相似三角形知识的专项复习及练习题1213

1、、基础知识相似三角形知识点与经典题型(一)比例1. 第四比例项、比例中项、比例线段;2. 比例性质：ac,ab2 *ad = bcb acbdbcaca zb c 二 d=bdbd(1) 基本性质:(2) 合比定理:(3) 等比定理:3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似：位似：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

2、m a m a=.(b d：；川n = 0) n b d川卷n b1如图：称为“平行线型”的相似三角形(有A型”与“ X型”图)1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义(2) 三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换(5) 利用面积关系2、证明题常用方法归纳：(1 )总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2) 找相似：通过“横找” “竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一 共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并 且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例 即可证的

3、所需的结论.(3) 找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。3.黄金分割：如图，若 PA2 = PB AB，则点p为线段AB的黄金分割点. 如图：其中/仁/2,则厶ADEA ABC称为“斜交型”的相似三角形。(有“反，厶巴(兰为中间比d n n“反其中AP二51 AB - 0.618 AB .即 空=匹二51 简记为：2AB AP 2长_短_甘5二 全长 2A共角型”、如图

4、:注：黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金 数的矩形4 平行线分线段成比例定理(二)相似1. 定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形.2. 相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例，对应角相等.3. 相似三角形的判定(1) 平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。(2) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。(3) 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么 这两个三角形相似。(4) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。4. 相似三角形的性质(1) 对

5、应边的比相等，对应角相等 .(2) 相似三角形的周长比等于相似比 .(3) 相似三角形的面积比等于相似比的平方.(4) 相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6. 梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7. 相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例(或等积式)；2、利用三角形相似，求线段的长等(3)A共角共边型”、“蝶型”)(也称“射影定理型”)”“三

6、垂直型”)C(D )如图：/仁/2，Z B=Z。，则厶ADEA ABC称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：(1) 若 DE/ BC( A 型和 X 型)则厶 ADE ABC(2) 射影定理若CD为Rt ABC斜边上的高(双直角图形)贝U RtAB3Rt ACETRt CBD且 AC=AD AB，CD=AD BD, BC=BD AB;(3)ACB(4)满足 1、AC=AD AB,当如AC AEAB2、/ ACD2 B, 3、/ ACBWADC 都可判定厶 ADSA或 AD- AB=AC AE时， ADEAACB相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法卫b-(m=m；,n=n

7、；或巴二n(4) 添加辅助线： 加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证岀为止注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。(5) 比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办 法是设“公比”为 ko(6) .对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离” 出来的办法处理。若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添平面直经典例题透析1. 如图在4X4的正方形方格中， ABC和厶DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点 上.(1 )填空：/ ABC=

8、BC=.(2)判定人8。与厶DEF是否相似？2. 如图所示，D E两点分别在 ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件，使得 ADE ABC3.如图，王华晚上由路灯 往前走2米到达E处时， 么路灯A的高度等于(A.4.5 米 B .6 米A下的B处走到C处时，测得影子 CD?勺长为1米，继续 测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是 1.5米，那)C .7.24.如图， ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm高AD=80mm?要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB AC上, ?这个正方 形零件的边长是多少？(A)Z APB=

9、/ EPC ( B)Z APE= 90 ( C) P是 BC的中点(D) BP： BC= 2 : 3 6如图， ABC中, ADL BC于 D,且有下列条件：之间的函数关系式;(1)/ B+Z DAC= 90; ( 2)Z B=Z DAC ( 3)CD = ACAD AB其中一定能够判定 ABC是直角三角形的共有(A) 3个(B) 2 个(C) 1 个(4) aB= BD- BC(2)如果/ BAC的度数为a，/ DAE的度数为B,当a、B满足怎样的关系式时，(1) 中y与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由.)17 如图，AB/ CD图中共有 对相似三角形.18 如图，已知 ABC P是A

10、B上一点，连结 CP要使 ACMA ABC只需添加条件 (只要写岀一种合适的条件)19如图，人。是厶ABC的角平分线，DE/ AC EF/ BC AB= 15, AF= 4,_则DE的长7如图，将 ADE绕正方形ABCDK点A顺时针旋转90 于H贝U下列结论中错误的是(得厶ABF,连结EF交AB6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cmx 3.5cm，放映的荧屏的规格为2mx2m,若放映机的光源距胶片 20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方， 放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题 可以转化为位似问题解答.(A

11、) AE1AF (B) EF： EC&如图，在矩形 abcdK点)AF=、2 : 1 (C) AF = FH-FE (D) FB： FC= HB：等于三适时训练12题(一)精心选一选1 梯形两底分别为得的线段长为(、m + n,、2mn/ 小、mnm + n)(A)(B)(C)(D)mnm +nm +n2mnm n过梯形的对角线的交点，弓I平行于底边的直线被两腰所截AD 12如图，在正三角形 ABC中，D, E分别在 AC AB上，且 =-，AE= BE则AC 3()(A)A AEWA BED(B)A AED CBD(C)3. P是ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截厶ABC使截得

12、的三角 形与 ABC相似，满足这样条件的直线共有()(A) 1 条(B) 2 条(C3 条(D 4 条4如图，/ ABD=Z ACD图中相似三角形的对数是()(A) 2( B) 3( C) 4( D) 55如图，ABCD1正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能 推出ECP相似的是(E是AD上任意一点，则有() ABE的周长+ CDE勺周长= BCE的周长(B)A ABE的面积+ CDE勺面积= BCE的面积 (& AB DEC( D)A AB0A EBC9.如图，在 口ABCDK E为 AD上一点，DE： CE= 2 : 3, BD交于点 F,贝 U S DEF： S E

