第八章 应力状态分析和强度理论材料力学

1、第第 八八 章章 应力状态分析和强度理论 1.一点的应力状态一点的应力状态 杆件中不同横截面上的内力一般不相同，同一横截面上不同点杆件中不同横截面上的内力一般不相同，同一横截面上不同点 的应力一般不相同，同一点不同方位的截面上的应力一般不相同的应力一般不相同，同一点不同方位的截面上的应力一般不相同 这种应力情况即为点的应力状态。这种应力情况即为点的应力状态。 2.用单元体表示点的应力状态用单元体表示点的应力状态 应力状态概述应力状态概述 3.基本变形中点的应力状态初步分析基本变形中点的应力状态初步分析 (1) 轴向拉伸和压缩：轴向拉伸和压缩： (2) 扭转扭转： (3) 弯曲：弯曲： 4.主平

2、面和主应力主平面和主应力 剪应力为零的平面为主平面；主平面上的正应力称主应力，剪应力为零的平面为主平面；主平面上的正应力称主应力， 按代数值大小顺序排列分别是按代数值大小顺序排列分别是1、2 和和3 5.应力状态的分类应力状态的分类 单向应力状态：只有一个主应力不为零；单向应力状态：只有一个主应力不为零； 二向应力状态：只有二个主应力不为零；二向应力状态：只有二个主应力不为零； 三向应力状态：三个主应力均不为零；三向应力状态：三个主应力均不为零； 1.应力分量及其符号的规定应力分量及其符号的规定 正应力规定与截面外法线正应力规定与截面外法线 方向一致为正，反之为负；方向一致为正，反之为负； 剪

3、应力规定对单元体内任剪应力规定对单元体内任 一点的矩顺时针为正，反一点的矩顺时针为正，反 之为负；之为负； 2 2 二向应力状态分析二向应力状态分析 2.斜截面上的应力斜截面上的应力 列出平衡方程：列出平衡方程： 由剪应力互等定理由剪应力互等定理 整理得：整理得： 由上面两式可得：由上面两式可得： 这是关于这是关于和和的圆方程；的圆方程； 圆心坐标是圆心坐标是半径是半径是 3.应力圆应力圆 以横坐标表示正应力，纵坐标表示剪应力，画出二向应力状态的应力圆以横坐标表示正应力，纵坐标表示剪应力，画出二向应力状态的应力圆 4.应力圆与单元体之间的对应关系应力圆与单元体之间的对应关系 (1)应力圆上的每

4、一点对应单元体上互成应力圆上的每一点对应单元体上互成1800的二个面上的应力状态；的二个面上的应力状态； (2)应力圆上的点按某一方向转动应力圆上的点按某一方向转动2角度，单元体上的面按相同方向转动角度，单元体上的面按相同方向转动角度；角度； (3)应力圆与应力圆与轴的交点代表主平面上的应力；轴的交点代表主平面上的应力； (4)应力圆上代表主平面的点转动应力圆上代表主平面的点转动900得到剪应力极值点；单元体上主平面转动得到剪应力极值点；单元体上主平面转动450得到剪得到剪 应力极值平面；应力极值平面； 主应力的值主应力的值： 主应力所在截面方位：主应力所在截面方位： 剪应力的极值剪应力的极值

5、 剪应力极值平面与主平面的夹角为剪应力极值平面与主平面的夹角为450；两个剪应力极值平面之间的夹角是；两个剪应力极值平面之间的夹角是900 剪应力的极值所在截面方位剪应力的极值所在截面方位 4.基本变形应力状态的应力圆基本变形应力状态的应力圆 (1)轴向拉伸和压缩：轴向拉伸和压缩： (2)扭转扭转： (3)弯曲：弯曲： 例例1.在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为上的应力。应力单位为MPa。 解：（解：（a） （1）应力分量）应力分量 （2）用解析法求斜截面上的应力）用解析法求斜截面上的应力 （3）应力圆）应力圆 （70、

