青岛版九年级上第3章圆复习

1、 知识网络图知识网络图 圆圆 圆的对称性圆的对称性 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 正多边形和圆正多边形和圆 弧长与扇形面积弧长与扇形面积 轴对称轴对称 同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系切线切线 切线的判定定理切线的判定定理 弧长弧长 扇形面积扇形面积 中心对称中心对称 垂径定理垂径定理 弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系 正多边形的有关概念正多边形的有关概念 正多边形的性质正多边形的性质 确定圆的条件确定圆的条件 三角形的外接圆三角形的外接圆 圆周角圆周角 圆周角定理及其推论圆周角定理

2、及其推论 切线的性质定理切线的性质定理 切线长定理切线长定理 三角形的内切圆三角形的内切圆 一、一、垂径定理垂径定理 O AB C D M AM=BM, 若若 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平分并且平分 弦所的两条弧弦所的两条弧. . 注意：注意：垂径定理垂径定理直角三角形直角三角形 (1)直径（过圆心的线）（直径（过圆心的线）（2）垂直弦）垂直弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分劣弧（）平分劣弧（5）平分优弧）平分优弧 知二得三知二得三 O AB CD 1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆

3、心的同侧 O AB CD 2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧 例例 OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ . . 2cm 或或14cm 练练 习习 1 1、如图，、如图，CDCD为为OO直径，直径， 弦弦ABCDABCD于点于点E E， CE=1CE=1，AB=10AB=10， 则则CD=CD= . . . AB D E O 2 2、如图、如图,M,M与与x x轴相交轴相交 于点于点A(2,0)A(2,0)，B(8,0),B(8,0), 与与y y轴相切于点轴相切于

4、点C,C, 则圆心则圆心M M的坐标是的坐标是 . . C C 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条两条 弧弧, ,两条弦两条弦中有一组量相等中有一组量相等, ,那么它们所对应的那么它们所对应的 其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等. . O A B D AB D 二、圆心角、弧、弦的关系二、圆心角、弧、弦的关系 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 O AB C O B A C D E O AB C 圆周角定理圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。

5、圆心角的一半。 推论推论1：圆周角的度数等于它所对：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。弧的度数的一半。 推论推论2：同弧或等弧上的同弧或等弧上的圆周角相等；再同圆或等圆中，圆周角相等；再同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等。相等的圆周角所对的弧相等。 推论推论3：直径直径所对的圆周角是所对的圆周角是直角直角； 90的圆周角的圆周角 所对的弦是所对的弦是直径直径。 推论推论4：圆内接四边形的：圆内接四边形的对角互补。对角互补。 任意一个外角都等于它的内对角。任意一个外角都等于它的内对角。 。 1 1、如图、如图1 1，ABAB是是OO的直径，的直径，C C为圆上一点，弧为圆上一点，弧AC

6、AC度数为度数为6060， ODBCODBC，D D为垂足，且为垂足，且OD=10OD=10，则，则AB=_AB=_，BC=_BC=_； 2 2、 如图如图2 2，OO中弧中弧ABAB的度数为的度数为6060，ACAC是是OO的直径，那么的直径，那么 BOCBOC等于等于 ( )( )； A A150150 B B130130 C C120120 D D6060 3 3、在、在ABCABC中，中，AA7070，若，若O O为为ABCABC的外心，的外心，BOC=BOC= ；若；若O O为为ABCABC的内心，的内心，BOC=BOC= 图图1图图2 A B C D O 4.已知已知, ABC内接

7、于内接于 O, ADBC于于D,AC=4,AB=6, AD=3,求求 O的直径。的直径。 证明证明: :作作 O O的直径的直径AE,AE, 连接连接BE,BE,则则C= E, C= E, ADC= ABE, ADC= ABE, ABE ABE ADC, ADC, AD/AB=AC/AE, AD/AB=AC/AE, 即即AE=ABAE=ABAC/AD=8, O的直径为的直径为8 8 分析分析: :解决此类问题时解决此类问题时, ,我们我们 通常作出直径以及它所对的通常作出直径以及它所对的 圆周角圆周角, ,证明证明ABEADC.ABEADC. B B C C A A . .O O . 证明一：

8、连接AC、BC AC=CECAE=CBA， 又CDABCDAB ACB=CDB=90， ACD=CBA=CAF， AF=CF 5.5.已知，如图，已知，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，C C为为AE AE 的的 中点，中点，CDABCDAB于于D D，交，交AEAE于于F F。求证：。求证：AF=CFAF=CF 分析:要正线段相等,通 常是证明两角相等或三 角形全等。该题是证两 角相等。 A F CE B D 证明二：延长证明二：延长CDCD交交 OO于于G,G,连接连接ACAC G ABAB是是OO的直径，的直径， CDABCDAB， AG=AC=CEAG=AC=CE， CAE= CA

