RLC串联电路的零输入响应

1、RLC串联电路的零输入响应 第九章第九章 二阶电路分析二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程， 并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要 讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨 论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机 程序分析高阶动态电路。程序分析高阶动态电路。 RLC串联电路的零输入响应 91 RLC串联电路的零输入响应串联

2、电路的零输入响应 一、一、RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程 图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路 )()()()( SCLR tutututu 2 c 2 L c R c CL d d d d )( d d )()( d d )()()( t u LC t i Ltu t u RCtRitu t u Ctititi 为了得到图为了得到图91所示所示RLC 串联电路的微分方程，先列出串联电路的微分方程，先列出 KVL方程方程 RLC串联电路的零输入响应 根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程 ) 19()( d d d d SC C 2 C 2 tuu t u R

3、C t u LC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 )29(0 d d d d C C 2 C 2 u t u RC t u LC 其特征方程为其特征方程为 ) 39(01 2 RCsLCs 其特征根为其特征根为 )49( 1 22 2 21 LCL R L R s ， 零输入响应方程为零输入响应方程为 RLC串联电路的零输入响应 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R， L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1. 时，时， 为不相等的实根。过阻尼情

4、况。为不相等的实根。过阻尼情况。 C L R2 21,s s 2. 时，时， 为两个相等的实根。临界阻尼为两个相等的实根。临界阻尼 情况。情况。 21,s s C L R2 3. 时，时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。为共轭复数根。欠阻尼情况。 C L R2 21,s s RLC串联电路的零输入响应 二、过阻尼情况二、过阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的为两个不相同的 实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 C L R2 )59(ee)( 21 21C tsts KKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始

5、条件由初始条件iL(0)和和uc(0) 确定。确定。 )69()0( 21C KKu 对式对式(95)求导，再令求导，再令t=0得到得到 )79( )0( d )(d L 22110 C C i sKsK t tu t RLC串联电路的零输入响应 求解以上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到 C i us ss K C i us ss K )0( )0( 1 )0( )0( 1 L C1 21 2 L C2 12 1 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和方程和 电容的电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。

6、 RLC串联电路的零输入响应 例例9-1 电路如图电路如图9-1所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。 4 2 13833 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， 解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率）计算出固有频率 图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路 RLC串联电路的零输入响应 将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（95）得到）得到 )0(ee)( 4 2 2 1C tKKtu tt

7、利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值 iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程： 4 )0( 42 d )(d 2)0( L 210 C 21C C i KK t tu KKu t K1=6 K2=-4 )0(V)e4e6()( 42 C ttu tt 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 RLC串联电路的零输入响应 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响方程得到电感电流的零输入响 应应 )0(A)e4e3( d d )()( 42C CL t t u Ctiti tt 从图示电容

8、电压和电感电流的波形曲线，可以看出电从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程。路各元件的能量交换过程。 RLC串联电路的零输入响应 V)()e4e6()( 42 C ttu tt 电容电压的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 DNAP程序可以画出响应的波形。 )A()e4e3()( 42 L tti tt 电感电流的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 三、临界情况三、临界情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实为两个相同的实 数数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面的形式

9、C L R2 )89(ee)( 21C stst tKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0) 确定。确定。 令式令式(9-5)中的中的t=0得到得到 )99()0( 1C Ku RLC串联电路的零输入响应 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 )0( )0( )0( C1 L 2 C1 us C i K uK 将将 K1, K2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（98）得到电容电压）得到电容电压 的零输入响应，再利用的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电可以得到电 感电流的零输入响应。感

10、电流的零输入响应。 对式对式(95)求导，再令得到求导，再令得到 )109( )0( d )(d L 210 C C i KsK t tu t RLC串联电路的零输入响应 例例9-2 电路如图电路如图9-1所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。 2 2 02422 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， 解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值 图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路 R

11、LC串联电路的零输入响应 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 0 )0( 2 d )(d 1)0( L 210 C 1C C i KK t tu Ku t 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（代入式（98）得到）得到 )0(ee)( 2 2 2 1c ttKKtu tt RLC串联电路的零输入响应 得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4 A)e4e2e2( d d )()( 2 222 C CL tt t t u Ctiti t tt

12、t 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容，得到电容 电压的零输入响应电压的零输入响应 )0( V )e2e()( 22 C tttu tt RLC串联电路的零输入响应 根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形画出的波形 曲线，如图曲线，如图93所示。所示。 (a) 电容电压的波形电容电压的波形 (b) 电感电流的波形电感电流的波形 图图93 临界阻尼情况临界阻尼情况 )0( Ae4)()( )0(V )e2e()( 2 CL 22 C tttiti tttu t tt RLC串联电路的零输入响应 V)()e2e

