第5章A 应力莫尔圆(2014)

1、9.3 为什么叫莫尔圆为什么叫莫尔圆 ( ？ 首先由首先由Otto （1835-1918）提出）提出 ( 又是一位工程师又是一位工程师) 来由来由 一点无穷多个微元上的应力一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？能否在一张图上表示？ 或者说，或者说， a s a 把把a a看成参数，看成参数，能否找到能否找到 与与 的函数关系？的函数关系？ aa ss aa ssss s a a 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 2 2 2 2 22 xy yxyx ss ss s aa 往下是关键的一步往下是关键的一步-平方和相加，得平方和相加，得 一、斜截面应

2、力一、斜截面应力 y 0 s sy xy s sx s sa a a a a a x n s sx xy s sy x y O 在在 - - 坐标系中，坐标系中， 与与 落在一个圆上落在一个圆上 （应力圆应力圆 或或 莫尔圆莫尔圆） a s a a s a 圆心？圆心？ 半径？半径？)0 , 2 ( yx ss 2 2 2 xy yx R ss 二、应力圆的画法二、应力圆的画法 第一种画法第一种画法 （1）在）在s sa a轴上作出轴上作出 A0(s sx,0), B0(s sy,0) （2） A0, B0的中点为圆心的中点为圆心C （3）过）过A0垂直向上取垂直向上取 xy 得得 A， CA

3、为半径为半径 0 s sa a a a C A0 B0 A B y s x s （4）以）以C 为圆心、为圆心、CA为半径为半径 画圆画圆 第二种画法第二种画法 （1 1）坐标系内画出点坐标系内画出点 A( (s s x， xy) B (s sy， yx) （2 2） AB与与s sa a 轴的轴的 交点交点C是圆心是圆心 （3 3） 以以 C 为圆心为圆心 以以AC为半径为半径 画画 圆圆 应力圆应力圆 或或 莫尔圆莫尔圆 s sx xy s sy x y O n s sa a a a a a A(s sx , xy) O s sa a a a C B(s sy , yx) x 2a a n

4、 D( s sa a , a a) ) 以上由单元体公式以上由单元体公式 应力圆（原变换）应力圆（原变换） 下面寻求：下面寻求： 由应力圆由应力圆 单元体公式（逆变换）单元体公式（逆变换） 只有这样，应力圆才能与公式等价只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？ 为什么说有这种对应关系？为什么说有这种对应关系？ a a a a a a s ss s a aa aa aa a a aa aa aa a 22 2 2222 2222180 00 00 cossin cos)cosR(sin)cosR( )sin(R)(sin

5、RDE xy yx o a a s sa a a a s ss ss ss s a aa aa aa a s ss s a aa a s ss s a aa a s ss s 22 22 2222 2 22 2 22180 2 00 0 0 sincos )sinsincos(cosR )cos(R )(cosR ECOCOE xy yxyx yx yx oyx 0 s sa a a a C A(s sx , xy) B(s sy , yx) x 2a a n D( s sa a , a a) ) E 2a a0 0 单元体与应力圆的对应关系单元体与应力圆的对应关系 （1 1）单元体的右侧立面

6、）单元体的右侧立面 应力圆的应力圆的 A A 点（点（2 2a a 0 ） （2 2）斜截）斜截面和面和应力应力( (s s a a ， a a) 应力圆上一点应力圆上一点 D D 点点 和坐标和坐标( (s s a a ， a a) （3 3）单元体上夹角单元体上夹角a a 应力圆上应力圆上 CA 与与 CD 夹角夹角 2a a 且转向一致且转向一致 s sx xy s sy x y O n s sa a a a a a O s sa a a a C A(s sx , xy) B(s sy , yx) x 2a a n D( s sa a , a a) ) 2a a0 0 （4 4）主）主单

7、元体上单元体上s s 1所在面法向所在面法向 是由是由x x 轴轴逆时针转逆时针转 a a 0 s s a a 轴上应力圆最右端轴上应力圆最右端 22 3 1 22 xy yxyx R OC s ss ss ss s s s s s ）（ 半径半径 四、应力极值四、应力极值 22 min max 2 xy yx R ss ）（ 半径 A(s sx , xy) max C O s sa a a a B(s sy , yx) x 2a a1 1 min 2a a0 0 s s1s s2s s3 五、平面应力状态的分析方法五、平面应力状态的分析方法 1 1、解析法、解析法 精确、公式不好记精确、公式