13、BF： ABF等 于()连结AE BE BD 且 AE(A)(D)5 : 123 : 2(B) 9 : 5( C) 12 : 520如图， ABC中, AB= AC ADLBC于 D, AE= EC AD= 18, BE= 15,则厶 ABC勺 面积是.21 如图，直角梯形 ABCDL Ad/ BC ACL AB AD= 8, BC= 10,则梯形 ABCD面积是.22 .如图，已知 AD/ EF/ BC 且 AE= 2EB AD= 8 cm, AD= 8 cm , BC= 14 cm,则S 梯形 AEFD： S 梯形 BCFE= .ADB(三)认真答一答11 .如图，在ABC中,1M是AC边

14、中点，E是AB上一点，且 AE= AB4D,此时 BC： CD%()(B) 3 : 2( C) 3 : 1( D) 5 : 2连结EM并延长，交BC的延长线于(A) 2 : 112如图，矩形纸片 ABCD勺长AD= 9 cm,宽AB= 3 cm，将其折叠，使点 D与点B 重合，那么折叠后 DE的长和折痕EF的长分别为()(A)4 cm、10 cm( B)5 cm、二 10 cm(C)4 cm、2 . 3 cm(D)5 cm、23 cm(二)细心填一填13.已知线段a= 6 cm, b= 2 cm,则a、b、a+ b的第四比例项是 a b的比例中项是cm.卄 a + b b + c a + c2

15、14 若 = = = m,贝K n=.cab15.如图，在厶 ABC中, AB= AC= 27, D在 AC上,且 BD=BC=18, DE BC交 AB于 E, 则 DE=.16 如图，ABCD中, E是AB中点，F在AD上，且AG： AC=Dcm, a+ b 与1AF= FD EF交 AC于 G 则23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角 形请你在图示的10 X 10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加2AAB(2)设 =k，是否存在这样的 k值，使得 AEFA BFC若存在,BC证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由.33.如图：四边

16、形ABCD中,于点线交26.已知：如图，F是四边形ABCD寸角线AC上一点，EF BC FG AD求证:AE CG+ -AB CD30.如图，在 RtAABC中，/ C= 90，BC= 6 cm，CA= 8 cm，动点 P从点 C出发，以 每秒2 cm的速度沿CA AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使Sabc尸丄Saabc?427.如图，BD CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作DGL BC于G分别交 CE及E、F,求证：CD 2BA BC延长线于F、DZ A=Z BCD=90，过 C作对角线BD的垂线交BD AD=DF DA ;如图：若过BD上另一点E作BD的垂G又有什么结论呢？你

17、会证明吗?34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC.BA的延长线于F、H,求证:(1) DG= BG- CG (2) BG- CG= GF- GHH31.如图，小华家(点 A处)和公路(L)之间竖立着一块 35m?长且平 行于公路的巨型广告牌(DE)广告牌挡住了小华的视线，请在图中画岀视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为 BC一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段 BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是 40m,求小华家到公路的距离(精确到1m).AOOCDOO

18、B28.如图，/ ABC=/CDB= 90, AC= a，BC= b(1 )当BD与 a、b之间满足怎样的关系时， AB3A CDB(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点 丘，若厶ABC CDB 求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形)A a c29.如图，在矩形 ABCDh E为AD的中点，EFEC交AB于F,连结FC(AB AE).1) AEF-与 EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说 明理由；32.某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形 ABCD中, AD/ BC对角线AC BD相交于O,试问： AOBFHA DOC是否相似？某学生对上

19、题作如下解答：答： aoba DOC理由如下：在厶 AOBHA DOC中, V AD/ BC,VZ AOB* DOC-A AOBA DOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如 果不正确，请简要说明理由.35.( 1)如图一，等边 ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC 连结 AW 求证：AE/BC ；(2)如图二，将中等边 ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作 EDC 改成相似于 ABC请问：是否仍有 AE/BC ?证明你的结论。37.已知：如图，在正方形 ABCD中, AD= 1 , P、Q分别为AD BC上两点，且 AP=CQ2

20、连结AQ BP交于点E, EF平行BC交PQ于F, AP、BQ分别为方程x _ mx + n = 0的两根.(1)求m的值(2)试用apBQ表示EF(3)若 Spqe =1 ,求n的值838.如图，在平面直角坐标系中，已知向点A以1cm/s的速度移动：度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0乞t乞6 ),那 么(1)设厶POQ的面积为y ,求y关于t的函数解析式。(2) 当厶POQ的面积最大时, POQ沿直线PQ翻折 后得到 PCQ试判断点C是否落在直线AB上, 并说明理由。(3) 当t为何值时， POQfA AOB相似？OA=12cm OB=6cm点P从O点开始沿 OA边点Q

21、从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速39.如图,AE= 16,矩形PQMI内接于 ABC矩形周长为 求厶ABC的面积.24, ADL BC交 PN于 E,且 BC= 10,40.已知：BP交 AC于 E,交 CF于 F.求证：BP = PE- PF.如图， ABC中, AB= AC AD是中线,P是AD上一点，过 C作CF AB 延长类型六、综合探究9.如图，AB/ CD, / A=90 , AB=2, AD=5 P是 AD上一动点(不与 A、D重合), PEL BP, P为垂足,PE交DC于点E ,(1) 设AP=x, DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出 x的取值范围；(2) 请你探索在点P运动的过程中,四边形 ABED能否构成矩形？如果能,求出 AP的长；如果不能，请说明理由.10.如图，在厶ABC中，BC=2 BC边上的高 A