FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考虑

1、FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 有限单元法应用中的若干实际考虑 建立有限元计算模型应遵循的一般原则。 采用基于最小位能原理的位移元进行有限元 分析所得应力结果的性质及其近似性的表现 常用的几种改善应力结果的方法。 重点和应掌握的内容 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 Wilson非协调元的特点和分片试验的意义 及实施方法 子结构方法的特点、使用条件和实施步骤 有限元建模中有效利用结构对称性和周期 性的方法和实施步骤。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 分析过程的有效性分析过程的有效性 计算结果的可靠性计算结果的可靠性 .1 .1 单元选取与网格划分单

2、元选取与网格划分 有限元方法的两大核心有限元方法的两大核心 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 一一. .单元类型和形状的选择单元类型和形状的选择 需要考虑： 问题的维数：一、二、三维 单元类型： 实体单元 结构单元（梁、板、壳单元） 根据工程中的问题，解决的办法：根据工程中的问题，解决的办法： FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 单元形状 单元阶次 三角形单元比较适合不规则形状 四边形比较适合规则性状 与求解域内应力变化特点有关 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 例题：如图是一悬臂梁， E=10MPa ，=0.3， L/B=100，端部有一集中力P=10

3、KN作用。计算精 度与单元网格划分及网格畸变间的关系。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 此悬臂梁在端部的垂直位移需要考虑横向剪切 的影响，可按弹性力学解出： 3 6 40.034.03 35 PLPL v EIGA FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 单元（T：三角形 Q：矩形） NDL 单元自 由度数 模型积分点数 T3（CST）6位移模型1 T6（LST）12位移模型3 Q48位移模型22 Q816位移模型33 Q4WT （Wilson,Taylor） 8位移非协调 模型 22 Q4PS （Pian,Sumihara） 8应力杂交元22 T3、Q4的自由度为16

4、，T6的自由度为42，Q8的自由度为36。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 网格划分：M1至M5， 三角形单元数是矩形单元数的2倍 网格M5，T3、Q4的自由度为16，T6的自由度为42， Q8的自由度为36。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 3 6 40.034.03 35 PLPL v EIGA FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 NDLT：总自由度数 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 网格划分与计算结果 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 二、网格的划分的考虑 1. 网格

5、疏密的布置 对于解有局部集中现象，加密网格 在原网格中进行重分析。即，局部分析。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 采用自适应分析方法 即：对前一次分析进行误差估计。 若误差超过规定，再由程序自动加密网格， 或提高单元阶次后进行重分析，直至满足精 度要求。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 三种方法： P格式 H格式 混合格式 三项关键技术：三项关键技术： 误差判断误差判断 单元升阶单元升阶 网格再生成网格再生成 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 结点 (a) 集中载荷 结点 (b) 分布载荷的突变 不连续处的网格自然划分 FE-Ch05.1-3有限元

6、应用中的实际考 虑 结 点 线 材料 材料 结点线 (c) 板厚度的突变 (d) 材料性质的突变 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 三、疏密网格的过渡 (a) 采用形状不规则的单元过渡 不同密度划分网格过渡 缺点：可能因单元形状不好而影响局部精度。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 (b) 采用三角形单元过渡 不同密度划分网格过渡 不足之处：可能因引入不同形式的单元而 带来不便。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 (c) 采用多点约束方程过渡 不同密度划分网格过渡 需引入约束方程： 213 1 () 2 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑

7、区域III 区域II 例如：图示，区域I已经用5个4边形4节点单元离散， 区域III已经用2个4边形7节点Serendipity单元离散。 要求采用适当的单元离散方法将区域II与区域I和区域 III正确地连接起来。要求说明所采用单元的类型。 区域I FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 方案1：采用三角形与四边形等参单元过渡 区域II 区域I 区域III FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 方案2：采用形状不规则的四边形等参单元过渡 区域I 区域II 区域III FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 方案3：采用四边形等参元附加多点约束方程过渡。其 中：表示4边

8、形5节点Serendipity过渡单元 区域II 区域I 区域III a b c d e f g h 约束方程：ub=(ua+uc)/2; ud=(ue+uc)/2; ug=(uf+uh)/2 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 四、无限域问题 例如：设备的基础问题，是半无限域的地基 的局部承载设备的自重和工作载荷。 此问题可以采用无限元来分析。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 5.2 应力近似解的性质与处理 ,uuu 分析： * 1 () 2 TTT p VVS uD dVu fdVu TdS 1 ()()()() 2 TTT VVS DdVuufdVuu TdS

9、 真位移实 位移近似解 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 * 1 () 2 TTT p VVS uD dVu fdVu TdS TTT VVS DdVu fdVu TdS 1 2 T V DdV ( ) p u p 2 p FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 故，得到： * 1 ()( )()() 2 T pp V uuDdV 需考虑 的极小值问题。 2 p 2 1 11 ( , )()()()() 22 e T M T p e V V DdVDdV 同样有： 2 1 1 ( ,)()() 2 e T M p e V CdV 不变量 FE-Ch05.1-3有限元应用中