8、不好记 7 7个个 一般公式一般公式2 2个（正、切应力），极值应力个（正、切应力），极值应力5 5个个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力，（极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）主单元体方位角） 2 2、图解法、图解法 不必记公式、数值不精确不必记公式、数值不精确 有没有有没有 集二者优点集二者优点、避二者缺点避二者缺点 的方法的方法 ？ 我提出了这种方法我提出了这种方法 3 3、图算法、图算法 前半部前半部 画莫尔圆画莫尔圆 后半部后半部 看图精确计算看图精确计算 30080 s ss s , , yx 例例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体单元体上应力如图，

9、求出主应力，画出主单元体 30 80 单位：单位：MPa 80 30 s 1 s s3 s s O A (80, 30)80, 30) B C x s s y s s D 1、取、取 的中点的中点C为圆心为圆心 yx ,s ss s 以以 AC 为半径画莫尔圆为半径画莫尔圆 2、算出心标、算出心标 0C = -40，半径，半径 3、算出主应力、切应力极值、算出主应力、切应力极值 50 22 DCADACR 4、算出方位角、算出方位角 MPa MPa RC 90 10 0 3 1 s s s s MPaR - minmax 50 5、画出主单元体、画出主单元体 （1）A点对应于右垂面点对应于右垂

10、面 （2）右垂面逆时针转）右垂面逆时针转 s 1 s s3 s s O A (80, 30)80, 30) B C x s s y s s D o a a2 5771 2 8636180 8636 0 . . . DC AD tg arcACD a a 30 80 单位：单位：MPa 80 2 s s 1 s s o a a 得主单元体的最大得主单元体的最大 拉应力所在的面拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的）垂直做主单元体的 另一个面另一个面 o a a 例例 求图示单元体的主应力及主平面的位置求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位：单位：MPa) 解：解： (1)(1)主应力坐标系如

11、图主应力坐标系如图 (3)(3)AB的垂直平分线与的垂直平分线与s sa a 轴的交点 轴的交点 C 即即是圆心，是圆心， 以以 C 为圆心，以为圆心，以 AC为为 半径画圆半径画圆 应力圆应力圆 )325,45(B )325,95(A (2)(2)在在坐标系内画出点坐标系内画出点 s s 1 s s2 a a0 45 325 325 95 150 s s3 s s1s s2 B A C s sa a a a (MPa) (MPa) O 20MPa 0 2a a (4)(4)按按图计算图计算 心标心标 和和 半径半径 OC OC = (= (A A 横坐标横坐标 + + B B 横坐标横坐标)

12、/2)/2 = 70 = 70 0 20 120 3 2 1 s s s s s s ROC ROC 60 2 0 FC AF tg arca a 45 325 325 95 150 s s 1 a0 s s2 A B (5)(5)计算计算主应力主应力及及方位角方位角 50 22 DCADACR s s3 s s1s s2 BA C s sa a a a (MPa) (MPa) O 20MPa 0 2a a E D F 30 0 a a (6)(6)在在图上画图上画主单元体主单元体、主应力主应力 9.4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线 z z xy Ib QS z x I M

13、y s 梁发生横力弯曲，梁发生横力弯曲， M与与Q 0，试确定截面上，试确定截面上 各点主应力大小及主平面各点主应力大小及主平面 位置位置 单元体上：单元体上： 22 3 1 22 xy xx ss s s ）（ q s s1 1 5 5 s s3 3 1 1 s s3 3 s s1 1 3 3 45 2 2 s s1 1 s s3 3 a0 s s3 3 4 4 s s1 1 a0 s s A1A2D2D1 CO A2 s s D2 D1 C A1 O 2a0 D2 s s D1 C D1 O 2a0= 90 s s D2 A1 O 2a0 C D1 A2 s s A2D2D1 C A1 O

14、 主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories) ) 主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位 实线表示主拉应力迹线实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线虚线表示主压应力迹线 主应力迹线的画法主应力迹线的画法 x y 1 1 截截 面面 2 2 截截 面面 3 3 截截 面面 4 4 截截 面面 i i 截截 面面 n n 截截 面面 b a c d q s s1 s s3 s s3 s s1 9.5 三向应力状态三向应力状态应力圆法应力圆法 x y z

15、 s s2 s s1 s s3 1 s2 s 3 s a s a 1 1、空间应力状态、空间应力状态 2 2、三向应力分析、三向应力分析 （1 1）弹性理论证明，图弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上单元体内任意一点任意截面上 的应力都对应着图的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点的应力圆上或阴影区内的一点 （2 2）整个单元体内的最大剪应力为整个单元体内的最大剪应力为 2 31 max ss s s1 x y z 图图a s s2 s s3 图图b max 1 s2 s 3 s a s a 例例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa

