABCABC中，中，DE/FG/BCDE/FG/BC， 且且AD=DF=BF.AD=DF=BF. 求求S S ADEADE： ：S S四边形 四边形DFGEDFGE： ：S S四边形 四边形BFCGBFCG 练习练习4P394P39：2 2

19、相似三角形的性质全相似三角形的性质全 ABCABC中，有一个内接正三角形中，有一个内接正三角形DEFDEF，点，点D D、E E、 F F分别在分别在ABAB、CACA、BCBC上，且上，且DE/BCDE/BC，已知，已知 BC=4cmBC=4cm，BCBC上的高为上的高为AH=6cm.AH=6cm.求求DEDE的长的长. . 拓展拓展 填一填填一填 1 1、相似三角形对应边的比为、相似三角形对应边的比为 23,23,那么相似比为那么相似比为_,_,对对 应角的角平分线的比为应角的角平分线的比为 . . 2 3 2 3 2 2、两个相似三角形对应边上的高、两个相似三角形对应边上的高 的比为的比

20、为1 144 , , 则它们周长的比为则它们周长的比为 _,_,面积的比为面积的比为_. _. 1：41：16 填一填填一填 3 3、两个相似三角形面积的两个相似三角形面积的 比为比为4 4：9 9，则它们周长的，则它们周长的 比为比为_,_,对应高的比为对应高的比为 _ ._ . 2 3 2 3 填一填填一填 4 4、ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1， ，AB=4 AB=4， BC=5BC=5，AC=6AC=6，A A1 1B B1 1C C1 1的的 最大边长为最大边长为1515，那么它们，那么它们相似比相似比 为为_, _, A A1 1B B1 1C C1 1 的周长是

21、的周长是 _ ._ . 2 5 2 75 ABCABCA ABCBC，B BDD和和BDBD 是它们的对应中线，已知是它们的对应中线，已知 ， BD=4cm BD=4cm，求，求B BD D的长的长. . 2 3 CA AC 解：解： ABCABCA ABCBC， B BDD和和BDBD是它们的对应中线是它们的对应中线 （ ） BD=6 A B C D A B C D （cmcm） 相似三角形对应相似三角形对应 中线的比等于相中线的比等于相 似比似比 AC A C BD B D 3 2 BDBD 6 6 做一做做一做 如图，小明自制了一个小孔成像装置，如图，小明自制了一个小孔成像装置， 其中纸

22、筒其中纸筒ODOD的长度为的长度为15cm15cm，他准备了，他准备了 一枝长为一枝长为20cm20cm的蜡烛，想要得到高度的蜡烛，想要得到高度 为为5cm5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多的像，蜡烛应放在距离纸筒多 远的地方？远的地方？ 想一想想一想 相似三角形的性质全相似三角形的性质全 如图，在如图，在ABCABC中，矩形中，矩形DEFGDEFG的一边的一边DEDE在在BCBC上，上， 点点G G、F F分别在分别在ABAB、ACAC上，上，AHAH是是BCBC边上的高，边上的高，AHAH 与与GFGF相交于相交于K K，GF=18GF=18，EF=10EF=10，BC=48.BC=48.

23、求求AHAH的长；的长； 若设若设EF=xEF=x，矩形，矩形EFGDEFGD的周长为的周长为y. y.写出写出y y与与x x的函的函 数关系式，并写出数关系式，并写出x x的取值范围的取值范围. . K H G A C B D E F 拓展拓展 如图是一个照相机成像的示意图，如果如图是一个照相机成像的示意图，如果 底片底片XYXY宽宽35mm35mm，焦距是，焦距是50mm50mm，能拍摄，能拍摄 5m5m外的景物有多宽？外的景物有多宽？ 拓广应用空间：拓广应用空间： 35 mm 50mm5m X Y A B L 体会体会. .分享分享 请你谈谈对相似三角形性质请你谈谈对相似三角形性质 的认识，让大家与你分享吧的认识，让大家与你分享吧! ! 全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形与相似三角形性质比较 全等三角形全等三角形相似三角形相似三角形 对应边对应边_ 对应角对应角_ 对应高对应高_ 对应中线对应中线_ 对应角平分线对应角平分线_ 对应边对应边_ 对应角对应角_ 对应高的比等于对应高的比等于_ 对应中线的比等对应中线的比等_ 对应角平分线的比等于对应角平分线的比等于_ 相似比相似比 相似比相似比 相似比相似比 周长周长_ 面积面积_ 周长的比周长的比等于等于_ 面积的比