一元函数积分学多元函数积分学－二重积分柱体

1、一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 一元函数积分学一元函数积分学 多元函数积分学多元函数积分学二重积分二重积分 柱体体积柱体体积=？ 特点：曲顶特点：曲顶. 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、取近似、求和、分割、取近似、求和、 取极限取极限”的方法的方法 D ),(yxfz 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 D ),(yxfz 1)分割分割 用任意曲线将用任意曲线将D分为分为 n 个区域个区域 n , 21 以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体 2)取近似取近似 在每个在每个 k , ),( kk 3)3)求和求和 n

2、 k k VV 1 n k kkk f 1 ),( ),( kk f),2,1(),(nkfV kkkk 则则中任取一点中任取一点 k ),( kk 4)4)取极限取极限的的直直径径为为定定义义 k kk ,PPPP 2121 max)( )(max 1 k nk 令令 n k kkk fV 1 0 ),(lim 为平顶，为平顶，视视 k V D dyxf ),(定定义义 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 8.7 二重积分二重积分 一一、二二重重积积分分的的定定义义 , ),(上上的的有有界界函函数数有有界界区区域域是是定定义义在在设设Dyxf 称称为为积积分分变变量量yx, D y

3、xf d),( 积分区域积分区域 被积函数被积函数 面积元素面积元素 .),(上上的的二二重重积积分分在在称称为为Dyxf 则则有有记记作作积积元元素素在在直直角角坐坐标标系系中中，把把面面,dxdyd DD dxdyyxfdyxf),(),( 存存在在，二二重重积积分分 D dyxf ),( 1.),(上可积上可积在在称称Dyxf ,),( 上上连连续续在在有有界界闭闭区区域域若若Dyxf.),(上可积上可积在在则则Dyxf 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 二二重重积积分分的的几几何何意意义义 2. , 0),( yxf若若表示：表示： D dyxf ),(为底，为底，以以D .

4、为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积 ),(yxfz 以曲面以曲面 , 0),( yxf若若.),(值值表表示示曲曲顶顶柱柱体体体体积积的的负负 D dyxf .数数和和曲曲顶顶柱柱体体体体积积的的代代 ,1),( yxfD上上特特别别地地，若若在在 为为D 的面积的面积, 则则 .1 DD dd ),(yxfz D 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 二、二重积分的性质二、二重积分的性质 ).( 为常数为常数k 式的性质式的性质第一类：有关被积表达第一类：有关被积表达 的的性性质质第第二二类类：有有关关积积分分区区域域 （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性

5、质） D dyxkf ),( 1.),( D dyxfk D dyxgyxf ),(),( 2.),(),( DD dyxgdyxf .),( ),(),( 21 DDD dyxfdyxfdyxf ),( 2121 无无公公共共内内点点DDDDD 估估值值性性质质第第三三类类：有有关关定定积积分分的的 ),(),( 1.yxgyxfD 上上若在若在.),(),( DD dyxgdyxf 则则 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 ,),( 2.上的最大、最小值上的最大、最小值在闭区域在闭区域是是、设设DyxfmM D 的面积为的面积为 , D Mdyxfm ),( 则则 （二重积分估值不

6、等式）（二重积分估值不等式） 3. (二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设设函函数数 ,),(D 在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使连续连续, ),(),(fdyxf D 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 三、二重积分的计算（重点）三、二重积分的计算（重点） 累次积分累次积分 yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd 积积分分直直角角坐坐标标系系下下计计算算二二重重 1. )( 1 xy )( 2 xy xbo y D a y )( 1 yx )( 2 yx x d o c )()( : 21 xyx b

7、xa D 型区域型区域X 型型区区域域Y yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd D dyxf ),( 若若D为为Y 型区域型区域 dyc yxy D )()( : 21 xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd D yxf d),( xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 222 1,3 1xyyxDdyxI D 轴和轴和是由是由其中其中计算计算例例 .所围成的区域所围成的区域 解解 0 y x11- 1 D 将将D看作看作X型区域型区域, 则则 :D 2 10 xy 11 x 2 1

8、xy dxdyyxI D 22 3 1 1 d x yyxd3 22 1 1 d x 1 1 4682 d)33(xxxxx 0 1 )( 2 32 x yx 0 2 1x 315 32 分分的的步步骤骤：将将二二重重积积分分化化成成累累次次积积 的的图图形形；画画出出积积分分区区域域 D 1) ；型型型型所所满满足足的的不不等等式式的的特特点点找找出出按按), (, 2)YXyxD . 3)确定积分限确定积分限选择适当的积分次序，选择适当的积分次序， 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 例例2 计算计算,d D yxI 其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及 yx 所围的闭区

9、域所围的闭区域. 解解 x y 2 1 1 xy o 2 将将D看作看作X型区域型区域, 则则 :D I 2 1 d x yyx d 2 1 d x 2 1 2 1 3 2 1 dxxx 8 9 1 ) ( 2 2 1 x yx 1 x xy 1 21 x 2 1 d y 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则 :D I xyx d 2 1 d y y yx 2 ) ( 2 2 1 2 1 3 2 1 d2yyy 8 9 y 2 2 xy 21 y 解二解二 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 例例3 计算计算,d D yx 其中其中D 是抛物线是抛物线 所围成的闭区域所围成的闭区域.