6、0） （-70、0）600 (35,36.5) （d） （1）应力分量）应力分量 （2）用解析法求斜截面上的应力）用解析法求斜截面上的应力 （3）应力圆）应力圆 例例2 已知图示的单元体上的应力为已知图示的单元体上的应力为 x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa ；求主应力、；求主应力、 主平面、剪应力极值和极值平面，并在单元体上表示出来。主平面、剪应力极值和极值平面，并在单元体上表示出来。 解：解： (1)求主平面：求主平面： (2)求主应力：求主应力： 按代数值大小排列：按代数值大小排列： (3)求剪应力的极值和位置求剪应力的极值和位置 1=0+45o=67.5o，对应，对应

7、max 1.三向应力圆三向应力圆 1 3 2 应力圆上及阴影内的点与三向应力状态单元体中某一截面相对应应力圆上及阴影内的点与三向应力状态单元体中某一截面相对应 从此可知：从此可知： 3 3 三向应力状态简介三向应力状态简介 例例3.已知应力状态如图所示，图中的应力单位为已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求：。试求： （1）主应力大小，主平面位置；（）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；）在单元体上给出主平面位置及主应力方向； （3）最大剪应力。）最大剪应力。 解：解： （1）应力分量）应力分量 应力圆应力圆 （2）求主平面位置和主应力大小）求主平面

8、位置和主应力大小 例例3.已知应力状态如图所示，图中的应力单位为已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求：。试求： （1）主应力大小，主平面位置；（）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；）在单元体上给出主平面位置及主应力方向； （3）最大剪应力。）最大剪应力。 解：解： （2）求主平面位置和主应力大小）求主平面位置和主应力大小 （3）最大剪应力）最大剪应力 例例4.薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NNm，且，且d=50mm， =2mm。试求：（试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（点在

9、指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，点主应力的大小及方向， 并用单元体表示。并用单元体表示。 解：（解：（1）A点的应力状态点的应力状态 属二向应力状态，应力分量是属二向应力状态，应力分量是 例例4.薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NNm，且，且d=50mm， =2mm。试求：（试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，点主应力的大小及方向， 并用单元体表示。并用单元体表示。 （2）斜截面的应力：）斜截面的应力： 例例4.薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如

10、图所示。若拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NNm，且，且d=50mm， =2mm。试求：（试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，点主应力的大小及方向， 并用单元体表示。并用单元体表示。 （3）主方向）主方向 （4）主应力）主应力 （5）主单元体）主单元体 1.应变叠加原理应变叠加原理 各向同性材料在小变形的情况下，当应力不超过比例极限，则线应变只与正各向同性材料在小变形的情况下，当应力不超过比例极限，则线应变只与正 应力有关，剪应变只与剪应力有关，且由正应力引起的某一方向上的应变应力有关，剪应变只与剪应力有关，且由正应力引起

11、的某一方向上的应变 可以叠加；可以叠加； 2.主方向上的广义主方向上的广义 胡克定律胡克定律 由由1 引起三个主方向的线应变为：引起三个主方向的线应变为： 由由2 引起三个主方向的线应变为：引起三个主方向的线应变为： 由由3 引起三个主方向的线应变为：引起三个主方向的线应变为： 4 4 广义胡克定律广义胡克定律 叠加后得：叠加后得： 此即为广义胡克定律在三个主方向上的表达式此即为广义胡克定律在三个主方向上的表达式 3.一般形式的广义胡克定律一般形式的广义胡克定律 例例5 图示钢轴上作用一个力偶图示钢轴上作用一个力偶M=2500 Nm，已知，已知D=60 mm，E=210 GPa，=0.28；

12、圆轴表面上任一点与母线成圆轴表面上任一点与母线成=300方向上的正应变。方向上的正应变。 解：解： (1)取取A点的单元体，应力状态为：点的单元体，应力状态为： xy xy (2)求斜截面上的正应力求斜截面上的正应力 (3)计算斜截面上的应变计算斜截面上的应变 例例5. 列车通过钢桥时用变形仪量得钢桥横梁列车通过钢桥时用变形仪量得钢桥横梁A点的应变为点的应变为 x=0.0004， y= -0.00012。 试求试求A点在点在x-x和和y-y方向的正应力。设方向的正应力。设E=200GPa，=0.3。 解：根据广义虎克定义：解：根据广义虎克定义： 解得解得 例例6.在一体积较大的钢块上开一个贯通