9、E= GCAGCA， CF=AFCF=AF .p .o r .o .p .o .p 四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系 Opr 点点p在在 o内内 Op=r 点点p在在 o上上 Opr 点点p在在 o外外 1、M是是 O内一点，已知过点内一点，已知过点M的的 O最长的弦为最长的弦为10 cm， 最短的弦长为最短的弦长为8 cm，则，则OM=_ cm. 2、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，A B C D可以是可以是 （ ） A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3 1 1、直线和圆相交、直线和圆相交 nd d r;r; nd d r;r; 2

10、 2、直线和圆相切、直线和圆相切 3 3、直线和圆相离、直线和圆相离 nd d r.r. 五五. .直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 O O 相交相交 O 相切相切 相离相离 rrr d d d 切线的判定定理切线的判定定理 定理定理 经过半径的外端经过半径的外端, ,并且垂直于这条半径的并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线直线是圆的切线. . C D O A 如图如图 OAOA是是OO的的半径半径, , 且且CDOACDOA, , CDCD是是OO的切线的切线. . （）定义（）定义 （）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r （）（）切线的判定定理：切线的判定定理：经

11、过半径的外端经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用 1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要要 作出过这一点的半径作出过这一点的半径，再证明直线垂直再证明直线垂直 于这条半径即可；于这条半径即可； 2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要 作出圆心到直线的垂线段作出圆心到直线的垂线段，再证明这条再证明这条 垂线段等于半径即可垂线段等于半径即可 切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径. . CDCD切

12、切OO于于, , OA OA是是OO的半径的半径 CD O A CDOA. 1、两个同心圆的半径分别为、两个同心圆的半径分别为3 cm和和4 cm，大圆的，大圆的 弦弦BC与小圆相切，则与小圆相切，则BC=_ cm； 2、如图、如图2，在以，在以O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦中，大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，P为切点，为切点， 设设AB=12，则两圆构成圆环面积为，则两圆构成圆环面积为_； 3、下列四个命题中正确的是（、下列四个命题中正确的是（ ） 与圆有公共点的直线是该圆的切线与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； 垂直于圆的垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线半径

13、的直线是该圆的切线 ； 到圆心的距离等于半径到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线的直线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，垂直于此过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线直径的直线是该圆的切线 A. B. C. D. A B P O 三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点 三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点 到三角形各边的到三角形各边的 距离相等距离相等 到三角形各顶点到三角形各顶点 的距离相等的距离相等 锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内部内部, , 直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点斜边的中点,

14、 , 钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外部外部. . A B C O A B C C A B OO 三角形的外心是否一定在三角形的内部？三角形的外心是否一定在三角形的内部？ 从圆外一点向圆所引的两从圆外一点向圆所引的两 条切线长相等。条切线长相等。 A B P O 1 2 A BC O D E F A BC O O D E F . 2 1 cbarS . 2 cba r 切线长定理切线长定理 n直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆 半径与三边关系半径与三边关系. n三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积. PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1.如图：圆

15、如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的圆，则这条弦所对的圆 心角是心角是,圆周角是圆周角是. O B A 60度度30或或150度度 C D C A O B 2：已知：已知A、B、C三点在圆三点在圆O上，连接上，连接 AO、CO， AB、BC 如果如果 AOC=140 ， 求求 B的度数的度数 3.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距离最长上一点的距离最长 为为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的半径为的半径为 _. D 解：在优弧AC上定一点D， 连结AD、CD. AOC=140 D=70 B=180 70 =110 2或或4cm 4.已知：如图，已知：如图， A

16、BAB、ACAC与与OO相切于点相切于点B B、C C， A=50A=50，P P为为OO上异于上异于B B、C C的一个动点，的一个动点， 则则BPC BPC 的度数为的度数为 （ ） A.40 B.65 C.115 D.65 或或115 分析：在解决此问题时分析：在解决此问题时,应注意点应注意点P为一为一 动点动点,它可能在劣弧它可能在劣弧BC上上,也可能在优弧也可能在优弧 上，连接上，连接OB、OC得直角得直角,即可求解。即可求解。 P O B B A C . 65 P 115 D 练练 习习 1.1.已知圆心已知圆心O到直线到直线a的距离为的距离为5,圆的半圆的半 径为径为r,当当r=

17、_时时,圆圆O与与a相切相切. 2.2.如图圆如图圆O切切PB于点于点B, PB=4,PA=2,则圆则圆O的的 半径是半径是_. O A B P 3.如图如图PA,PB,CD都是圆都是圆O 的切线的切线,PA的长为的长为4cm,则则 PCD的周长为的周长为_cm A B C D O P . 1.正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n n边形共有边形共有n n 条对称轴。条对称轴。 正多边形有关的性质正多边形有关的性质 2.正多边形各条对称轴相交于一点，这点到正多正多边形各条对称轴相交于一点，这点到正多 边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相 等等 3.任何任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边