概率论与数理统计第14节全概及逆概公式

1、概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 1.4.1 1.4.1 全概率公式全概率公式 1.4.2 1.4.2 逆概率公式逆概率公式 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 定义定义且且满满足足为为一一个个随随机机事事件件序序列列，设设 n AAA, 21 niAP i , 2 , 1, 0)()1( 两两互斥两两互斥 n AAA,)2( 21 n AAA 21 )3( 为一个完备事件组为一个完备事件组那么，称那么，称 n AAA, 21 也称为也称为 的一个分割的一个分割 1 A 2 A 3 A 1 n An A 样本空间的分割（样本空间的分割

2、（P38P38） 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 21 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号号 装有装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人某人 从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求 取得红球的概率取得红球的概率. 3 引例引例1： 如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？ 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 )()( )()()()()( , , 2211 21 nn n ABPAP ABPAPABPAPBP AAA EBE 则则的的一一个个完完备备事事件件组组

3、为为 的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 一、全概率公式（一、全概率公式（P38P38） 全概率公式全概率公式 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 )()()()( 21 BAPBAPBAPBP n 证明证明BB . 21 BABABA n )()()()()()( 2211nn ABPAPABPAPABPAP 两两互斥两两互斥BABABA n , 21 BAAA n )( 21 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事 件的概率计算问题件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的

4、概率计分解为若干个简单事件的概率计 算问题算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果. 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 全概率公式的使用 我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果， 因因，看看作作该该过过程程的的若若干干个个原原把把 n AAA, 21 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即 n AP 已知已知即即 n ABP 而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知， 则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即求即

5、求 n i ii ABPAPBP 1 )()()( 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 因为因为B 发生总是伴随着发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生之一同时发生 依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随机取一罐，某人从中随机取一罐， 再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率再 从 中

6、 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率 . 21 解解: 记记 Ai = 球取自球取自 i 号罐号罐 i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是是 样本空间的一个分割样本空间的一个分割; B = 取得红球取得红球 3 1 )|()()( i ii ABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得 3 再看引例再看引例1 代入数据计算得：代入数据计算得： 36 23 2 1 4 3 3 2 3 1 )( BP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 因为因为B 发生总是伴随着发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生之一同时发生 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装

7、有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随机取一罐，某人从中随机取一罐， 再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率 . 21 解解 记记 Ai = 球取自球取自 i 号罐号罐 i = 1, 2, 3, A1, A2, A3 是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割; B = 取得红球取得红球 3 1 )|()()( i ii ABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得 3 再看引例再看引例1 概率论与数理统计第1

8、4节全概及逆 概公式 依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 代入数据计算得：代入数据计算得： 36 23 2 1 4 3 3 2 3 1 )( BP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 例例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生，三厂生 产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别 为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这

9、批产品中任取一件 是次品的概率是多少是次品的概率是多少? 设事件设事件 B 为为“任取一件为次品任取一件为次品”, . 3, 2, 1,”“ iiAi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件 , 321 AAA 解解 . 3 , 2 , 1, jijiAA ji 30% 20% 50% , 2 . 0)( , 5 . 0)(, 3 . 0)( 3 21 AP APAP 1 A 2 A 3 A 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 例例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生

10、，三厂生 产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别 为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少是次品的概率是多少? 事件事件 B 为为“任取一件为次品任取一件为次品”, 30% 20% 50% 2% 1% 1% ,02. 0)( 1 ABP,01. 0)( 2 ABP,01. 0)( 3 ABP 1 A 2 A 3 A 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 由全概率公式得由全概率公式得 , 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)( 321 APAPAP )()()()()()()( 3322

11、11 ABPAPABPAPABPAPBP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)( 321 ABPABPABP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 例2 飞机有三个不同的部分遭到射击,在第 一部分被击中一弹,或第二部分被击中2 弹,或第3部分被击中3弹飞机才会被击 落,其命中率和每一部分面积成正比,三 部分面积之比为0.1:0.2:0.7.若已知飞机 中两弹（两弹独立）,求飞机被击落的 概率. 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 解: 部分为第一弹击中第设iA i 将中的两弹分出先后次序 部分为第二

