椭圆及其标准方程(北师大版)

1、 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 实验探究：实验探究： 把绳子的两端分开用订书针固定把绳子的两端分开用订书针固定 在稍在稍 硬点的纸上的硬点的纸上的两个定点两个定点 F1、 F2 保持拉紧状态，移动铅笔，这时笔尖保持拉紧状态，移动铅笔，这时笔尖 画出的轨迹是什么图形？画出的轨迹是什么图形？ 教师动画模拟试验效果教师动画模拟试验效果 动画演示动画演示 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数记为的距离的和等于常数记为2a（大（大 于于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆 这两个定点叫做这两个定

2、点叫做 两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做 问题问题1：当常数等于：当常数等于|F1F2|时，点时，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？ 问题问题2：当常数小于：当常数小于|F1F2|时，点时，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？ 线段线段F1F2 轨迹不存在轨迹不存在 引导探究，总结概念引导探究，总结概念 疑点探究疑点探究 动画演示动画演示 椭圆的焦点椭圆的焦点 椭圆的焦距椭圆的焦距 返回返回 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 动手训练，掌握新知动手训练，掌握新知 1.设动点设动点M到两定点到两定点F1(4,0), F2 (4,0)的的距离和是距离和是10， 则动点则动点M的轨迹为的轨迹为( )

3、2.设动点设动点M到两定点的到两定点的F1(4,0), F2 (4,0)距离和是距离和是8， 则动点则动点M的轨迹为的轨迹为( ) 3.设动点设动点M到两定点到两定点F1(4,0), F2 (4,0)距离和是距离和是 a(正数正数)， 则动点则动点M的轨迹为的轨迹为( ) C椭圆椭圆 B线段线段F1F2 D前三种都有可能前三种都有可能 A无轨迹无轨迹 C B D 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 列式列式 建系建系 设点设点 化简化简 结果结果 求动点的轨迹方程的基本步骤是什么？求动点的轨迹方程的基本步骤是什么？ 温故知新温故知新(以数代形以数代形) 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 形形数数

4、 试试推导椭圆的方程试试推导椭圆的方程(规范过程展示）规范过程展示） 以两定点以两定点F1 、F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1 F2 的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系 . 2( ,0) F c 1( ,0)Fc、(0)c 12 2FFc设设 则则 M（x，y）为椭圆上为椭圆上的任意的任意 一点，一点，又设又设M与与F1 、F2的距的距 离和等于离和等于2a(22 )ac 12 | 2MFMFa 即即 1 F 2 F M xO y 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 12 |2M FM Fa+= 2222 ()()2xcyxcya 移项平方，得移项平

5、方，得 2222222 ()44()()xcyaaxcyxcy 整整 理理, , 得得 222 ()acxaxcy 再平方再平方 42222222222 22aa cxc xa xa cxa ca y 整理整理 得得 22222222 ()()acxa yaac 我们如何化简带根式的式子？我们如何化简带根式的式子？ 是直接平方还是整理后再平方。是直接平方还是整理后再平方。 想一想，试一试！想一想，试一试！ 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 22222222 acxa yaac 222222 b xa ya b 222 bac 令令 ，得得 22 22 1 xy ab 0ab 注：注：可以使方程

6、的形式简单整齐可以使方程的形式简单整齐 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 思考：思考：如果以如果以F F1 1 、F F2 2 所在直线为所在直线为 y y轴，线段轴，线段 F F1 1 F F2 2 的垂直平分线为的垂直平分线为 x x轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系 22 22 1 (0) yx a b ab O x y F2F1 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba F1 M x y O F2 焦点是焦点是F F1 1 (0 (0，-c)-c)、F F2 2(0(0，c)c) 椭圆方程是？椭圆方程是？ 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 22 22 1 0 xy ab ab 2

7、2 22 1 0 yx ab ab 图图 形形 方方 程程 焦点坐标、位置焦点坐标、位置 F( (c，0)0)在轴上在轴上 F(0(0，c) )在轴上在轴上 a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2 P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 定定 义义 1 12 2 y o FF M x 1 o F y x 2 F M 两类标准方程的对照表：两类标准方程的对照表： 注注: :哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！ 返回返回 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 22 xy 1 2516 答：在答：在 x x 轴。（轴。（

8、 - 3 3，0 0）和（）和（3 3，0 0） 22 1 144169 xy 答：在答：在 y y 轴。（轴。（0 0，- 5 5）和（）和（0 0，5 5） 分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。 练一练：练一练： 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 典例分析典例分析 例例1.已知已知B，C是两个定点，是两个定点， ,|BC| =8且且ABC的的 周长等于周长等于18，求定点，求定点A满足的一满足的一 个方程个方程 解解:由已知由已知 | 18ABACBC ,|BC| =8得 | 10ABAC 由定义可知点由定义可知点A A的轨迹是一个椭圆，

9、且的轨迹是一个椭圆，且 2c=8 2a=102c=8 2a=10 即即 c=4 a=5c=4 a=5 所以所以 222 9bac 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 如果建立的坐标系是使焦点在如果建立的坐标系是使焦点在y轴上，得到的标准轴上，得到的标准 方程是什么？方程是什么？ 22 1,(0) 259 yx x 注：注：(1)建立适当的建立适当的 直角坐标系直角坐标系; （2）要注意去除不符合题意的点，即限制）要注意去除不符合题意的点，即限制 （3）用）用定义法定义法求椭圆的标准方程的方法求椭圆的标准方程的方法 (0) y 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 变式训练变式训练 1. 已知椭圆的焦距等于已知椭圆的焦距等于8，椭圆上一点到，椭圆上一点到 两焦点距离的和等于两焦点距离的和等于10，求椭圆的标，求椭圆的标 准方程准方程 试试身手试试身手 22 1 259 xy 或或 22 1 259 yx 注：注：焦点在哪个轴上是不定的，所以两种焦点在哪个轴上是不定的，所以两种 情况皆有可能情况皆有可能 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆定义的应用椭圆定义的应用 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆及其标准方程椭圆及其标准