大学工程力学复习.

1、总复习 1 对称弯曲正应力 引言引言 弯曲弯曲试验与假设试验与假设 对称弯曲正应力公式对称弯曲正应力公式 例题例题 对称对称弯曲正应力公式弯曲正应力公式 公式的建立 几何方面几何方面: d d)d( )( y y 物理方面物理方面: )()(yEy y 静力学方面静力学方面: (b) 0d , 0 A x AF , d (c) z A MMyAM (a) )( y Ey 结论结论 中性轴过截面形心中性轴过截面形心 z EI M 1 z I My y )( 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（ z EI z W M max 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（ z W 正正应力公式

2、：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率： )()(yEy 0d A A MAy A d pmax , 对称弯曲对称弯曲, 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 惯性矩）惯性矩）（ z I 应用条件：应用条件： 总总 结结 假设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面综合考虑三方面 y y )( 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 A z AySd 静矩（面积矩） 惯性矩 n i izz SS 1 n i izz II 1 A z AyId 2 C Ay 截面对截面对z轴的轴的静矩静矩 截面对截面对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩 n i Cii yA 1 A y AzSd C Az Ci n i i

3、y zAS 1 A y AzId 2 n i iyy II 1 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 矩形截面惯性矩 max y I W z z A z AyId 2 圆形截面惯性矩 AI A d 2 p z II2 p 642 4 p d I Iz 32 2 64 34 d d d Wz yby h h d 2/ /2- 2 12 3 bh 6 2 bh Azy A d)( 22 yz III p 2 12 3 h bh ii C i y A y A 解： 或：或： 4050300350 1005040050300 40050350 10040050 183.3mm cy 1 22 11222 3

4、2 3 2 94 + 50400 =+400 50-2+ 12 360 100 +360 100- 12 =1.73 10 mm zzz IIAaIA a （） 2 （） （500 183.33） （183.33 50） 3 对称弯曲切应力 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁与圆形截面梁的薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题例题 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 假设 t t (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布 狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁 (hb) x F b y

5、d d1 )( t t Sz(w w)面积面积 w w 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 FxbFxdd , 0 t t w w AFd w w Ay I M z d* z z I MS)(w w 弯曲切应力公式 bI SF y z z )( )( S w w t t x M bI S y z z d d )( )( w w t t x F b y d d1 )( t t z z I MS F )(w w y h y h bSz 22 1 2 )(w w 2 2 S 4 1 2 3 )( h y bh F yt t A FS max 2 3 t t 12 3 bh Iz 2 2 42 y h

6、b 2 SS 2 ()34 ( )1 2 z z F SFy y I bbhh w t 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 或： 33 4 4070 1143333.33 1212 z bh Imm S ( ) ( ) z i z F S y I b w t 中性层：中性层：中性层处： 4 1 ( ) =40 35 35/2=24500mm zC SAyw 3 S ( )50 1024500 26.79 1143333.33 40 z z F S MPa I b w t 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 4 1143333.33 z Imm 3 S ( )50 1012000 13.12 1143333

7、.33 40 z z F S MPa I b w t A点： 4 1 ( ) =40 10 30=12000mm zC SAyw 5 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 4 1143333.33 z Imm 3 S ( )50 1020000 21.95 1143333.33 40 z z F S MPa I b w t B点： 4 1 ( ) =40 50 10=20000mm zC SAyw 25 4 梁的强度条件与合理强度设计 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条件梁的强度条件 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 例题例题 梁的强度条件梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：

8、强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： max max t tt t t t 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 强度条件的应用 细长非薄壁梁细长非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁或梁段或梁段 ) ( maxmax t t max max max t tt t 梁的强度条件 对一般薄壁梁，对一般薄壁梁，还应还应考虑考虑 、t t 联合作用下的联合作用下的 强度强度问题问题（参见第（参见第 8 章中的强度理论）章中的强度理论） 合理安排约束 合理安排加载方式 8/6/4/FlFlFl 第 10 章

9、弯曲内力 直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系 剪力与弯矩剪力与弯矩 FS剪力剪力 M弯矩弯矩 剪力剪力作用线位于所切横截面的内力作用线位于所切横截面的内力 弯矩弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩矢量位于所切横截面的内力偶矩 正负正负符号规定符号规定 使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正向转动的剪力为正 使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正形的弯矩为正 使横截面顶部受使横截面顶部受 压的弯矩为正压的弯矩为正 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 由由 S SF

10、y = 0 计算计算 FS 由由 S SMC = 0 计算计算 M，C 为截面形心为截面形心 计算方法与步骤 剪力、弯矩方程与图 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 例题例题 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 )( SS xFF )(xMM FS , M 沿杆轴（沿杆轴（x轴轴）变化的解析表达式变化的解析表达式 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 2 ql FF ByAy qxFF Ay S )(0lx 2 x qxxFM Ay )(0lx qx ql F 2 S 2 22 x q x ql M 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 表示表示 FS 与与 M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化情况

11、轴）变化情况 的图线，分别称为的图线，分别称为剪力图剪力图与与弯矩图弯矩图 2 )( , 2 (0) SS ql lF ql F 二次抛物线二次抛物线 直线直线qx ql F 2 S 2 22 x q x ql M 画剪力图 画弯矩图 土建等类技术部门画法土建等类技术部门画法 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系 FS , M 与与 q 间的间的微分关系微分关系 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与 M 图图 例题例题 微分关系法要点微分关系法要点 FS, M 与与 q 间的间的微分关系微分关系 (a) 0)d(d 0 SSS FFxqF,Fy (b) 0d 2 d dd 0 S MxF x