13、()( 22 C tttu tt 电容电压的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 )A(e4)( 2 L ttti t 电感电流的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 四、欠阻尼情况四、欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复为为两个共轭复 数根，它们可以表示为数根，它们可以表示为 C L R2 d 2 0 jj 1 22 2 2 21 LCL R L R s ， 其中其中 称称为为衰衰减减谐谐振振角角频频率率 称称为为谐谐振振角角频频率率 称称为为衰衰减减系系数数 22 0 0 1 2 d LC L R RLC串联电路的零输入响应 齐次微分方

14、程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 )119()cos(e )sin()cos(e)( 21C tK tKtKtu t t d dd 式中式中 1 22 2 2 1 arctan K K KKK 由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容后，得到电容 电压的零输入响应，再利用电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流方程得到电感电流 的零输入响应。的零输入响应。 RLC串联电路的零输入响应 例例9-3 电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.2

15、8A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。 j435 1 22 2 2 21 2 33 LCL R L R s ， 解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值 图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路 RLC串联电路的零输入响应 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值 iL(0)=0.28A得到以下两个方程得到以下两个方程 7 )0( 43 d )(d )0( L 210 C 1C C i KK t tu Ku t 求解以上两个方程得到常数求解以上两个

16、方程得到常数K1=3和和K2=4，得到电容电，得到电容电 压和电感电流的零输入响应压和电感电流的零输入响应: )0( A)74.73cos(e)sin(24)cos(7e04. 0 d d )( )0( V )1 .53cos(e5)sin(4cos3e)( c L c tttt t u Cti tttttu tt tt 444 444 33 33 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式代入式 （911）得到）得到 )0( )sin(cose)( 21C ttKtKtu t 44 3 RLC串联电路的零输入响应 用计算机程序用计算机程序D

17、NAP画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，如图94(a)和和(b)所示所示 (a) 衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b) 衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形 (c) 衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) 衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形 图图94 欠阻尼情况欠阻尼情况 RLC串联电路的零输入响应 从式从式(9-11)和图和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的波形曲线可以看出，欠阻尼情况的 特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻 越

18、小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 当例当例93中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变变 为为0.5时，用计算机程序时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流得到的电容电压和电感电流 的波形曲线，如图的波形曲线，如图94(c)和和(d)所示，由此可以看出曲线衰所示，由此可以看出曲线衰 减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容 电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。 RLC串联电路的零输入响应 V)()1 .53co

19、s(e5)( c tttu t 4 3 电容电压的零输入响应波形 u3 (t) =( t)*( 5.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t -53.13 ) RLC串联电路的零输入响应 )A()74.73cos(e)( L ttti t 4 3 i2 (t) =( t)*( 1.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t +73.74 ) 电感电流的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 u3 (t) =(t)*( 3.45 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t -29.66 ) )A()66.29cos(e45. 3)( 5

20、 . 0 C tttu t 4.97 电容电压的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 i2 (t) =( t)*( .690 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t +66.08 ) )A()08.66cos(e69. 0)( 5 . 0 L ttti t 4.97 电感电流的零输入响应波形 RLC串联电路的零输入响应 例例9-4 电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电感电流的零 输入响应。输入响应。 j55 1 22 2 2 21 LCL R

21、 L R s ， 解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率的）计算出固有频率的 数值数值 图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路 RLC串联电路的零输入响应 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（9-11） 得到得到 )0()sin()cos()( 21c ttKtKtu55 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值 iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 7 )0( 5 d )(d 3)0( L 20 C 1C C i K t tu Ku t

22、求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容，得到电容 电压和电感电流的零输入响应电压和电感电流的零输入响应: )0(A)65cos(66. 0)cos(7)sin(1504. 0 d d )( )0(V)25cos(31. 3)sin(4 . 1)cos(3)( C L C tttt t u Cti tttttu 555 555 RLC串联电路的零输入响应 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波画出的电容电压和电感电流的波 形曲线，如图形曲线，如图95所示。所示。 图图95 无阻尼情况无阻尼情况 RLC串联电路的零输入响应 u3 (

23、t) =(t)*( 3.31 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t -25.02 ) )V ()25cos(31. 3)( C tttu 5 电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。 RLC串联电路的零输入响应 i2 (t) =(t)*( .662 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t +64.98 ) )A()65cos(66. 0)( L ttti 5 电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。 RLC串联电路的零输入响应 从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由 于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，

24、总能量于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量 不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位 差为差为90 ，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达 到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零， 磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于 电场中。电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零二阶电路的零 输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几 种情况画在图种情况画在图96上。上。 RLC串联电路的零输入响应 图图9-6 RLC串联电路的零输入响应 由图由图96可见：可见： 1. 在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率是不相等的负实数，固有频率 出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临界阻尼情况，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率是相等的负实数，固有频率 出现在出现