12、弹击中第iBi 3 ,2 , 1i 为飞机被击落设C 1 A 2 A 3 A 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 B C C C C C C C C C 1 1 1 1 1 0 1 0 0 )|()()( 1111 BACPBAPCP )|()( 2121 BACPBAP )|()( 3131 BACPBAP )|()( 1212 BACPBAP )|()( 2222 BACPBAP )|()( 3232 BACPBAP )|()( 1313 BACPBAP )|()( 2323 BACPBAP )|()( 3333 BACPBAP 概率论与数理统计第14节全概

13、及逆 概公式 )|()()( 1111 BACPBAPCP)|()( 2121 BACPBAP )|()( 3131 BACPBAP)|()( 1212 BACPBAP )|()( 2222 BACPBAP)|()( 3232 BACPBAP )|()( 1313 BACPBAP )|()( 2323 BACPBAP )|()( 3333 BACPBAP 07 . 07 . 002 . 07 . 0 11 . 07 . 007 . 02 . 012 . 02 . 0 11 . 02 . 017 . 01 . 012 . 01 . 011 . 01 . 0 事件B的实现有n种途径，在每种途径 下

14、,实现B的概率各不相同,但它们的概 率之和即为P(B),即全概率公式 全概率公 式的本质: 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 例3 某人忘记了电话号码的最后一个数,因而随意 地拨号, 求他在前三次拨通的概率. 1 A 2 A 3 A B B B 解:3 ,2 , 1, iiAi次拨电话代表第设 为拨通电话B 由全概率公式： )|()( )|()()|()()( 33 2211 ABPAP ABPAPABPAPBP 1)( 1 AP)|( 1 ABP 10 1 其中 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 )( 2 AP)|( 2 ABP )( 3 AP)|( 3 ABP 10 9 9

15、 1 9 8 10 9 8 1 )|()()|()()|()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 1 正确吗？ )()( 321 BABABAPBP )()()( 321 BAPBAPBAP )|()()|()()|()( 332211 ABPAPABPAPABPAP 两两互斥 因为 虽然求解过程中用全概率公式错误,但结果仍然正确. 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 全概率公式的另一种提法: 则 n n AAAB AAA 21 21 ,设 n i ii ABPAPBP 1 )|()()( n i ii

16、ABPAPBP 1 )|()()( 为两两互斥的事件组，且事件 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 引例引例2： 某人从任一罐中任意摸出一球某人从任一罐中任意摸出一球,发现是发现是 红球红球,求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率. 213 这是这是一个条件概率一个条件概率问题问题 下面就介绍为解决这类问题而引出的下面就介绍为解决这类问题而引出的 逆概率逆概率 (Bayes)(Bayes)公式公式 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 ., 2 , 1, )()( )()( )( ), 2 , 1( , 0)(, 0)(, ,. 1 2 1 ni ABPAP ABPAP B

17、AP ni APBPAA AEBE n j jj ii i in 则则 且且的的一一个个划划分分为为 的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 称此为逆概率公式或贝叶斯公式称此为逆概率公式或贝叶斯公式. 二、逆概率公式二、逆概率公式(Bayes(Bayes公式公式) )（P39P39） 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 证明证明 )( )( )( BP BAP BAP i i , )()( )()( 1 n j jj ii ABPAP ABPAP ., 2 , 1ni 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯( (Bayes) )给出给出. . 它是在观

18、察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找已发生的条件下，寻找 导致导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. . 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 逆概率公式(Bayes公式)的使 用 我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果， 因，因，看作该过程的若干个原看作该过程的若干个原把把 n AAA, 21 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即 n AP 已知已知即即 n ABP 而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生

19、，要求此时是由第 i 个个 原因引起的概率，则用逆概率公式原因引起的概率，则用逆概率公式 BAP i 即即求求 n j jj ii i ABPAP ABPAP BAP 1 )()( )()( )( 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 逆概率公式(Bayes公式)的使用 我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果， 因，因，看作该过程的若干个原看作该过程的若干个原把把 n AAA, 21 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即 n AP 已知已知即即 n ABP 而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响

20、程度已知， 如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个个 原因引起的概率，则用逆概率公式原因引起的概率，则用逆概率公式 BAP i 即即求求 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 A1, A2, A3是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 某人从任一罐中任意摸出一球某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球发现是红球, 求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率. 再看引例再看引例2 21 解解 记记 Ai

21、 = 球取自球取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 3 1 11 1 )|()( )|()( )|( i ii ABPAP ABPAP BAP由由贝贝叶叶斯斯公公式式得得 3 代入数据计算得：代入数据计算得： 23/8 3623 3231 )|( 1 BAP 3623)( BP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 A1, A2, A3是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割 某人从任一罐中任意摸出一球某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球发现是红球, 求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率. 再看引例再看引例2 21 解解 记记 Ai = 球取自球

22、取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 3 1 11 1 )|()( )|()( )|( i ii ABPAP ABPAP BAP由由贝贝叶叶斯斯公公式式得得 3 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 代入数据计算得：代入数据计算得： 23/8 3623 3231 )|( 1 BAP 3623)( BP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 ; ,)1( . , 05. 0 80. 0 15. 0 03. 0 01.