16、） 解：解： (1)(1)由上图知由上图知 y z面为主面为主 面之一面之一50 1 s （2 2）建立应力坐标建立应力坐标 系，画应力圆系，画应力圆 27 50 58 3 12 1 s s s ss s s s 44 max x y z 5040 30 A B C (M Pa) s sa a （M Pa ） a a s s1s s2s s3 max 复杂应力状态下的单元体的变形复杂应力状态下的单元体的变形 ） 一、单拉下的本构关系一、单拉下的本构关系 E x x s xy E s s xz E s s 二、纯剪的本构关系二、纯剪的本构关系 G xy xy )x,y,zi,j ( ij 0 )

17、x,y,zi ( i 0 0 zxyz x y z s sx x y z x y 三、复杂状态下的本构关系三、复杂状态下的本构关系 依叠加原理依叠加原理, ,得得 ) zyx z y x x E EEE sss s s s 1 ) xzyy E sss 1 ) yxzz E sss 1 G xy xy G yz yz G zx zx ) zyxx E sss 1 x y z s sz s sy xy s sx 主单元体本构关系主单元体本构关系 四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系 0 zxyzz s ) 1322 1 sss E ) 1233 1 sss E ) 3211

18、 1 sss E yxx E s 2 1 xyxy G xyy E s 2 1 s s1 s s3 s s2 用用 应力应力 表示表示 应变应变 的本构关系的本构关系 ) 12 E G 五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系 dz dy dxV )(dz dy dx )(dz)(dy)(dxV 321 3211 1 111 321 1 V VV 体积应变：体积应变： )( 21 )( 21 321 zyx E E sss sss 代入本构关系，得到代入本构关系，得到 体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系: : s s1 s s3 s s2 dx dz dy

19、 例例 构件表面上某点的两个面内主应变为构件表面上某点的两个面内主应变为 1=240 10-6 2= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求该点的求该点的 主应力及另一主应变主应力及另一主应变 0 3 s s自由面上自由面上解解 : MPa.).( . E 3441016030240 301 10210 1 6 2 9 21 2 1 s s 故为平面应力状态故为平面应力状态 MPa.).( . E 3201024030160 301 10210 1 6 2 9 12 2 2 s s 1 s 2 s ) 6 6 9 1322 10334 10344320 10210 30 1 .

20、 ).( . E s ss s s s MPa. MPa. 320 0 344 3 2 1 s s s s s s 例例 为测量薄壁容器所承受的内压力为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片，用电阻应变片 测得容器表面环向应变测得容器表面环向应变 t = =350l06；容器平均直径；容器平均直径 D = 500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求：求： 1.1.横截面和纵截面上的正应力表达式横截面和纵截面上的正应力表达式 2.2.内压力内压力 p p p x s s1 1 s sm l p O D x AB y 1 1、轴向应力、轴向应力( L( Long

21、itudinal stress) ) 解：容器的环向和纵向应力表达式解：容器的环向和纵向应力表达式 容器截开后受力如图所示容器截开后受力如图所示, ,据平衡方程据平衡方程 )4 2 DpD m s s s 4 pD m p s sm s sm x D 纵截面将容器截开后受力纵截面将容器截开后受力 2 2、环向应力、环向应力( (Hoop stress) ) )Dlpl t s2 s 2 pD t 3 3、内压（以应力应变关系求之）、内压（以应力应变关系求之） ss2 4 1 E pD E mtt MPa. ).(. . )(D E p t 363 250250 10350010102104 2

22、 4 69 s st s sm 外表面外表面 y p s s ts s t D q q dq q )d 2 (qDlp z O 9.7 9.7 变形位能变形位能 332211 2 1 2 1 2 1 sssu )( 3 1 321 ssss m s s2 s s3 s s 1 s s3 -s sm s s 1-s sm s s2-s sm )( E a321 21 s ss ss s ) 312321 2 3 2 2 2 1 2 2 1 sssssssss E s sm s sm s sm 为了剖析为了剖析变形位能变形位能同同体积变形体积变形和和 形状形状变形变形的关系的关系，引入引入 为什么？为什么？ 因因是体积应变是体积应变 按迭加原理得左图按迭加原理得左图 交互项交互项 应力迭加没有交互项，位能迭加有应力迭加没有交互项，位能迭加有 )( E a321 21 s ss ss s 0c因因 故第故第3 3项项 应力状态应力状态同同 体积应变体积应变 无关无关，只与，只与形状变化形状变化 有关，称为有关，称为 畸变畸变（或（或偏斜偏斜）应力应力 相