12、 xqMM,MC q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d q 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意： 梁微段平衡方程 均布载荷下 FS 与 M 图特点 直直线线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线 q x F d d S S d d F x M q x M 2 2 d d 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与M 图图 例例 题题 例 10-4 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 斜线斜线 ql/8 0 ql2/16 ql/8 -3ql/8 ql2/16 0 解：1. 形状判断形状判断 2. FS 与与 M 计算计算 1 3 2 D D x

13、 l x 8 3l xD 2 8 3 28 3 8 3 lqlql MD 9ql2/128 3. 画画FS与与M图图 128 9 2 ql MD 第 9 章 扭 转 剪切基本定理 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 扭矩定义扭矩定义矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用并用 T 表示表示 符号规定符号规定按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 矢量方向与横截面外法线方向一致矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负的扭矩为正，反之为负 扭矩 例例 题题 例 1 MA=76 N m, M

14、B=191 N m, MC=115 N m, 画扭矩图画扭矩图 解：mN 76 1 A MT 0 2 C MTmN 115 2 C MT mN 115 max T 圆轴扭转应力 扭转试验与假设扭转试验与假设 扭转应力分析扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 例题例题 p d d GI T x d 2 p A AI p I T t t 极惯性矩极惯性矩 max t t p max W T t t R I W p p 抗扭截面系数抗扭截面系数 R I T I TR p p 公式的适用范围：公式的适用范围：圆截面轴；圆截面轴；t tmaxt tp 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩

15、与抗扭截面系数 d2d A A AId 2 p 空心圆截面空心圆截面 4 4 p 1 32 D I 实心圆截面实心圆截面 32 4 p d I 4 3 p p 1 16 2 D D I W 16 3 p d W D d 2/ 2/ 2 d2 D d 例例 题题 例例 2 已知已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，段，d=20mm；BC 段，段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。求各段最大扭转切应力。 A MT 1 4 3 o p 1 16 d W aMP7 .63 o i d d 解： p 1 max1, W T t t C MT 2 aMP9 .74 p 2

16、max2, W T t t 16 3 p d W 3 max1, 16 d M A t t )1( 16 43 0 max2, t t d MC 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 d2d A A AId 2 p 空心圆截面空心圆截面 4 4 p 1 32 D I 实心圆截面实心圆截面 32 4 p d I 4 3 p p 1 16 2 D D I W 16 3 p d W D d 2/ 2/ 2 d2 D d 圆轴扭转变形与刚度计算 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 例题例题 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 p d d GI T x x xGI xT d )(

17、)( d p x xGI xT l d )( )( p p GI Tl 扭转变形一般公式 GIp圆轴圆轴截面扭转刚度截面扭转刚度，简称简称扭转刚度扭转刚度 常扭矩等截面圆轴 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 p d d GI T x max p GI T 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角 注意单位换算注意单位换算: )/m( 180 m/rad 1 一般传动轴，一般传动轴， = 0.5 1 ( )/m 例例 题题 例 3 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2

18、m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度 解：1. 变形分析变形分析 mN 180 1 A MTmN 140 2 C MT rad 101.50 2- p 1 GI lT AB rad 101.17 2- p 2 GI lT BC BCABAC rad 1033010171101.50 2-2-2- . 2. 刚度校核刚度校核 p 1 1 d d GI T x p 2 2 d d GI T x 21 TT 因因 p 1 1max d d d d GI T xx 故故 m/ )( 43. 0 180 )m1010Pa)(3.010(80 mN 1

19、80 d d 412-59 max x 注意单位换算！注意单位换算！ 例 4 试计算图示圆锥形轴的扭转角试计算图示圆锥形轴的扭转角 解： 32 )( )( 4 p xd xI MT l x x dd d G M 0 4 12 1 d 2 1 32 3 2 3 1 12 11 )-(3 32 dd ddG Ml x l dd dxd 12 1 )( l x xGI T d )( p 公理公理1 1 力的平行四边形法则力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这力。合力的作用点也在该点

20、，合力的大小和方向，由这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。 合力合力( (合力的大小与方向合力的大小与方向) () (矢量和矢量和) ) 21R FFF 亦可用力三角形求得合力矢亦可用力三角形求得合力矢 静力学公理静力学公理 公理公理2 2 二力平衡条件二力平衡条件 使刚体平衡的充分必要条件使刚体平衡的充分必要条件 21 FF 最简单力系的平衡条件最简单力系的平衡条件 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条 件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。件是：这两个力的大小相

21、等，方向相反，且作用在同一直线上。 二力构件二力构件：只在两个力作用下只在两个力作用下平衡平衡的的刚体（不计重力）刚体（不计重力） 叫二力构件。叫二力构件。 对变形体来说，上面的条件只是必要条件。对变形体来说，上面的条件只是必要条件。 二力杆 说明说明：对刚体来说，上面的条件是充要条件；：对刚体来说，上面的条件是充要条件； 注意注意：二力构件是不计自重的。：二力构件是不计自重的。 对多刚体对多刚体 不成立不成立 二力杆二力杆(二力构件二力构件) : 受两力作用而平衡受两力作用而平衡 的构件或直杆。的构件或直杆。 特点或判断方法：特点或判断方法： 杆件上面没有力的作杆件上面没有力的作 用！而只是在两端点用！而只是在两端点 有一对大小相等、方有一对大小相等、方 向相反力的作用，仅向相反力的作用，仅 两个力，构成二力杆。两个力，构成二力杆。 AB A F1F2 F2 F1 B AB F1F2 二二 力力 杆杆 例例: 1 P水平均质梁水平均质梁 重为重为 ，电动，电动 机重为机重为