现代信号处理技术

1、第十一章第十一章 现代信号处理技术现代信号处理技术 这里只介绍时频分析、高阶谱分析、小波分析和独立成 分分析及其在生物医学信号处理中的应用 第一节第一节 时频分析时频分析(Time-Frequency Analysis) 一、时频分析的基本方法 一般来说, 时频分析方法具有很强的能量聚集作用, 不需知道信号频率随时间的确定关系, 只要信噪比足 够高, 通过时频分析方法就可在时间频率平面上 得到信号的时间频率关系。时频分析主要用来寻找信 号的特征。时频分析方法主要采用一些特殊的变换来 突出信号的特征点,在非平稳信号的处理中具有突出的 优越性。 二、短时傅立叶变换二、短时傅立叶变换(Short T

2、ime Fourier Transform , STFT ) 我们将一个信号的STFT定义如下: (11-1) 其中h(t) 是窗函数. 沿时间轴移动分析窗, 我们可以得到 两维的时频平面。STFT 方法最大的优点是容易实现。 STFT 分析实质上是限制了时间窗长的Fourier分析. STFT只能选定一个固定的窗函数, 且STFT 分析受限于 不确定性原理, 较长的窗可以改善频域解但会使时域解 变糟; 而较短的窗尽管能得到好的时域解, 频域解却会变 得模糊。 1 ( , )( ) () 2 i t Stesht d 三、三、Wigner-Ville 分布分布(WVD) 实际信号s(t) 的W

3、igner-Ville 分布定义为: (11-2) 式中: x(t)为s(t)的解析信号。 在Wigner-Ville 分布中使用解析信号x(t)而不是 原实际信号s(t)的优点在于: 第一,解析信号的处 理中只采用频谱正半部分,因此不存在由正频率 项和负频率项产生的交叉项；第二,使用解析信 号不需要过采样,同时可避免不必要的畸变影响。 * ( , )() () 22 j WVDtx tx ted 四、四、Choi-Williams 分布分布(CWD) WD分布来源于广义时频分布，定义为： (11-3) 2 2 () * 4 2 ( , )() () 422 t u j CWD tex ux

4、uedud 通常,在处理幅度和频率变化较大的信号时取较大的R(R1) 值;反之,则取较小R(R1) 值。CWD满足多数所希望的时 频特性,其抑制交叉项的能力还取决于被分析信号的时频 结构。因此,实际应用中需要综合考虑。 五、五、Cone 核分布核分布(CKD) 等等 当核函数 时，广义时频分布进 一步变成Cone核分布： (11-4) 式中， 。 21 (, ) 0 et t 其 它 2 * 1 ( , )() () 22 j CKD tex ux uedud t CKD 具有较好的抑制横向交叉项的能力, 适合处理这样的 信号, 即在一个小的范围内频率分布是正值, 而在此之外频 率分布是负值,

5、 参数R确定范围的大小。 六、六、Hilbert变换与瞬时频率变换与瞬时频率 对任意时间序列x(t), 可得到它的Hilbert 变换: (11-5) 定义瞬时频率为: (11-6) 定义了瞬时频率, 就可以得到信号各个时间点的频率变化 情况。比起传统的小波分析等方法, 这种计算频率的方法 不再受限于不确定性原理（还比如傅氏变换）。然而需要 指出的是, 瞬时频率是时间的单值函数, 因而在任意给定时 刻只有一个频率值, 也就是说它只能描述一种成份。对于 单成份的信号, 它才能够给出比小波分析更为精确的时频 描述。 ( ) ( ) dt t dt 1( ) ( ) x t y tPdt tt 第二

6、节第二节 高阶谱分析高阶谱分析 采用高阶累计量方法处理生理信号，它的主要优点有： 抑制加性有色噪声；辨识非最小相位系统；抽 取由于高斯性偏离引起的各种信息；既包含幅度信 息又包含相位信息。 利用高阶统计量进行频谱分析，存在着经典法和参 数模型法。经典法利用快速傅里叶变换及加窗技术进 行谱估计，要求有较长的观测数据，否则，估计的方 差很大且分辨率低，根源还是傅立叶变换的缺点。针 对这一情况，多采用基于三阶累积量的非高斯AR模型 法进行参数化双谱估计。 与功率谱分析比较，运用基于高阶累计量的谱估 计算法估计信号，消除了高斯噪声的影响，使估计结 果更准确，并且保留了信号的相位特性，提供更多的 内在信

7、息。 第三节第三节 小波分析基础小波分析基础 小波分析包括小波变换到小波基的构造以及小波的应用一系列的知识， 本节简单地介绍一下小波分析的产生、发展、基本要素以及一维小波 变换，连续小波变换等小波基础。 一、小波的引入 小波分析是傅立叶分析最辉煌的继承、总结和发展。 1. Fourier1. Fourier变换变换 1822年，Fourier正式出版推动世界科学研究进展的巨著 热的解析理论（The Analytic Theory of Heat）。由于 这一理论成功地求解了困扰科学家150年之久的牛顿二体问 题微分方程，因此Fourier分析成为几乎每个研究领域科学 工作者乐于使用的数学工具，

