培优专业题材4无理数的整,小数部分的应用

1、,.培优专题 4 无理数的整、小数部分的应用实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题例 1 a 为17 的整数部分， b 为17的小数部分，求a-b的值分析 根据算术平方根的概念可知：16 17 25即 417 5 从而有：a=4 ，b= 17 -4 解：根据题意得：16 17 25 即： 4 175a=4 ， b=17-4故 a-b=4- （17-4 ） =8-17 练习 11 设19 =a ， b 是 a 的小数部分，试

2、用b 的代数式表示a ，并求 a-b 的值,.2 设7 的小数部分为b ，求（ 4+b ） b 的值3 27 的整数部分是a， 3 65 的整数部分是 b ，则 a-b=_ 例 2若 5+11的小数部分为a ，5- 11 的小数部分为b ，则 a+b的值是多少？分析无理数5+11和5- 11是无限不循环小数，利用91116 ，即 3 11 4这一点，是解这类题的突破口解：3114 5+11的整数部分为8 ，5-11的整数部分为 1则 5+11 的小数部分为11-3 ，5-11的小数部分为 4-11a+b=11 -3+4- 11=1 练习 21 若 9+13 与 9-13 的小数部分分别为a 与

3、 b ，则（ a+3 ）（ b-4 ）=_2 已知 9+7 与 9-7 的小数部分分别为x、 y，试求 3x+2y的值,.3 已知 7+ 3 9 与 7- 3 9 的小数部分分别为m 、 n ，试求（ m+n ）3 的值例 3若1a，小数部分是 b ，则 a2 + （1+ 7 ） ab=_的整数部分是37分析 先作分母有理化，将原式转化为a b 的形式，再分别确定其整数、?小数部分的取值，最后代入求值解：由1=17 ）3（ 3+7227353+76 2.517）3（ 3+2即 a=2 ,.1b=（ 3+17 ）-22=1（ 7-1）2则： a 2+ （ 1+7 ） ab=2 2+ （1+7）1

4、 （7 -1 ）2=10 2练习 31设 x 是1的整数部分，则x2004 -2x 2003 +x 2002 =_7221的整数部分为a ，小数部分为 b ，则 b a =_若3113设 m 为136m 2 =_的小数部分，则153例4若11622 的整数部分为 a，小数部分为 b ，试计算： a+b+ =_b分析 将被开方数11-6 2 配方，构造成完全平方式（3- 2 ） 2，再化简根式， ?然后分析整数部分和小数部分解：1162=3-2.13-2 2a=1 ， b=3-2 -1=2-2 a+b+22+2=1+2-b22,.=1+2-2 +2+2 =5 练习 41若 198 3 的整数部分

5、是a ，小数部分是b ，则 b a=_2已知2a，小数部分是b ，求 a 2+ab+b 2 的值的整数部分是83 73 若 a 表示实数 a 的整数部分，则 1等于（）1667A1B2C3D41例 5 设 m=5 +1 ，那么 m+的整数部分是 _m1分析 将 m=5 +1 代入式子 m+进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注m意无理数的取值范围,.解：m=5+1 ， 1 =1= 1 （5-1）m 5 1 4m+15+1+1(5-1)=553=44m2.2 2 52.3 2故 2.252.352.2355352.33444即14m+114.54m41因此 m+的整数部分是 3 m练习 51

6、设 a 为35 -35 的小数部分， b 为63 3 -633 的小数部分，则 21的值为（）baA 6-2 +1B6 +2 -1C 6-2 -1D 6+ 2+12 恰有 35 个连续正整数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数是 （）A17B 18C35D363 已知24的整数部分为a，小数部分为abab31b ，求-a的值abb,.答案 :练习 11 解： 419 5 ， 19 的整数部分为 4 即 a=4+b ，故 a-b=4 2 解：根据题意得：479即2 73 7 的整数部分为 2 b= 7 -2 （4+b ） b= （ 4+7 -2）（7-2）=（7+2）（7-2）=33

7、解：25 2736 ，5276 即 a=5 又3 643653125，4 3655即 b=5 故 a-b=5-4=1练习 2,.1 解： 3134，9+13 的整数部分是12 ，9-13 的整数部分是 59+13 的小数部分 a=13-3 9-13 的小数部分 b=4-13故（ a+3）（ b-4 ） = （13 -3+3）（ 4-13 -4 ） =-13 2 解： 273，9+7的整数部分是 11 ，9-7的整数部分是 6 9+7的小数部分 x=7-2 ，9-7的小数部分 y=3-7故 3x+2y=3 （ 7 -2 ） +2 （ 3-7 ） =7 3解： 2 3 9 37+ 3 9 的整数部

8、分为97- 3 9 的整数部分为4则 7+ 3 9 的小数部分 m= 3 9 -2 7- 3 9 的小数部分 n=3- 3 9故（ m+n ） 3= （ 3 9 -2+3-39）3=1练习 3,.1 解：由117+2），72= （3而 273，47 +25417+2 ）5 （333x=1 故 x2004 -2x 2003 +x 2002 =0 1111 -3 ），2 解：3= （112而3 11 4，011 -31，01（ 11-3） 1221（11 -3 ）则 a=0 ， b=2故 b a =1 3 解：1=115+3 ），15（36而 3154 ，615 +3711 （15 +3 ）7 6

9、6m=115 +3 ） -1=115 -3 ）（66,.故 36m 2=24-615 练习 41 解：1983 =4-3 ，a=2 ， b=2-3b a = （2-3 ）2=7-43 2 解：2=422831667(37) 23=3+ 7，7753+762的整数部分a=5 ，小数部分b=7 -2 83 7故 a 2+ab+b2 = （a+b ） 2 -ab=（5+ 7-2 ）2-5 （7-2 ）=16+67-5 7+10=26+7 3 解：1=11373 7216673267(7)2又273，53+76 即 2.517）3（3+2故 1等于 21667练习 51.解：35-35,.=1(6 25)1(6 2 5)=1( 5 1)21( 5 1)2= 2 ，2222 35 -35 的小数部分为2 -1即 a=2-1 又 63 3 -63 3 =11(12 6 3)(126 3)221 (33) 21 (33) 2=6 ，22 633 -633 的小数部分为6 -2即 b=6-2 故2121=6-2+1b=22a61故选 A2. 解：设其中最小的正整数为n2 ，则其算术平方根的整数部分为n ，?所以符合条件的最大的整数的算术平方根的整数部分小于( n1)2 ，即最大整数一定为（n+1 ） 2-1 依题意可得：（n+1 ） 2 -1-n 2 =34 即 n