10、的实际考 虑 显然求 的极小，即：求位移变分 所引起的应变能为极小值的问题； * () p uu 或求应力 或应变 的加权二乘最小。 应变、应力近似解的性质： 它们是真实应变和真实应力在加权最小二乘 意义上的近似解。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 5. 子结构子结构 (Substructures) 子结构可以看作一个超级单元(Sup-element)， 它本身可以是一些有限元组成，也可以是由 下一级的子结构构成。 有限元基本子结构 一级子结构整体结构 同级子结构之间交界面上的结点自由度：外部自由度 内部自由度 E a I a FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 例

11、如，对一个实际物体按照3维问题进行 离散处理 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 当实际物体太大，可以考虑先离散成子结 构(Substructures)，用超级单元处理 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 一.子结构法的理论根据： 1. 最小位能原理： 1 2 TTeTTe p ee aG K GaaG P 不失一般性，考虑仅有一级子结构， 上述位能泛函可以写成： 1 () 2 TTTeT pwew we aGG K G G aa P w K () TTe we we PGG

12、 P wTe e e PG P FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 转化矩阵： T w G T e G 表示了单元内结点编号和子结构内结点编号的关系。 表示了子结构内结点编号和整体结构内结点编号的关系。 首先可以对子结构集成方程： www K aP FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 2.子结构集成方程的讨论 将子结构中自由度 分离为 和 E a I a w a 相应的方程可写为： II IIIE EE EIEE aPKK PKK i) 与内部自由度有关的项 IIIEEII KKKP 已集成完毕。 内部结点与子结构以外的任何单元不相联, 所以相应的项不受其它结构的影响.

13、 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 ii) 尚未集成完毕 EEE KP iii) 由前面讨论过的Gauss消去法的特点，可以 边集成边消元。 a) 元素集成完毕的行可以作为消元行。 b) 被消元行元素可以没有集成完毕，集成与 消元可以同时进行，这里我们可以先用 的有关行进行消元。 I a 我们叫做内部自由度的凝聚 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 二.内部自由度的凝聚 由第一组方程，可解出： 1 () IIIIIEE aKPK a 代入第二组方程得： 11 () EEEIIIIEEEEIIII KK KKaPK KP 或： * EEEE KaP ( * ) FE-C

14、h05.1-3有限元应用中的实际考 虑 1. 对总体方程的贡献仅外部自由度有关项 因为内部自由度已经消元完毕，没有必要 再在总刚中出现，因此大大降低了总刚的 自由度数。 由总体方程可解出 得到每一个子结构的E a a FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 2. 由(*)式可以计算 ，并计算各单元应力。 I a （注：需要对每个子结构保留一些信息 外存） 3. 程序实现不采用 求逆的方法，而是采用 消元 回代方法。 消元： 将内部自由度有关各行作为消元行。 1 II K FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 b) 、 正是集成总体方程所需的项。 c) 为回代所需项，要保留 外

15、存。 * EE K * E P * EE K * E P * II K d) 总体方程求解完后， i) 对每个子结构取出 ii) 由外存读入 * IE K * I P * II K iii) 由下往上回代得 I a E a 注：适用范围，整体分析、分叉结构 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 5. 非协调元与分片试验非协调元与分片试验 矩形单矩形单 元，具有元，具有 矩形单元产生其固有的缺矩形单元产生其固有的缺 陷，如：剪切锁定和奇异陷，如：剪切锁定和奇异 能量模式能量模式 22 3223 432 234 543 22 345 1 xy xxyy xx yxyy xx yx yxy

16、y xx yx yx yxyy FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 这种节点不能保证这种节点不能保证 两个单元的界面位移连续。因两个单元的界面位移连续。因 此，称为此，称为“非协调单元非协调单元” 22 3223 432234 54322345 1 xy xxyy xxyxyy xxyxyxyy xxyxyxyxyy FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 ee NdNd 21 21 00 00 NN NN N 为内部自由度其中： T 2121 vvuu e 2 11 N 2 21 N FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 ee BdB a e ee e e a

17、e P PFd KK KK T 1 1 ee NdNd FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 V e vBDBKd T V vBDBKd TT 1 V a vBDBKd T SV b a e sNvFNPdd TT SV be sNvFNPdd TT FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 a e eee a e P PF a d KK KK T 1 1 )( T 1 1 e a eae dKPKa a eaee eae PKkPF dKKKK 1 1 T 1 1 1 )( FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 二.