8、尤其是理论科学家。目前， Fourier的思想和方法得到广泛应用。 2. Fourier分析的主要内容分析的主要内容 从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism），它把一 个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构 原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。 图11-1 傅立叶变换与棱镜 二、小波分析的发展历程二、小波分析的发展历程 1.1.小波分析起源与追踪小波分析起源与追踪 1981年，Morlet仔细研究了Gabor变换方法，对 Fourier变换与加窗Fourier变换的异同、特点及函数构 造做了创造性研究，首次提出了“小波分析”概念， 建立了以他的名字命名的

9、Morlet小波。 2. 多分辨分析及多分辨分析及Mallat算法的建立算法的建立 Mallat与Meyer创立多分辨分析和Mallat算法。 3. Daubechies小波的提出小波的提出 Daubechies建立了著名的Daubechies小波，这种小波是 目前应用最广泛的一种小波,不能用解析公式给出， 只能通过迭代方法产生，是迭代过程的极限。 三、小波分析的基本思想、基本原理与基本方法三、小波分析的基本思想、基本原理与基本方法 1 小波分析的主要内容小波分析的主要内容 小波基的构造与选择，快速小波算法 ,对小波变换本身的研究 ,对应用 场合的合理把握. 定义 函数(t)是小波函数，如果它

10、满足 （11-16） 或者 定义（11-16）对小波函数的要求非常宽松，只要具有一 定振荡性即某种频率特性即可。这就为小波函数的选择提 供了十分广阔的空间。小波函数（t）的平移和伸缩2- j/2（2-jt-k）|j,kZ 构成L2（R）的一组正交小波基。 2 小波函数小波函数 2 ( ) o Cd ( )0t dt 3 尺度函数尺度函数 定义函数是尺度函数，如果它满足条件 （） A，B为正常数。 （） kZ，k0，m0，1，.，L1。 （III） 尺度函数有两个重要作用：（1）它给出分析的起始点；（2） 它使得快速计算小波系数成为可能。 2 0(2) k Z AkB () (0 )1,(2)0

11、 m k ( )( ) (2) k Z th ktk 4 小波包小波包 不严格地讲，小波包就是一个小波函数与一个摆动振荡函数 的乘积。小波包的严格数学定义如下 : 定义: 设（t）, （t）分别为小波函数与尺度函数，g(n),h(n) 分别为高通滤波器与低通滤波器系数，g(n)=（-1）nh（1-n）， 令 (11-21) 于是有 (11-22) 则由 (11-23) 定义的函数n,n=2+1,=0,1,称为关于正交尺度函数 0= 的小波包。 0 1 () ()() () t tt t 00 10 ( )( )(2) ( )( )(2) n n th ntn tg ntn 2 21 ()(2)

12、 ()(2) n n h ntn g ntn 四、一维小波分析四、一维小波分析 1 小波变换小波变换 小波变换指信号与局部化特性良好的小波函数的内积， 即 。 设信号 ， 为母小波函数， 。 a是非零实数，b是实数。那么的小波变换为 (11-24) 如果为实函数，那么上式变成 (11-25) , ( ),( )( )( ) a ba b f ttf tt dt 2 连续小波变换连续小波变换 2 ( )( )f tL R( ) t 1 2 , ( )() a b tb ta a 1 2 , ( , )( , )( ),( )( )() ab t b Wf a bCWT a bf ttf t ad

13、t a 1 2 , ( , )( , )(),()() () ab t b Wf abCWT abf ttaf tdt a 假定 、 的窗函数的中心与半径分别为 ， ， 则 及其Fourier变换的窗函数中心与半径分别 为 ， ， 于是连续小波变换就形成了对时间t和频率w能同时局部化的 时间频率窗 这就是著名的连续小波变换时间频率窗。正因为如此，小 波可以在时频（t，w）两相精确定位，而被誉为数学的显 微镜。 * (,)t * (,) () tb a * (,)bat a * 1 (,) aa ( ) t ( ) 88 * 11 , ,b atab ata aaaa 3 离散小波变换离散小波变

14、换 设信号 取离散值 ， 为有限能量信号， 为母小波函 数， ，则离散式 ， 那么离散小波变换为： (11-27) ()f t( )f k( )f k ( ) t 2 , ( )2(2) m m m n ttn 2 , ( )2(2) m m m n kkn /2 ( , )2( ) (2) mm k DWTfDWT m nf kkn 4 一维一维Mallat算法算法 设尺度函数为 ，对应的小波函数为 ，满足尺度方程 其中 ，同时可以构造相应的MRA系统。那么 信号 在尺度j下所平滑的信号 为 (11-29) ( ) x ( )( ) (2) ( )( ) (2) n n xh nxn xg

