线性代数知识点归纳

1、线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1行列式的计算:（定义法）a11a12La21a22LMMan1an2La2nannainDn(jlj2L jn)(1)a1 j1 a2 j2 L anjnj1j2L jn思考題用定义计算行列式012-1-1012003-2031-1D =解；用树图分析丿3一17r (2143 ) = 2r(2413) = 331故 Z?=-3 + 2-12 + 9 = -4r (2431 ) = 4（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘

2、积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,|A, i j,ai1 Aj1 ai2 Aj2 L ain Ajn0, i j.（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上兀素的乘积biiRl b22 L bnn0bnn若A与 B都是方阵（不必同阶）A OAO BO BO AAB OB O,则AB1)mn A Ba1 nOa1 na2n1a2n 1NNan1Oan1O11L1X1X2LXn2X12X2L2XnXiXjMMM1 j i nn 1X1n 1X2Ln 1Xn关于副对角线:范德蒙德行列式:n(n 1)(pFqnaznK Rma

3、b型公式:a b b MLLLOLb b b Ma(n 1)b(an 1b)2之间的一种关系称为递推公式，其中（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法 （递推公式法）对n阶行列式Dn找出Dn与Dn 1或Dn 1，DnDn, Dn 1, Dn 2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算（数学归纳法）n2. 对于n阶行列式A，恒有：E A n （ 1）kSk n k，其中Sk为k阶主子式;k 13. 证明A 0的方法： 、A |A ； 、反证法； 、构造齐次

4、方程组 Ax 0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A) n ; 、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系： Mij ( 1)i j AijAij ( 1)i jM第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质1. 矩阵的定义4. 矩阵方程的求解a11a12La1na21a22La2n2n 称为 m n 矩阵MMMam1am2Lamn由 m n 个数排成的 m 行 n 列的表 A记作：A aj mn或Amn同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等 : 两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵运算a. 矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减)b.数与矩阵

5、相乘：数与矩阵 A 的乘积记作A 或 A ，规定为 A ( aij ) .c.矩阵与矩阵相乘：设 A (aij)ms,B (bj)sn，则 CAB(cij)m n ，其中b1jb2jcij(ai1,ai2,L ,ais)Mai1b1jai2b2 j注： 矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式ABBAa.分块对角阵相乘： A A11A22,BB11AB0A不成立 .0或 B=0ABA11B11A B , AnA22 B22A1n1A2n2b.用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;A的转置矩阵，记作 A .a.对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵At .b.分块矩阵

6、的转置矩阵:伴随矩阵：A*AjAA A A AE,分块对角阵的伴随矩阵:A是反对称矩阵 AatbtctdtAt.AiA2MAnAnAiA22MAnBAAniAn2MAj为A中各个元素的代数余子式AB(1)mn B A1)mn ABa 0L0Lbinaibiiaiti|2LaQnB0a2L0b?ib22Lb2na2b?ia?b22La2b2nM MOMMMOMMMOM0 0Lambm1bm2Lbmnambm1am bm2Lamr nc.用对角矩阵（右右乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的（列）向量bnLbin0L0Qbia2&2LambnBb21Lb2n0a2L0aAia222L

7、amb2nMMOMMMOMMMOMbmibm2LSn00Lamaibmia2bm2Lambm nd.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘方阵的幕的性质： AmAn Am n , （Am）n （A）mn矩阵的转置：把矩阵 A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做矩阵转置的性质：(at)tA(AB)Tbtat|AT| IA(A1)T(at)1(at)(A)t矩阵可逆的性质：1 1(A )A1(AB)B1 1AAi IA11 k(A )k 1k(A )A伴随矩阵的性质：(A)IA2a(AB)B A|A| |A1(A1)（A）1 抹(Ak)(A )kn 若 r(A) nr(A )1若r(A)

8、 n1|AB LA|BHI |AkAAA A |A E （无条件恒成立）0若 r(A) n12.逆矩阵的求法 方阵A可逆A 0.伴随矩阵法 A1 d b ad be c a主L换位 副L变号A1A 1分块矩阵的逆矩阵BA1CA 1OBO11印a?a215a31初等变换法（AhE）初等行变换（EMA1）1AB 1B 1BA 1A1CB 1A1OA 1OBCBB 1CA 1B1印1a21a31配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1 、AB BA E A B)3行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零当非零行的第一个非零