23、 0 02. 0 3 2 1 :. 概概率率 求求它它是是次次品品的的元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只 无无区区别别的的标标志志 且且仓仓库库中中是是均均匀匀混混合合的的设设这这三三家家工工厂厂的的产产品品在在 提提供供元元件件的的份份额额次次品品率率元元件件制制造造厂厂 的的数数据据根根据据以以往往的的记记录录有有以以下下件件制制造造厂厂提提供供的的 的的元元件件是是由由三三家家元元某某电电子子设设备备制制造造厂厂所所用用例例2 ,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示设设 B)(BP求求 家工厂提供的”家工厂提供的”“所取到的产品是由第“所取到的产品是由第表示表示

24、设设iiAi)3 , 2 , 1( ，的的一一个个分分割割是是样样本本空空间间则则 321 ,AAA ,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)( 321 APAPAP且且 .03. 0)(,01. 0)(,02. 0)( 321 ABPABPABP )()()()( 321321 BABABAPBAAAPBPBP 由由全全概概率率公公式式： 03. 005. 001. 080. 002. 015. 0 ） 332211 ()()()()()(ABPAPABPAPABPAP .0125. 0 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 . , ,)2( 试求这些概率试求这些概率是多少是多少家

25、工厂生产的概率分别家工厂生产的概率分别 需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品 若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只 (2) 由由逆概率公式得逆概率公式得 )( )()( )( 11 1 BP ABPAP BAP 0125. 0 02. 015. 0 .24. 0 ,64. 0)( 2 BAP.12. 0)( 3 BAP .2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第 同理可得同理可得 .0125. 0)(,02. 0)(,15. 0)( 11 BPABPAP 概率论与数理统计第14节

26、全概及逆 概公式 ; ,)1( . , 05. 0 80. 0 15. 0 03. 0 01. 0 02. 0 3 2 1 :. 概概率率 求求它它是是次次品品的的元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只 无无区区别别的的标标志志 且且仓仓库库中中是是均均匀匀混混合合的的设设这这三三家家工工厂厂的的产产品品在在 提提供供元元件件的的份份额额次次品品率率元元件件制制造造厂厂 的的数数据据根根据据以以往往的的记记录录有有以以下下件件制制造造厂厂提提供供的的 的的元元件件是是由由三三家家元元某某电电子子设设备备制制造造厂厂所所用用例例4 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 . , ,)

27、2( 试求这些概率试求这些概率是多少是多少家工厂生产的概率分别家工厂生产的概率分别 需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品 若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只 解解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示设设 B .家家工工厂厂提提供供的的”“所所取取到到的的产产品品是是由由第第表表示示i )3 , 2 , 1( iAi , 321 的的一一个个分分割割是是样样本本空空间间则则 AAA ,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)( 321 APAPAP且且 .03. 0)(,01. 0)(,02.

28、 0)( 321 ABPABPABP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 (1) 由由全概率公式得全概率公式得 )()()()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP .0125. 0 (2) 由由逆概率公式得逆概率公式得 )( )()( )( 11 1 BP ABPAP BAP 0125. 0 02. 015. 0 .24. 0 ,64. 0)( 2 BAP.12. 0)( 3 BAP .2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 ? , .%95, .%55, ,%98, , 概概率率是是

29、多多少少 机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格 试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时 每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时 而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时 当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表 解解,“产产品品合合格格”为为事事件件设设 B .“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件A 则有则有,55. 0)(,98. 0)( ABPABP 例例3 ,05. 0)(,95. 0)( APAP )(BAP求求 )()

30、()()(BAABPBAAPBPBP 由全概率公式：由全概率公式： )()(BAPABP )()()()(ABPAPABPAP 55. 005. 098. 095. 0 9585. 0 由由逆概率公式得所求概率为逆概率公式得所求概率为 )( )()( )( BP ABPAP BAP 97. 0 9585. 0 98. 095. 0 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 ? , .%95, .%55, ,%98, , 概概率率是是多多少少 机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格 试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时 每

31、每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时 而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时 当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表 解解,“产产品品合合格格”为为事事件件设设 B .“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件A 则有则有,55. 0)(,98. 0)( ABPABP 例例5 ,05. 0)(,95. 0)( APAP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 由由逆概率公式得所求概率为逆概率公式得所求概率为 )()()()( )()( )( ABPAPABPAP ABPAP BAP 55. 005.