13、的槽，其宽度和深度皆为在一体积较大的钢块上开一个贯通的槽，其宽度和深度皆为10mm。在槽内紧密无隙。在槽内紧密无隙 地嵌入一铝质立方块，尺寸为地嵌入一铝质立方块，尺寸为10mm10mm10mm。当铝块受到压力。当铝块受到压力P=6kN的作用时，的作用时， 假设钢块不变形，铝的弹性模量假设钢块不变形，铝的弹性模量E=70GP, =0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。试求铝块的三个主应力及相应的变形。 解：（解：（1）z方向的应力方向的应力 （2）x面是自由面，面是自由面，x方向的正应力为零，即方向的正应力为零，即 （3）y方向的线应变为零方向的线应变为零 （4）x 、y、z三个方向是主方

14、向，主应力是三个方向是主方向，主应力是 （5）三个方向的线应变和变形）三个方向的线应变和变形 1.材料因强度不足发生破坏的基本类型材料因强度不足发生破坏的基本类型 屈服破坏；屈服破坏； 断裂破坏；断裂破坏； 2.强度理论的提出强度理论的提出 材料发生强度破坏是由于应力、应变、应变能等某一因素引起的，与应力状态材料发生强度破坏是由于应力、应变、应变能等某一因素引起的，与应力状态 是简单还是复杂没有关系；这些假设称为强度理论；运用强度理论，可以由是简单还是复杂没有关系；这些假设称为强度理论；运用强度理论，可以由 简单应力状态下的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件；简单应力状态下的实验结果，建立复

15、杂应力状态的强度条件； 3.四种常用的强度理论四种常用的强度理论 (1)最大拉应力理论最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)： 发生断裂破坏的主要因素是最大拉应力；通过简单应力状态的实验得到断裂发生断裂破坏的主要因素是最大拉应力；通过简单应力状态的实验得到断裂 破坏的极限应力破坏的极限应力b ，由此得到许用应力：，由此得到许用应力： 它也可用于发生这种破坏形式的复杂应力状态，强度条件是：它也可用于发生这种破坏形式的复杂应力状态，强度条件是： 5 5 强度理论概述强度理论概述 2)最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)： 发生断裂破坏的主要因素是最大伸长线应变；在简

16、单应力状态下，最大伸长发生断裂破坏的主要因素是最大伸长线应变；在简单应力状态下，最大伸长 线应变的极限值是：线应变的极限值是： 它是通过简单应力状态的实验得到，将它应用于一般应力状态，即它是通过简单应力状态的实验得到，将它应用于一般应力状态，即 强度条件为：强度条件为： (3)最大剪应力理论最大剪应力理论(第三强度理论第三强度理论)： 发生屈服破坏的主要因素是最大剪应力；简单应力状态下，最大剪应力的发生屈服破坏的主要因素是最大剪应力；简单应力状态下，最大剪应力的 极限值是：极限值是： 它是通过简单应力状态的实验得到，将它应用于一般应力状态，即它是通过简单应力状态的实验得到，将它应用于一般应力状

17、态，即 强度条件为强度条件为： (4)最大形状改变比能理论最大形状改变比能理论(第四强度理论第四强度理论)： 发生屈服破坏的主要因素是最大形状改变比能；发生屈服破坏的主要因素是最大形状改变比能； 强度条件是：强度条件是： 4.四个强度理论的统一式：四个强度理论的统一式： r 称相当应力；称相当应力； 例例7 薄壁锅炉的内径薄壁锅炉的内径D=1060 mm，壁厚，壁厚t=25 mm，蒸气压力，蒸气压力p=2.5 MPa，材料许用应力，材料许用应力 =40 MPa；按最大剪应力理论校核锅炉的强度。；按最大剪应力理论校核锅炉的强度。 解：解： (1)由横截面分离体的平衡条件由横截面分离体的平衡条件 (2)由纵截面分离体的平衡条件由纵截面分离体的平衡条件 (3)确定主应力确定主应力 例例8.铸铁薄管如图所示。若管的外径为铸铁薄管如图所示。若管的外径为200mm，厚度，厚度 t=15mm，内压力，内压力p=4MPa， P=200kN。铸铁的抗拉许用压力。铸铁的抗拉许用压力 t=30MPa， =0.25。试用第二强度理论和第一强度。试用第二强度理论和第一强度 理论校核薄管的强度。理论校核薄管的强度。 解：（解