18、三维非协调元 1.位移模式 以三维8结点，6面体为例 83 11 iiii ii uN uN 83 11 iiii ii vN vN 83 11 iiii ii wN wN 其中： 1 (1)(1)(1) 8 iiii N FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 其位移模式包含： 一次项已完全了，二次项缺： 1, 222 , 选择什么样的附加插值函数为好？ 222 123 1,1,1NNN 其好处是在各角结点， 均为0，这样保证了： i N ( , ) iiii uu在结点处位移是协调的。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 此处：, (1, 2, 3) iii i称为单元

19、内附加自由度。 协调性：在边界面上，位移的分布是双向二次 分布，但仅有4个边界结点，而内部附 加自由度是与其它单元无关的。 在各单元内值不变。, iii 所以，在边界上位移不协调，此类单元 称为非协调元。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 2.Wilson非协调元的有限元一般格式： e ee e a uNaNNN 123 NNNN i ii i 00 00 00 i ii i N NN N * 128123 .BL NNLNLNLNLNLNLN 128123 .BBBBBBBB 1 2 3 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 代入 可得： 0 eeee uuu eee

20、 u KKaP KK eT uu KB DBd eT KB DBd eT u KB DBd T ee uu KK 近似取为零 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 可以得到： 1 eeee u KK a 1 () eeeeee uuuu KKKKaP 类似子结构法中凝聚内部自由度 e 可得： eee K aP 内部自由度与其它单元无关，不出现在总体 方程，不增加总刚的自由度数。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 二.Wilson非协调元收敛性与分片试验： 非协调收敛性不能保证？ 分片试验： 赋予单元片上各点线性位移(常应变) 检查结点i的平衡方程。 ()0 eje ij

21、i e K uP 满足 单元包围 一个结点i FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 则分片试验通过表明单元满足常应变要求 单元尺寸变小时，有限元解真解 二维Wilson非协调元 因为常应变(常应力)0 e i P (无体力，分布力集中力) 0 ej ij e K u FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 证明： 设： 12132 ejj i uaa xa x 12132 ejj j ubb xb x 11 e eeeeeTe u KK aKB DBa d 1 (.) e eTe KB dDBaconst 而 11 12 11 0 e TT B dBJ d d 当J为常矩阵

22、平行四边形 1 ii jj NN J x FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 被积函数中包含的项为 j i k x ,0 eeee uu KKK a 0 ej ij e K u 分片试验区通过。 当单元形状为矩形或平行四边形时, j k x const FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 小结： Wilson单元为平行四边形(六面体)，J为常 矩阵时，能通过分片试验，收敛性可得证。 2) 其它情况：不能通过分片试验，收敛性不能 证明，单元扭曲不大的情况下，结果还是不错。 3) 对扭曲不大的单元，取J为形心值代替， 则收敛性可得证。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实

23、际考 虑 5.4 应力计算结果的性质和处理 一、有限元位移解的下限性质 物理意义：单元本身是连续体的一部分，应具有 无穷多个自由度。当设定单元的位移 函数后，自由度限制以结点位移表示 的有限自由度。 即：位移函数u(x,y)对单元变形进行了 限制和约束。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 所以，位移元得到的位移解总体不大于真解。 pp aa 注： 离散后的刚度 实际的刚度 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 二、应力精度的改进 应力计算公式 其中 是自然坐标的系数，原则上可以计算单元 内任一点的 。 00 () e D Ba B 实际效果：角结点处最差，其次边中点（面

24、中心 点）内部点较好。应力在界面跳跃， （不满足力边界条件）假设仅场函数 连续。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 三、应力抹平的概念 实际效果，角结点处最差，边中点、面中点、内部点较好。 (i)应力计算公式： (ii)应力在单元内分布： 对p次完全的位移模式，应力分布是p-1次， 最佳应力点：相应的Gauss积分点上应力 精度最好。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 位移元的有限单元法 得到各结点的位移值 利用, ee BaDDBa BLN 所以应变、应力的精度比位移低一阶。 四、应力近似解的性质 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 应力解的近似性：

25、a) 单元内部一般不满足平衡方程； b) 单元与单元之间一般不连续； c) 在力的边界条件上一般不满足力的边界条件； FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 2、 应力在单元内分布 对于p完备的位移模式，应力为p-1次分布。 3、 最佳应力点: 相应的Gauss积分点应力精度最好。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 1 1 ( ,)()() 2 e T M e V ACdV 定义：定义： 1 1 () 2 e T M e V ACdV 1 ( ( )( )( )0 e M T e V L uL uC L u dV 为为p次插值，次插值， p-1次，采用次，采用P11阶阶

26、Gauss积分得到积分得到2p1精度。精度。 u FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 4、等参元的最佳应力点 位移近似解u是p次多项式，若L是m阶微分算子， 应变近似解或应力近似解是n=p-m次多项式 1 1 () 2 e T M e V ACdV 精确积分至少应采用精确积分至少应采用n+1阶阶Gauss积分，积分， 达到达到2n+1次多项式的精度。次多项式的精度。 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 插值函数中完全 多项式次数 p 最佳应力点应力 精度 p-m+1 插值函数中完全 多项式次数 p 最佳应力点应力 精度 p-m+1 1122 FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考 虑 可视单元内应力平均值，或形心处应力。 所以，平均应力 = . const e 5、单元应力抹平技术 （最简单的一种方法 ，3结点三角形） 2 1 21 ee FE-Ch05.1-3有限元应用中的实际考