10、及直线及直线 xy 2 2 xy 解解 D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则 :D 2 2 yxy 21 y xyx d D yx d 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8 45 2 y 2 y D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x 1 yyx d D yx d或或 1 0 dx x x yyx d 4 1 dx 2 x x 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 1. 若积分域较复杂若积分域较复杂,

11、可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , o x y 1 D 2 D 3 D . 321 DDDD 型型区区域域，型型区区域域又又是是若若积积分分区区域域既既是是YX 2.则可将二重则可将二重 .的的累累次次积积分分积积分分化化为为两两种种不不同同次次序序但实际计算时，但实际计算时， 可可能能影影响响计计算算的的繁繁简简，.要选择适当的积分次序要选择适当的积分次序 .必必要要时时应应交交换换积积分分次次序序 改变下列积分的次序：改变下列积分的次序：例例 4 ;),( )1( 1 2 1 0 x x dyyxfdx .),(),( )2( 2 0 2 10 1 0 3 yy

12、dxyxfdydxyxfdy 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 x x dyyxfdx 1 2 1 0 ),( )1( :D2 1 0 x xyx 1 0 y x xy xy 1 2 1 将将D看作看作X型区域型区域, 则则 1 2 1 x x dyyxfdx 1 2 1 0 ),( xyxfd),( 2 1 0 dy 0 y xyxfd),( 1 2 1dy 0 y 1 积分域由两部分组成积分域由两部分组成: : 1 D 3 0yx 10 y : 2 D yx 20 21 y .),(),( )2( 2 0 2 10 1 0 3 yy dxyxfdydxyxfdy 0 y x 1

13、2 2 xy 2 3 xy 1 D 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则 原式原式 yyxfd),( 1 0 dx 3 x x 2 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 骤骤：变变换换积积分分次次序序的的解解题题步步 不不等等式式组组； 的的限限写写出出表表示示积积分分区区域域由由所所给给累累次次积积分分的的上上下下 1)D 的的图图形形；区区域域依依据据不不等等式式组组画画出出积积分分D 2) . 3) 写写出出新新的的累累次次积积分分 ;),()1(: 1 0 1 0 x dyyxfdxEx 改改变变下下列列积积分分次次序序 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2

14、0 1 0 ),(),()2( 2 xy 1 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),()1(原原式式 xy 2 2 2xxy 1 0 2 11 2 ),()2( y y dxyxfdy原原式式 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 . 20 11 : ,| 5 2 y x DdxdyxyI D 求求例例 解解 0 y x11 2 1 D 2 D : 1 D 11 x 2 2 yx : 2 D 11 x 2 0 xy I 2 2 1 1 2 )( x dyxydx 2 0 2 1 1 )( x dyyxdx 1 1 2 22 2 ) 2 1 (dxyxy x 1 1 0 22 2 ) 2

15、 1 (dxyyx x 1 1 42 ) 2 1 22(dxxx 1 1 4 2 1 dxx 1 1 42 )22(dxxx 15 46 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 为为是是以以其其中中求求例例)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(, 6 2 2 Ddxdyex D y .顶顶点点的的三三角角形形 析析无法用初等函数表示，无法用初等函数表示， dye y2 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 D y dxdyex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e

16、 解解型型区区域域，视视为为将将再再积积只只能能先先积积YDyx, 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 .0,cos,sin 7所所围围成成的的图图形形面面积积求求曲曲线线例例 xxyxy 0 y x 2 1 解解 其中其中 为为D 的面积的面积.1 DD dd D dxdyS yd 4 0 d x xsin xcos 4 0 d)sin(cos xxx12 二重积分的几何应用：二重积分的几何应用： 求平面图形的面积：求平面图形的面积：)1( 求曲顶柱体的体积：求曲顶柱体的体积：)( 曲顶柱体的顶为连续曲面曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为则其体积为 D yxyxfVdd

17、),( ,),(Dyx z x y oab D xycos xysin 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 . 0, 0, 00, 0, 0, 18 cbazyx c z b y a x ，求求体体积积：例例 解解 z x y o a b c D 面面上上的的投投影影可可得得所所围围立立体体在在令令xoyz, 0 :D )1( b y a x cz 0 y xa b D 1 b y a x ax 0 )1(0 a x by D yxyxfVdd),( a a x b dy b y a x cdx 0 )1( 0 )1( a dx a xb x a b x a b bc 0 22 2 )

