2018版高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2.3 指数函数与对数函数的关系学案 新人教B版必修1

1、3.2.3指数函数与对数函数的关系1了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系(重点)2利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异3利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题(难点)基础初探教材整理1指数函数与对数函数的关系阅读教材P104P105内容，完成下列问题1反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量称这两个函数互为反函数(2)反函数的记法：函数yf(x)的反函数通常用yf1(x)表示2指数函数与对数函数的关系(1)指数函数yax与对数函数ylogax互

2、为反函数(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图象关于yx对称1判断(正确的打“”，错误的打“”)(2)函数ylog3x的反函数的值域为R.()(3)函数yex的图象与ylg x的图象关于yx对称()【答案】(1)(2)(3)【解析】所以g(x)的图象一定过点(1,0)【答案】(1,0)小组合作型指数函数与对数函数图象之间的关系(1)已知a0，且a1，则函数yax与ylogax的图象只能是()ABCD(2)当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象是图中的()AB.CD.(3)将y2x的图象_，再作关于直线yx对称的图象，可得到函数ylog2(x1)的图象()A先向上平移一

3、个单位长度B先向右平移一个单位长度C先向左平移一个单位长度D先向下平移一个单位长度【解析】(1)yax与ylogax的单调性一致，故排除A、B；当0a1时，排除D；当a1时，C正确(2)因为a1时，yax,00，(2)由y5x1，得x，f1(x)(xR)求函数的反函数的主要步骤1从yf(x)中解出x(y)2将x，y互换3标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”再练一题2求下列函数的反函数(2)y2x1.【解】(2)由y2x1，得x(y1)，对换x，y得yx，又xR时，yR，y2x1的反函数是yx(xR).反函数性质的应用已知x1是方程xlg x3的一个根，x2是方程x1

4、0x3的一个根，则x1x2的值是()A6B3C2 D1【精彩点拨】两方程分别化为：lg x3x,10x3x.令f(x)lg x，g(x)10x，h(x)3x.把三个函数图象画在同一坐标系中，则x1、x2分别是直线h(x)与f(x)、g(x)图象交点的横坐标，注意f(x)与g(x)互为反函数【解析】将已知的两个方程变形得lg x3x,10x3x.令f(x)lg x，g(x)10x，h(x)3x.如图所示记g(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)，f(x)与h(x)的交点为B(x2，y2)，利用函数的性质易知A、B两点关于直线yx对称，便有x1y2，x2y1的结论将A点坐标代入直线方程，得y13

5、x1，再将y1x2代入上式，得x23x1，即x1x23.故选B.【答案】B解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决.再练一题3若把方程中的“lg x”改为“log2x”，“10x”改为“2x”，再求x1x2的值【解】将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a是指数函数y2x的图象与直线yx3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx3交点B的横坐标由于函数y2x与ylog2x互为反函数，所以它们的图象关于直线yx对称，由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)而A、B都在

6、直线yx3上，ba3(A点坐标代入)或ab3(B点坐标代入)，故ab3，即x1x23.探究共研型对数函数单调性的综合应用探究1对数函数ylogax(a0，a1)的定义域是什么？其单调性如何？【提示】定义域为(0，)当a1时，函数ylogax在(0，)上单调递增，当0a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于()Alog2x B.C D2x2【解析】函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2，故f(x)log2x.【答案】A3已知函数f(x)2x1，则f1(4)_.【解析】由2x14，得x1，f1(4)1.【答案】14设函数f(x)log2x3，x1，)，则f1(x)的定义域是_【解析】x1，log2x0，log2x33，f1(x)的定义域为3，)【答案】3，)5已知函数f(x)axb(a0且a1)的图象过(1,7