向量组的线性相关性

1、2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 n2211 n kkk 称为向量组 A 的一个线性组合 线性组合：线性组合： 给定向量组 A： 对于任何一组实数 表达式 n21 ， n2211 n n kkk, 21 线性表示线性表示：给定向量组 A： 和向量 ，如果存 在一组实数 1, 2, , n ，使得 n21 ， 则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量 组A 线性表示 回回 顾顾 ( )( ,)r Ar A 向量向量 能由能由 向量组向量组 A 线性表示线性表示 线性方程组线性方程组 Ax = 有解有解 P.110 定理定理4.1 的结论：的结论： 12n 000由于零向量

2、可由向量组由于零向量可由向量组A线性表示：线性表示：0 ( )r An n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解有非零解 ( )r An n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax =0 只有零解只有零解 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定义：定义：给定向量组给定向量组 A： ，如果存在，如果存在不全为零不全为零的的 实数实数 k1, k2, , kn ，使得，使得 （零向量）（零向量） 则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的，否则称它是的，否则称它是线性无关线性无关的的 12n , 1122nn kkk 1122nn kkk 当且仅当当且仅当k1 = k

3、2 = = kn =0 时，才有时，才有 线性无关：线性无关： 向量组线性相关性的判定定理向量组线性相关性的判定定理 m维向量组维向量组 A： 线性相关线性相关 存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , kn ，使得，使得 （零向量）（零向量） n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解 矩阵矩阵A = 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 n 即：即：r(A)n 12n , 1122nn kkk 12n 向量组线性无关性的判定定理向量组线性无关性的判定定理 m维向量组维向量组 A： 线性无关线性无关 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0

4、 只有只有零解零解 矩阵矩阵A = 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 n 即：即：r(A)=n 12n , 12n 如果如果 （零向量）（零向量），则必有，则必有 k1 = k2 = = kn =0 1122nn kkk 推论推论 已知m维向量组 A： ,矩阵 12n , (1)若向量的维数少于向量的个数，即mn，则 向量组A线性相关 (2)若向量的维数等于向量的个数，即m=n，则 12n ,A 0 0 A A n维向量组A线性相关 n维向量组A线性无关 特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关 例1、已知向量组 21 -3rr 41 -5rr 2 1 5 r 34 11 , 36

5、rr 32 -rr 42 -rr ( )23r An 123 , 向量组 线性相关 例2、已知向量组 21 -3rr 41 -rr 42 +2rr 23 -3rr ( )3r An 向量组 线性无关 123 , 一些特殊向量组的线性相关性一些特殊向量组的线性相关性 1、单个向量的向量组 (1)若 其次线性方程组 有非零解k=1 单个零向量线性相关 k (2)若 其次线性方程组 仅有零解k=0 单个非零向量线性无关 k 2、两个向量的向量组 12 , (1)若 线性相关，则存在不全为零的数 使得 1122 kk 12 ,kk 12 , 1 0k 2 12 1 k k 不妨令 ，可得： 对应分量成

6、比例的两个向量线性相关 (2)若 对应分量不成比例，则齐次线性方程组 不可能有非零解，否则，假设 可得： (成比例，矛盾) 1122 kk 12 , 1 0k 2 12 1 k k 3、含有零向量的向量组 1n , l 已知向量组A: ，若向量 l 齐次线性方程组 有非零解 11llnn kkk 含有零向量的向量组线性相关 对应分量不成比例的两个向量线性无关 1 0 1 0 l n k k k 由于齐次线性方程组 1122nn kkk即 12 1000 0100 0010 n kkk 仅有零解 n维基本单位向量组线性无关 4、n维基本单位向量组 12n , 1 1 0 0 2 0 1 0 0

7、0 1 n 向量组线性相关性的性质向量组线性相关性的性质 性质1、 1122nn kkk 12n , 仅有零解k1 = k2 = = kn =0 12n , 维向量组 , 12n , ，则向量组 线性无关 , 12n , 低维线性无关 高维线性无关 例3： 性质2、考虑向量组 ，如果部分组 11n , (1) ll ln 1,l 线性相关，则齐次线性方程组 1122ll kkk有非零解 因而，齐次线性方程组 1111nlllln kkkk 也有非零解 所以向量组 也线性相关 11n , ll 部分相关 整体相关，整体无关 部分无关 例4、 分析： 性质3、已知向量组 ，若其中至少有一个向量能表

8、示成其余向量 的线性组合，不妨假设 12n , 12020nn kk 则其次线性方程组 有非零解 1122n 0 n kkk 向量组 线性相关 12n , 反之，若向量组 线性相关 ，则齐次线性方程组有非零解 12n , 即 1012020nn kkk 因为 不全为零，不妨假设 ，则有 10200 , n kkk 10 0k 200 12n 1010 n kk kk 即：至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合 向量组线性相关等价于其中至少有一个向量能表示成 其余向量的线性组合 性质4、已知向量组 线性相关，且部分组 线性无关，则向量 一定能由部分组 线性表示 12n , 12n , 12n , 分析： 12n , 向量组 线性相关 1122nn kkkk 12n , ,k kk( 不全为零） 12n , 又因为向量组 线性无关 所以：0k 否则向量组 线性相关 12n , 例5、已知向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关 , , , 123 ()()()kkk证明：齐次线性方程组 131223 ()()()