32、098. 095. 0 98. 095. 0 .97. 0 .97. 0 , 整良好的概率为整良好的概率为 此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫 做先验概率做先验概率.（P39） 叫做后验概率叫做后验概率.（P39） 先验概率与后验概率先验概率与后验概率 95. 0)( AP 97. 0)( BAP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 后验概率后验概率 逆概率公式逆概率公式(Bayes(Bayes公式公式) ) 先

33、验概率与后验概率的关系先验概率与后验概率的关系 n j jj ii i ABPAP ABPAP BAP 1 )()( )()( )( 先验概率先验概率 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 ).(,005. 0)( ,005. 0, .95. 0)(,95. 0)( , : , ACPCP CAPCAP C A 试求试求即即 的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查 现在对自然人群现在对自然人群有有 则则有癌症”有癌症”表示事件“被诊断者患表示事件“被诊断者患以以为阳性”为阳性” 表示事件“试验反应表示事件“试验反应若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果

34、某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解 ,005. 0)( CP依题意依题意 )(CP 例例4 )(CAP而而 )()()()( )()( )( CAPCPCAPCP CAPCP ACP ,95. 0)( CAP 05. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人 患有癌症患有癌症. ,995. 0 ,05. 0)(1 CAP )()()()( )()( )( )( )( CAPCPCAPCP CAPCP AP ACP ACP 概率论与数理

35、统计第14节全概及逆 概公式 ).(,005. 0)( ,005. 0, .95. 0)(,95. 0)( , : , ACPCP CAPCAP C A 试求试求即即 的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查 现在对自然人群现在对自然人群有有 则则有癌症”有癌症”表示事件“被诊断者患表示事件“被诊断者患以以为阳性”为阳性” 表示事件“试验反应表示事件“试验反应若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果 某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解 ,005. 0)( CP依题意依题意 ,995. 0)( CP 例例6 ,05. 0)(

36、1)( CAPCAP而而 ,95. 0)( CAP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 由由逆概率公式得所求概率为逆概率公式得所求概率为 05. 0995. 095. 0005 . 0 95 . 0 005. 0 )()()()( )()( )( CAPCPCAPCP CAPCP ACP .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人 患有癌症患有癌症. 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 每每100件产品为一批件产品为一批, , 已知每批产品中次品数已知每批产品中次品数 不超过不超过4件件, , 每批产品中有每批产品中有i 件

37、次品的概率为件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取从每批产品中不放回地取10件进行检验件进行检验, ,若发现有若发现有 不合格产品不合格产品, ,则认为这批产品不合格，否则就认为则认为这批产品不合格，否则就认为 这批产品合格这批产品合格. 求求 ( (1) ) 一批产品通过检验的概率；一批产品通过检验的概率； ( (2) ) 通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率. 例例7 设一批产品中有设一批产品中有i 件次品为事件件次品为事件Ai , i = 0,1,4 B 为一批产品通过检验为一批产品通过

38、检验 )(BP求求 4 , 3 , 2 , 1 , 0, )( iBAP i 求求 由全概率公式与由全概率公式与Bayes 公式可计算公式可计算P( B )与与 4 , 3 , 2 , 1 , 0),( iBAP i 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 解解 设一批产品中有设一批产品中有i 件次品为事件件次品为事件Ai , i = 0,1,4 B 为一批产品通过检验为一批产品通过检验 已知已知P( Ai )如表中所示，如表中所示， 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)( 10 100 10 100 i C C ABP i i A0, A1, A2 , A3, A4是样本空间的一个分割是

39、样本空间的一个分割 且且 i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 )( i ABP 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 )( i ABP )(BAP i 814. 0)()()( 4 0 i i i ABPAPBP 4 , 3 , 2 , 1 , 0, )( )()( )( i BP ABPAP BAP ii i （1） 一批产品通过检验的概率；一批产品通过检验的概率； （2） 通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率. i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 概率论与数理统计第