9、元为 1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵4.初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rirj 2iq)E(i, j)1E(i,j)E(i, j)|E(i, j) 1ri k (Cik )E(i(k)Ei(k) 1Ei(R|Ei(k)| krirjk(Ci Cj k )E(i,j(k)1Ei,j(k)Ei,j( k)Ei,j(k)|1?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等（行行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵（左乘A ;对A施行一次初等0列变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A.注意： 初等矩

10、阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵 矩阵的秩|关于A矩阵秩的描述： 、r（A） r , A中有r阶子式不为0, r 1阶子式（存在的话）全部为0; 、r（A） r , A的r阶子式全部为0； 、r（A） r , A中存在r阶子式不为0;?矩阵的秩的性质:r( A) 1； A Or(A) 0； 0 w r(Am n) min( m, n)r(A)r(AT) r(ATA)r(kA)r(A) 其中k 0若Am n,Bn s,若r(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax 0的解r( AB) w minr(A),r(B)P、Q可逆,r(A) r(PA)

11、r(AQ) r(PAQ)；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩r(Am n)?求矩阵的秩:r(Bn s)若 r(A) rAx只有零解r(AB) r(B)A在矩阵乘法中有左消去律r(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律A与唯一的OO等价，称r(A B) w r(A)r (B), max r(A),r(B) wAO r(A) r(B),定义法和行阶梯形阵方法6矩阵方程的解法(A 0):设法化成(I) AX B(I)的解法：构造(AMB)初等行变换(EMX)(II)第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性(II)ErOABABO B OAC B C为矩阵A的等价标准型r(A, B) w

12、 r(A) r(B)CB r(A)XA B的解法：构造r(B)AL初等列变换atxtbt,的解法：将等式两边转置化为用 的方法求出XT，再转置得X(II)3. 向量组的秩4. 向量空间5. 线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2 ）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组，1, 2丄，n，若存在一组数ki,k2,L,kn使得ki ik22 Lknn则称 是i, 2丄，n的线性组合，或称称 可由1, 2丄，n的线性表示线性表示的判别定理可由1, 2,L , n的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构

13、成n元线性方程：a1 X a2 x?L dnXnb1、a21X1 a22 x 2La2nXnb2有解LL L L LL L L L LLam1x1am2 x2Lanm xnbna11a12La1 nx1b1、a21a22 La2nx2bAxMM OMMMam1am2 Lamnx mbmX1b1、a1a2L aX2（全部按列分块，其中b2 )；n MMXnbn、ax1a2 x2Lan Xn（线性表出）、有解的充要条件：r（A） r（A, ） n （ n为未知数的个数或维数）A1， 2 sA1,A 2,AsC|,C2,L, Cs2.设Am n,Bn s, A的列向量为1,2,n , B的列向量为则

14、 AB Cm sb21Mb)2b22Mbsb2sM，(i 1,2,L,s)bn2i为AxC的解C|,C2 丄,Cs 可由 1, 2,n线性表示.即：C的列向量能由 A的列向量线性表示，B为系数矩阵向昂:组逐能由向量组/线性表示体阵方稈组有解向最组/与向量组甘等价a11a12La1 n1qa11 1厲22 LCn 2Ga21a22La2n2C2a21 1a222 La2n 2CMMMMMLLLan1an2LamnnCmam1 1am22 Lamn 2C同理：C的行向量能由B的行向量线性表示,A为系数矩阵即:向屋#能由线性方程组向暈组/俾 Qb线性农示冇解3. 线性相关性定义：给定向吊爼用 呀，旳

15、，召如果存亦邓全为零的实 数瓯岛*，砥* 18得疫叭*切 1+-o (零向量)则称向辰纽/是线性相黄的，否则称它是线性无关的.向量蛆翩元齐按线性方程组判别方法:法14 细 tf2，,a9t 0 匸) m线性相关有非零解対丁向呈组血卫” 备十為旳+怎务二0 的纯性相关性等价齐次线性方程组a禹+%爲+碣.=o幻占十勺必十+%a=O內*1+您血+十暫丿啊二。是否有非零解一(1) 齐沈线件方杆组冇“本解 Q 向量绡线性相乳毙(2) 齐次线性方程aiHTTTrf。向量俎线性无关.关于向量组知吩“柿设矩阵A = a码a）rv曲0向吊也,”线件相关; 尸二期。向量组%吆心线性无关.法3定理3向量组坷卫2,（