18、1( 2 2 . abc 所求立体的顶是所求立体的顶是 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 .0,19 22 所所围围成成立立体体体体积积求求由由曲曲面面例例 zyxz 解解 x y z o 根根据据对对称称性性，考虑第一卦限部分，考虑第一卦限部分， D 其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为 22 1yxz 面面上上的的投投影影可可得得所所围围立立体体在在令令xoyz, 0 :D 0 y x D 1 x 2 1xy D yxyxfVdd),( 1 0 1 0 22 2 )1(4 x dyyxdx 1 0 2 3 2 )1( 3 8 dxx txsin 令令 2 0 4 cos 3 8 td

19、t 1 0 2 ) 2 2cos1 ( 3 8 dt t 1 0 2 )2cos2cos 4 1 ( 3 8 dttt 16 3 3 8 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 2.极坐标系下计算二重积分极坐标系下计算二重积分 sin cos ry rx 令令极极坐坐标标变变换换 x y yxr arctan 22 )(xfy )( rr :D 1 x 2 1xy D yxyxVdd)1( 22 2 0 1 0 2 )1(4 drrd 2 0 1 0 22 )1()1(2 rdrd 2 0 1 0 22 )1( dr 2 0 d 2 : D 2 0 10 r )sin,cos(),( rr

20、fyxf 则则 )sin,cos( D drdrrf D dyxf ),(r 0 y x D r 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 x y o k D 心心圆圆划划分分如如图图，用用一一组组射射线线和和同同 为为曲曲边边矩矩形形， k r r r 宽宽弧弧长长 k rr ddrrd 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 标标来来计计算算时时，在在将将二二重重积积分分化化为为极极坐坐 . 1正确使用正确使用 . 是是十十分分重重要要的的极极坐坐标标表表示示积积分分区区域域 D 步骤：步骤：换换被被积积函函数数； 1); 2) rdrddxdy 换换 . 3)确定积分上、下限确定积

21、分上、下限 )(积积分分后后对对一一般般是是先先对对 r 之之内内；极极点点在在D 1) )( rr o D :D ,20 ).(0 rr 之之外外；极极点点在在D 2) o )( 1 rr )( 2 rr :D , ).()( 21 rrr . 3)的边界上的边界上极点在极点在D o D )( rr :D ).(0 rr , )( )( 2 1 d)sin,cos( r r rrrrf D rrrrf dd)sin,cos( d 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 表表示示：写写出出下下列列区区域域的的极极坐坐标标例例 1 ;2 . 1 222 yx ;2 . 2 22 xyx ;a

22、 . 3 2222 byx . x-1y0 1x0 . 4 解解 ox :)1(D ,20 . 20 r 2 r ox12 cos2 r :)2(D , 22 .cos20 r ox ar br :)3(D ,20 . bra o y x 1 1 sincos 1 r :)4(D , 2 0 . sincos 1 0 r 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 例例2计算计算,d 22 D yx xdyeI| ),( 222 ayxyxD 其中其中 解解 :D 20 ar 0 0 x y ar re r d 2 I 2 0 d 0 a r a r dred 0 2 2 0 2 2 1 2

23、0 0 d 2 1 2 a r e 2 0 d)1( 2 1 2 a e)1( 2 a e 注注:利用例利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式 2 d 0 2 xe x 事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时, D yx yxedd 22 yexe yx dd 22 2 0 d 4 2 xe x )1(lim 2 b b e sin cos ry rx 令令 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 解解 : D则则22 ar 0 rrd sincos 2 I 2 2 d 2 2 0 4 d 4 1 s

24、incos a r 2 2 4 2cos 16 a 8 4 a 0 a ar r 2 2 2sin d ;0, 0,| ),(,d)1( 222 axayxyxDxyI D .16| ),(,|4|)2( 2222 yxyxDdxdyyxI D 计算计算例例 3 0 x y 8 4 a 2 r 4 r 4| ),( 22 yxyx 1 D 164| ),( 22 yxyx 2 D 1 D 2 D 0 x y sin cos )1( ry rx 令令 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 : )2( 1 D 20 20 r 2 0 2 )4(rdrr I 2 0 d 2 0 42 ) 4

25、1 2(2rr 80 4 2 24 )2 4 1 (2rr 2 r 4 r 0 x y 1 D 2 D : 2 D 20 42 r 1 D d )4( 22 yx 2 )4( 22 D dyx 2 0 d 4 2 2 )4(rdrr . 2,: 2222 平面区域平面区域 所围所围是由曲线是由曲线其中其中计算计算xyxDyxIEx D D cos2 r cos2 0 2 2 2 drrdI 9 32 cos 3 8 2 2 3 d 0 x y 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分柱体 路路：计计算算二二重重积积分分的的基基本本思思 的图形；的图形；画出积分区域画出积分区域 D 1. ,2.选择坐标系选择坐标系点点的形状或被积函数的特的形状或被积函数的特根据根据 D 分分；将将二二重重积积分分化化为为累累次次积积 3. . 4.作定