40、14节全概及逆 概公式 每每100件产品为一批件产品为一批, , 已知每批产品中次品数已知每批产品中次品数 不超过不超过4件件, , 每批产品中有每批产品中有i 件次品的概率为件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取从每批产品中不放回地取10件进行检验件进行检验, ,若发现有若发现有 不合格产品不合格产品, ,则认为这批产品不合格，否则就认为则认为这批产品不合格，否则就认为 这批产品合格这批产品合格. 求求 ( (1) ) 一批产品通过检验的概率；一批产品通过检验的概率； ( (2) ) 通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有

41、 i 件次品的概率件次品的概率. 例例7 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 解解 设一批产品中有设一批产品中有i 件次品为事件件次品为事件Ai , i = 0,1,4 B 为一批产品通过检验为一批产品通过检验 4 , 3 , 2 , 1 , 0, , 4 0 jijiAA AB ji i i 则则 已知已知P( Ai )如表中所示，且如表中所示，且 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)( 10 100 10 100 i C C ABP i i 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 结果如下表所示结果如下表所示 )( i ABP )(BAP i 814. 0)()()( 4 0 i

42、 i i ABPAPBP 4 , 3 , 2 , 1 , 0, )( )()( )( i BP ABPAP BAP ii i i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 例例8 (软件包维护问题) 假如要维护一个有3个配置选项的软 件包。其中用户用到A项的有40%，用到B项的有30%，用到 C项的有30%。假定用户每个时刻只能使用一种选项。通过 对该软件包支持经验的不断积累，发现A项用户的出现问题 的概率是0.5%，B项用户是0.75%，C项用户是0.95%。问维 护的人力应该投向哪个选项？ 解解 假设每个选项可能导

43、致的技术支持请求的百分比是一样 的，显然应该对发生支持请求用户数最多的那个选项集中人 力对其加以改进。 由贝叶斯公式得 P(A)P(|A) P(A |) = P(A)P(|A)+ P(B)P(| B)+ P(C)P(|C) 问题 问题 问题问题问题 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 已知P(A)=40%，P(B)=30%，P(C)=30%，P(问题|A)=0.5%， P(问题|B)=0.75%， P(问题|C)=0.95%，于是有 比较三个结果可知，维护的人力应投向C项。 0.40.005 P(A |) = 0.40.005+0.30.00750.30.0095 0.002 0.281

44、728% 0.0071 0.30.0075 P(B|) = 0.40.005+0.30.00750.30.0095 0.00225 32% 0.0071 0.30.0095 P(C |) = 0.40.005+0.30.00750.30.0095 0.00285 0.007 问题 问题 问题 40% 1 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 贝叶斯公式可作如下解释：假定有n个两两互斥的“原 因”A1,A2,An可引起同一种“现象”B发生，若该现象已 发生，利用贝叶斯公式可算出由某一个原因Aj(j=1,2, ,n) 所引起的可能性有多大。如果能找到某个Aj，使 P(Aj|B)=maxP(Aj

45、|B) (1jn) 则Aj就是引起“现象”B的最大“原因”。 上述结论有诸多应用，如可用于公安机关破案警力的 配备，垃圾邮件的过滤和计算机网络防火墙的设计等方面 的参考。 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 练习1 用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺癌患者通 过检查被确诊的有98，而未患肺癌者经检查有99%可正确 诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的 工业区，估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查， 试求： (1)若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率； (2)若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率 (3)解释以上结论的意义。 解：设A=此人确实患肺癌 B=

46、此人被诊断为患肺癌 P(B|A)0.98 P(B|A)0.99 P(A)0.03 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 (1) 若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率 (2) 若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率 P(AB)P(A)P(B|A) P(A|B) P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 0.03 0.98 0.7520 0.03 0.980.97 0.01 P(AB)P(A)P(B|A) P(A|B) P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 0.03 0.02 0.0006 0.03 0.020.97 0.99 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 (3) 解释以上结论的意义: 则实际未患癌的可能性有近1/4。应不要太紧张，可作 进一步检查。 对未被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率0.0006, 则实际未患此病的概率是：0.9994，可以相信未患癌症 的检查结果。 概率论与数理统计第14节全概及逆 概公式 )( )( )( AP ABP ABP 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 小结 1122 ( )() ()() ()(