16、1122）线性相关的充分必要条件 是该向帛纠中至少仔个向量可由其余向量线性表示.推论设彳n个维向Ma- -（an卫力卫刑）（i = L2,，处 由给卷构成的打阶彳列式坷1如气D芒0 u向量组丐申戸,碍线性无关;D二0o向锻细心线性相关.线性相关性判别法（归纳）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组4 %咛/厭线性无关如果盘潭丄+為的+必*0 （零向量），贝（J必有A-*!-Ar-， 朋元齐次线性方程组r=0只有零解. 輛 矩阵/-（%环.，务J的秩等于向量的个数歸.口 向量组/中任何一个向竜都不能由其余一1个向量线性表示.?线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合 ,零向量与任何同维实

17、向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关(向量个数变动) 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关 ，原向量组相关(向量维数变动) 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 向量组1, 2, , n中任一向量i(1 i n)都是此向量组的线性组合 若1, 2, , n线性无关，而 1, 2, , n,线性相关,则 可由1, 2, , n线性表示,且表示法唯一4. 最大无关组相关知识煨大无关组若在闵量粗貝屮找到r牛制戟旳亠旳*，碍辎足(1)斗：丐，性*-叫拔悝无孟 詁中忙一向貳撫可山缶童讥 刚向尿祖右圧向鼠如丿的无其J

18、ia向量空间的基设卩対向引先的*荷77尸个向alr , arG V, H斶足I. av a17 ，碍找tl无矢； 萨中任-向址都可由%明厂叭线性表示 则称向圮纽屿就称为向谜空同F的一6越.華础解系若齐按线性方收组乐=o的一组解向城碁島，-*參海妃 环务忑 线性兄关：(2) Ax = 0的任 解都可山二二 .二线性衣示* 则称张加心称为血=a吋一个卒剛解 氛向量组的秩 向量组1, 2,L , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩记作r( 1, 2丄,n)矩阵等价I A经过有限次初等变换化为B.向量组等价1, 2 , ,n 和 1,2,n可以相互线性表示记作：1, 2,，n %1，2，

19、 n矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行(列)向量间的线性关系 向量组1,2, s可由向量组1, 2, n线性表示，且s n，则1, 2, S线性相关向量组1, 2, s线性无关，且可由1, 2, n线性表示，则s 2 丄 k是Ax 的解,对任意k个常数1) 2丄，k,1 12 2 k k也是它的解是Ax的解,是其导出组Ax 的解,是Ax的解1, 2是 Ax的两个解,12是其导出组Ax 的解2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax1, 2丄 k是 Ax的解,则的解1 212 L(1)将增广矩阵(A b)通过初

20、等行变换化为2阶梯形矩k也是Ax 的解 当r(A b) r(A) r n时，把不是首非零元所在列对是Ax 的解无解的充分必耍条件是 砂 殆,即 有唯一解的充分必耍条件是=典 ) = /r； 有无限多解的充分必要条件是月创=瓜&毎;条件：Ax b的一个特解；J 1,其余自由元1 ,2 , n-r ;判断应的21 ,个变量作为自础由元系的条件：(3) 令所有自由元为零，求得不计最后一列,丄八曲线性无为零，得到，ax , 都的基础解系解；(5)与出非齐次线性方程组每个解向量的自通解知量的个数X k1 1 k2 2 kn r nr其中匕飞2,kn r为任意常数(4)求非齐次线性方程组Ax = b的通解

21、的步骤（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一若 是Ax的一个解，1, ,L , s是Ax的一个解 1, ,L , s,线性无关AV Ax 与Bx同解（代B列向量个数相同）rr（A） r（B）,且有结果：B 它们的极大无关组相对应，从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系V矩阵Amn与Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PA B （左乘可逆矩阵 P ）;矩阵Amn与Bl n的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵 Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤

22、其是对称阵的相似对角化n(,)ab vab_02b_L anbi 11. 标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.亠口TT向量a!,a2,L ,an 与gb?丄，bn 的内积与正交 （，）0.记为:1 n向量a1, a2,L , an的长度 | |J(,) aijaia2LaTi 1 是单位向量 | | g）1 .即长度为1的向量2.内积的性质正定性：（，）0,且（，）0对称性：（，）（，）线性性：(12, ) ( 1, ) ( 2,)(k , ) k(,)3. 设A是一个n阶方阵，若存在数和n维非零列向量X,使得Ax x，则称是方阵A的一个特征值，x为方阵A的对应于特征

