分讲--椭圆典型题型归纳

1、分讲-椭圆典型题型归纳 椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆C:(x+4)2+y2=100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心M的轨迹方程；例2.方程=x+2所表示的曲线是练习：1.=6对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.=10对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.10成立的充要条件是（ ）x2y2x2y2x2y2x2y2+=1 B.+=1 C. +=1 D. +=1 A.251625916259254.=m+1表示椭圆，则m的取值范围是5.过椭圆9x2+4y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆相交于A,B两点，则

2、A,B两点与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长等于；6.设圆(x+1)+y=25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段22AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线x2y2+=1的曲线是到定点的例1.方程1625点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程wwW例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2(，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点

3、的椭圆方程；x2y2x2y2+2=1(k-b2)；注：一般地，与椭圆2+2=1共焦点的椭圆可设其方程为2aba+kb+k（四）定义法求轨迹方程；1,0),1(,0)C例5.在ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B(-且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；，求满足bacx2+y2=1上任一点，求AQ的中点M的轨迹例6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆4方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A,B两点，点P是直线l上满足PAPB=1的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为F的

4、椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1，求此椭圆的方程； 2题型三.焦点三角形问题5x2y2+=1上一点P的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F1，例1.已知椭圆31625求PF1、PF2及cosF1PF2；题型四.椭圆的几何性质5x2y2例1.已知P是椭圆2+2=1上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，3ab椭圆的半焦距为c，则PF1PF2的最大值与最小值之差为x2y2例2.椭圆2+2=1(ab0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰ab好过焦点，则椭圆的离心率为 ；1x2y2+=1的离心率为，则k= ； 例3.若椭圆2k+14x2y20例4.

5、若P为椭圆2+2=1(ab0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2=15，abPF2F1=750，则椭圆的离心率为题型五.求范围x2y2例1.方程2+=1表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围；m(m-1)2题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程=x+y+2所表示的曲线是例2.求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为1的椭圆的左顶点的轨迹方程； 25x2y2+=1上有一点P，它到左准线的距离等于，那么P到右焦点的距离为 例3.椭圆2259x2y2+=1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到例4已知椭圆43左准线的距离为它到两焦点F1,F2距离的等比中项，若能找到

6、，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。x2y2+=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是例5已知椭圆95椭圆上一点求PA+题型七.求离心率3PF2的最小值及对应的点P的坐标 2x2y2例1. 椭圆2+2=1(ab0)的左焦点为F1(-c,0)，A(-a,0)，B(0,b)是两个顶点，ab如果F1到直线AB，则椭圆的离心率e= x2y2例2.若P为椭圆2+2=1(ab0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2=，abPF2F1=2，则椭圆的离心率为例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1PQ，且PF1=，则椭圆的离心率为题型八

7、.椭圆参数方程的应用x2y2+=1上的点P到直线x-2y+7=0的距离最大时，点P的坐标例1. 椭圆4322例2.方程xsin-ycos=1(0题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当m为何值时，直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离？例2.曲线2x2+y2=2a2（a0）与连结A(-1,1)，B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。例3.过点P(-3, 0)作直线l与椭圆3x2+4y2=12相交于A,B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。22例4.求直线xcos+ysin=2和椭圆x+3y=6有公共点时，的取值

8、范围(0)。（二）弦长问题例1.已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为4，求点A的坐标。 3例2.椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2，求a,b的值。 2x2y2+=1的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A,B两点，若例3.椭圆4520ABF2的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程x2y2+=1，过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例1.已知椭圆 164例2.已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A,B两点，

9、弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程；例3. 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=圆E相交于A,B两点，且C分有向线段AB的比为2. （1）用直线l的斜率k(k0)表示OAB的面积； （2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程2,过点C(-1,0)的直线l与椭3x2y2+=1上的三点，F为椭圆的左焦点，例4.已知A(x1,y1),B(1,y0),C(x2,y2)是椭圆43且AF,BF,CF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题x2y2+=1，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线例1.已知椭圆43y=4x+m对称；例

10、2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率e=线l，使l与椭圆交于不同两点A,B，且线段AB恰被直线x=-线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。2，试问是否存在直31平分？若存在，求出直2题型十.最值问题 例1若P(-2,x2y2+=1，F2为椭圆2516的最大值和最小值。分析：欲求MP+MF2的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义MF2=2a-MF1, F1为椭圆的左焦点。x2y2结论1：设椭圆2+2=1的左右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为ab椭圆上任意一点，则MP+MF2的最大值为2a+PF1,最小值为2a-PF1；

11、x2y2+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF2的例2P(-2,6),F2为椭圆2516最大值和最小值。x2y2结论2设椭圆2+2=1的左右焦点分别为F1,F2，P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为ab椭圆上任意一点，则MP+MF2的最大值为2a+PF1，最小值为PF2;2.二次函数法x2y2例3求定点A(a,0)到椭圆2+2=1上的点之间的最短距离。 ab分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为x,y的函数求最小值。x2y2结论3：椭圆2+2=1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用ab两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在

12、椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法x22例4求椭圆2+y=1上的点M(x,y)到直线l:x+2y=4的距离的最值； 4x2y2结论4：若椭圆2+2=1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的ab参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。x2y2+=1的右焦点，点M在该椭圆上移动时，例5.已知定点A(-，点F为椭圆1612求AM+2MF的最小值，并求此时点M的坐标；（第二定义的应用）x2y2+=1的左、例3已知F1、F2分别为椭圆右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2,-6)，10064P为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）PM+5PF2的最小值； （2）PM+PF2的取值范围 3题型十一.轨迹问题例1到两定点(2,1)，(-2,-2)的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )A 椭圆 双曲线 直线 线段例2已知点A(3,0)，点P在圆x2+