定比分点的向量公式及应用

1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ,设0百=彳，Op2=b，若pP =九丽，则 1 - .- -OPab。1 +扎 1 +人 1 1 1 特别地，当，=1时，即P为线段PP2的中点，则有OP a b。2 2用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值：例1 ：已知A( 2,1)，B( 3, -1)及直线I : y = 4x - 5，直线AB与I相交于P点，求P点分AB的比二解：设P(x, y)，则由AP = PB，得1 1 3. 1 -(x,y)(2,1)(3T=(,)，1 + k1 +

2、扎1 +扎1 +扎又 p点在直线|上，.1 -，4(1 3-)51 !：； 1 -.、1 - o3例2 :如图所示，在厶ABC中，D为边BC上的点，且 BD =kDC，E为AD上的一点，且解：CF 二 FA ,BF 二1BC1 1 又DE=l EA , BE1BDl BA，1 l1 +l而BDk二 kDC 二BC，1 +k- BEkBC -l BA，(1l)(1 k)1lDE =l EA，延长BE交AC于F,求F分有向线段CA所成的比BA，BE =tBF，而 tBF B、E、F 共线，.设tBAk BC 丄 BA BC - BA(1l)(1 k) 1 l 1 1 -t _ k(1+l)(1+k

3、)，解得丸=l(1*k) t lk.L 一 ri、求直线上点的坐标例3:已知点A( _1,_1)， B(2,5)，点C为直线AB上一点，且 AC - -5BC，求C点的坐标分析：先求岀 C点分AB的的值，再利用定比分点的向量公式求岀点 C的坐标 一ac解：AC - -5 BC ， 5，CB利用定比分点的坐标公式有1 一 5 153OC OA OB (-1,-1)(2,5) =( ,4)。66 6623 C点的坐标为(一,4)。21 一 一例 4 :已知 A(2,3)，B(_1,5)，且 AC AB，AD = 3AB，求点 C，D 的坐标3分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C，D的

4、坐标。解：设 C(X1, yj， D(X2, y2)，ACCB根据定比分点的向量公式有OC.OA OB1 +九2(X1,yj 二-11下(2,3)2(-1,5)21(2,3) - (-1,5)33115同理由AD =3AB得、2ADDB根据定比分点的向量公式有0A *，32： (-15) = -2 (2,3) 3 1,5)= (一7,9) 1 321-(X2,y2)=3 (2,3)1-2点C的坐标为(1,11) , D点的坐标为(-7,9)。3三、证明三点共线例 5:已知点 A(a,b c) , B(b, c a) , C(c, a - b)，求证：A、B、C 三点共线证明：设C/(c, y)

5、在AB 上, C/分AB的比为，则 a b ： c cacc -b二 C/ (c, y)与 C(c, a b)重合，由题设知C在AB 上, A、B、C三点共线。四、求字母系数范围例6:已知点 A(3,3)，B(-1,5)，次函数y=kx1的图象与线段 AB有公共点，求实数 k的取值范 围。解：设P(x, y)为一次函数图象与线段AB的交点，把 P看作AB的定比分点，其定比为，则有 一0，由定比分点公式有1,13-， 3 亠 5，OPOAOB(3,3)(-1,5)=(,)，1 +人1 +丸1 +扎1 +九1 +九1 +丸而p点在函数y =kx -1图象上，例7:若直线y - -ax -2与连接P

6、(-2,1)，Q(3,2)两点的线段有公共点，求实数a的取值范围3 53- 1，k1 1 - 3k - 2解得，內十丨、/u ?k +43k -2 一 2-0，即 k或 k ： 一4，k 43而当P点与B重合时，k -4也适合。2- k - -4 或 k -。33 4解：当直线过 P点时，a，直线过Q点时，a =2 3当直线与线段 PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点 M(x, y)分PQ的比为，由定比分点公式有OM1八1厂0P厂。厂(引厂(3,2)=(12)1 M点的坐标为严巴),1 +扎 1十丸又直线过点 M,.12-2 3a2，1 - -1 2a 33a +4又点M在线段PQ上知.0 ,

7、4:-或 a3竺兰.0，解得3a 44 3a或a _ 3 2五、解决平面几何问题：例8 :如图所示，在平行四边形APABCD中，P点在线段 AB上，且m , Q在线段 AD上，且PBAQQDBQ与CP相交于R,求PR的值RC分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示岀来，再求解解：设 BA =a，BC =b，PR = RC，PRRC由题意有 AP = mPB， AQ = nQD，_ 1 一 1 1则 BP PABAa，m m 1 m 11n 1 nnBQBA -BDa(a b) - ab，1 n1n1 n1 n1 +n1Z-1BRBP -BCab，1 1十Z(i )(1m)1十扎

8、又B、R、Q三点共线，.存在实数 t使BQtBR，ta 十 一b = a(1 )(1 m) 1t(1 )(1 m)=1，且1 +丸nPRn(1m)(1 n)，即 RC 一(1m)(1 n)2例9:设直角三角形 AOB斜边的三等分点为 D、E。求证| OD |2 | OE |2 | DE |2| AB |23相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点 O为原点，直角边 建立直角坐标系，如图设点 A(a,0)，点 B(O,b) , D(x, y)1则D分AB的比为袞=丄，2由定比分点的向量公式得一 2 1 点D坐标为（一 a, -b）33一 1 2同理点E坐标为（一a,b）,33OA、OB所在

9、直线为X轴,由两点间距离公式，得|OD |2 冷令，|OE|S 9999，|DE|b2),- |OD |2 |OE |2| DE |2 = 2a2322222|OD | |OE|DE |AB| oABC，求证：BG CG .BE 一 CF 一 3例10 :如图，已知AG相交于一点G ,且竺AD：ABC的三条中线2。分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为向量，在平面内任取一点 O为向量的始点，将 OA、OB、OC设岀。AD、BECF证明：如图，在平面内任取一点0,设 OA = a， OB = b，OC = c，又设G1 为 AD上一点，且AG - 2G1D，则D 为 BC 中点， OD (b e),24 r