15、nxn 1 ( )( 1)(1) n g nhn ()f x d j A f /2 , ( ),( )2( ) (2) djj jj k A ff xxf xx k dx ( ) x 在尺度j下的细节信号 为 (11-30) 信号分解的过程是j1尺度到j尺度的逐步分解过程，即对 信号从分辨率高到低的过程，具体是把 分解为 和 ，总结如下： (11-31) j D f /2 , ( ),( )2( ) (2) jj jjk Dff xxf xx kdx 1 d j A f d j A fj D f 1 1 (2 ) (2 ) dd jj k d jj k A fh kn Af D fg kn A

16、f 第五节第五节 独立成分分析技术独立成分分析技术 一、ICA的定义 假设我们获得了n个线性混合信号： j=1n （11-34） 即： （11-35） 混合向量x1，xn构成矩阵X，s1，sn构成矩阵S，混合矩 阵A的元素是aji。那么（11-35）式可以写成： （11-36） 方程（11-36）的统计模式被称为独立成份分析或ICA模式， 1 122 . jjjjnn xa sasa s 1 n jjii i xas XAS 图11-5 ICA混合模式 图11-6 分离独立成份模式 二、独立性二、独立性 数学上，独立性可以由概率密度来解释。令p(y1,y2)为联 合概率密度函数，p(y1)为边

17、缘概率密度函数，那么： （11-38） 同理可得p(y2)。变量y1和y2相互独立，当且仅当满足下式： （11-39） 11122 ()(,)pypyydy 121122 (,)()()p y yp y py 四、四、ICA估计的原理估计的原理 非高斯就是独立的非高斯就是独立的 直观地讲估计直观地讲估计ICA模型的关键就是非高斯性模型的关键就是非高斯性。 2. 峰度值（峰度值（Kurtosis） 经典的测量非高斯性就是峰度值（kurtosis）或四阶累 积量。y的峰度值定义为： （11-43） 3. 负熵（负熵（Negentropy）和负熵近似（）和负熵近似（Approximations of

18、 Negentropy） 负熵负熵 在某些简单假设下熵就是随机变量的编码长度熵就是随机变量的编码长度。 离散随机变量Y的熵H 定义为： （ 1 1 - 46） ai是Y的可能值。 422 ( )3( )kurt yE yE y ( )()log() ii i H YP YaP Ya 随机向量y及其密度f(y)的微熵定义为： （11-47） 信息理论的一个基本结论是：在所有相同方差下的随机变在所有相同方差下的随机变 量中，高斯变量有最大的熵量中，高斯变量有最大的熵。 为了让获得的非高斯性测量一直为非负值（高斯变量为0）， 我们经常采取对微熵的形式做一修改的办法，称为负熵。 负熵J定义为： （11

19、-48） ygauss是与y具有同样协方差矩阵的高斯随机变量。可见负熵 一直非负，当且仅当y是高斯分布是为0。负熵的另一个 有意义的特性是它对可逆线性变换无变化。 ( )( )log( )H yfyfy dy ( )()( ) gauss J yH yH y (2) 负熵近似负熵近似 4 互信息量最小化互信息量最小化 互信息量互信息量 (3) 互信息量定义的互信息量定义的ICA (1) 既然互信息量是随机变量独立性的信息理论测量法， 我们就可以用之作为寻找ICA变换的判句。 近似负熵的经典方法是采用高阶矩。 采用微熵的概念定义m（尺度）随机变量的互信息量为： （11-53） 互信息量是随机变量

20、间独立的自然测量。事实上它等效于联合 密度f(y)和边缘密度乘积之间的著名Kullback-Leibler分散。它它 为零，当且仅当变量统计独立为零，当且仅当变量统计独立。 12 1 ( ,.,)( )( ) m mi i I y yyH yH y 5 极大似然估计极大似然估计 一个更常用的估计ICA模型的方法是极大似然估计，它与信息 极大原理密切相关。 (1) 信息极大原理信息极大原理 假设x是输入，输出的格式是，是一些非线性尺度函数，wi是 神经元的权向量。使输出的熵最大化： （11-58） 如果选择得当，这个框架也能够估计ICA模式。可以证明网络网络 熵最大化或信息极大原理相当于极大似然

21、估计熵最大化或信息极大原理相当于极大似然估计。显然极大 似然估计ICA的原理就是求解神经网络输出的最大熵，也是 一个最优化问题。 (2) 极大似然估计与互信息量的联系极大似然估计与互信息量的联系 211 (),.,() TT nn LHw xw x 为了考察极大似然估计和互信息量间的联系，考虑对数似 然（方程11-57）的期望： （11-59） 如果fi等于的实际分布（因为我们起先假设它为si的分布）， 上式左边第一项等于，因此似然等于负的互信息量加一 个额外的常数。 实际应用时，这种联系更强烈。因为实际应用中我们不 知道独立成份的分布。作为极大似然估计的一部分，用 一个合理的方法估计 的密度，并用它作为si的密度 的近似，此时似然法和互信息对于所有的实际目的是等 效的。 1