23、值的一个特征向量A的特征矩阵|E A 0 (或A E 0)A的特征多项式E A ()(或A E (). ()是矩阵A的特征多项式 (A) On A 1 2L ni tr A， tr A称为矩阵A的迹.1 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 若A 0,则 0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量a1r(A) 1A疋可分解为A =a2：Q, b2, LM2,bn、A(印 a?b2 Lanbn)A,从而A的特征值an为：1 trAa? b?Lanbn ,23 Ln 0.爲 a1,a2,L,anT为A各行的公比，b,b2丄，bn为A各列的公比.若A的全部特

24、征值1, 2丄，n ,f (A)是多项式,则若A满足f(A) OA的任何一个特征值必满足f( i) 0 f(A)的全部特征值为 f( 1), f ( 2) L , f( n) ； I f(A) f ( i)f ( 2)L f( n). A与At有相同的特征值，但特征向量不一定相同4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A的特征方程A E 0，求出特征值 根据(A iE)x 0得到A对应于特征值 i的特征向量设(A iE)x 0的基础解系为1, 2,L n ri,其中 ri r(A iE).则A对应于特征值i的全部特征向量为ki 1k2 2 Lkn ri n ri其中ki,k2丄，kn r为

25、任意不全为零的数5. A与B相似P 1AP B ( P为可逆矩阵)A与B正交相似 P 1AP B ( P为正交矩阵)A可以相似对角化A与对角阵相似(称是A的相似标准形)6. 相似矩阵的性质: E A E B ,从而代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.是A关于0的特征向量P1是B关于0的特征向量 tr A tr B A B 从而AB同时可逆或不可逆 r(A) r(B)若A与B相似，则A的多项式f(A)与B的多项式f(A)相似.7. 矩阵对角化的判定方法n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵,主对角

26、线上的元素为 A的特征值.i为对应于i的线性无关的特征向量P 1APA可相似对角化n r( iE A)ki，其中ki为的重数 A恰有n个线性无关的特征向量.：当i 0为A的重的特征值时,A可相似对角化i的重数 n r(A) Ax基础解系的个数.若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化8. 实对称矩阵的性质: 特征值全是实数，特征向量是实向量;不同特征值对应的特征向量必定正交;：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量若A有重的特征值，该特征值i的重数=n r（ iE A）； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵

27、合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值9.正交矩阵 aA E正交矩阵的性质： A A 2 ,3线性无关, ； aA ata e ； 正交阵的行列式等于 1或-1 ； A是正交阵,则A，A 1也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组10.求正交矩阵把实对称距阵.4化为对角阵的方法； r解特征方程a-Ae = o,求出对称阵A的全部不同的特征值兔“”，&2,对每个特征值求出对应的特征向量，即求齐次线性方程组（心疋）丫 = 0的基础解系。3将属于毎个人 的特征向最先正交化，再单位化。这样共可得到个两两正交的单位待征向量

28、坊莎4.以也心，心 为列向量构成正交矩阵丁 =有 TAT = h11.施密特正交规范化11正交化（2,1）2 21（1, 1）（3，1）（3，2）331 2（1,1） （2,2）单位化：11 _1_232 - 3 -技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量 代入方程，确定其自由变量第四部分二次型1.1.2.3.二次型及其矩阵形式二次型向标准形转化的三种方式正定矩阵的判定二次型f（Xi,X2 丄，Xn）aXj（X1, X2丄,Xn）j 1a11耳2LCna21a22La2nX2LLLLLan1an2LannXnxtAx其中A为对称矩阵,（X1，X2丄,Xn）TA与B合同CtAC B.（代B为实对称矩阵,C为可逆矩阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差2p r （ r为二次型的秩）两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价2.用正交変换化二次型为标准形（规范形）的具体 步驟1将一次羽农咗她阡疗式/ = xtAx,求出A-2. 求出川的所占特征值4*8 人；3求出对应T特征值的特征向T.二爲一点；4. 将特征向 gw 山交化.单位化，得备址尸=（久备皿）：匚作也交空廉兀二戸一则得/的林准形f = V? + +