必修五第三章不等式教案

1、第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1使学生感受到在现实世界和日常生活中存有着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的相关基本性质研究不等关系；3通过学生在学习过程中的感受、体验、理解状况及理解水准，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提升学习质量。二、教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。难点：准确理解现实生活中存有的不等

2、关系. 用不等式（组）准确表示出不等关系。 三、教学过程（一）创设问题情境问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d。问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，能够售出8万本。根据市场调查，若单价每提升0.1元，销售量就可能相对应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”能够表示为不等式20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出

3、满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：练习：第74页，第1、2题。提问：除了以上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？归纳：文字语言与数学符号间的转换.文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于b,那么a-b是正数; 如果ab,则下列不等式成立的是（ C ） A B C D6，则的取值范围是（ B ）

4、 A BC D（四）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。（五）作业： 34 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要协助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学

5、生举一反三的逻辑推理水平，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？（，）提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有）1、一般地，对于任意实数

6、、，我们有，当且仅当时，等号成立。提问4：你能给出它的证明吗？证明： 所以 注意强调 （1） 当且仅当时, (2)特别地,如果 用和代替、，可得,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式的几何解释吗？ 练习、已知：求证： 例3、若， 比较的大小例4、当时，求函数的值域。例5、若实数满足求的最小值练习：教材P100面练习1题、2题。四：课堂小结：比较两个重要不等式的联系和区别 五：作业： 第二课时 基本不等式（二） 一、教学目标（1）知识与技能：能够使用基本不等式解决生活中的应用问题（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。（3）情感与价值：进一

7、步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性二、教学重点、教学难点教学重点：准确使用基本不等式教学难点：注意使用不等式求最大（小）值的条件三、教学流程（一）复习引入1基本不等式：如果如果a,b是正数，那么前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数2我们称的算术平均数，称的几何平均数.成立的条件是不同的：练习小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2，等号当且仅当ab时成立.（二）举例分析例1、（1）用篱笆围一个面积

8、为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（1）设矩形菜园的长为 m, 宽为 m,则 篱笆的长为2（）m由 ，可得 2（）等号当且仅当，所以，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，由 可得 ,可得等号当且仅当 所以，这个矩形的长、宽都

9、为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，所以可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当所以，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤实行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定

10、为函数；(2)建立相对应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)准确写出答案. 练习3：已知ABC中，ABC=900，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 （四）课堂小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不

11、等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。（五）作业： 第三课时 基本不等式（三）（一）教学目标（1）知识与技能目标1.熟练使用a2+b22ab和.2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题.（2）过程与水平目标了解使用的条件，熟练使用不等式中1的变换.（3）情感与态度目标通过掌握公式的结构特点，使用公式的适当变形，提升学生分析问题和解决问题的水平，培养学生的创新精神，进一步增强学生的实践水平.（二）教学重点：在使用中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.教学难点：的使用.（三）教学流程（1）复习：基本不等式（2）举例分析变形3： a,b是正数且2a+3b=

12、4,求ab的最值和此时a、b的值例2 a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值 。证法1：直接用公式 证法2：对1实行变换 练 习 课堂小结：课后作业： 33 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第一课时 二元一次不等式（组）与平面区域一、教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，协助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清

13、晰和准确。教学中也特别提醒学生注意表示区域时不包括边界，而则包括边界（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想二、教学重点、教学难点教学重点：灵活使用二元一次不等式（组）来表示的平面区域教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域三、教学设计（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12，从个人贷款中获益10。那么，信贷部应如何分配资金呢？提问：1这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？2设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，因为总资金为250000

14、00元，得到： 3因为计划从企业贷款中获益12，从个人贷款中获益10，共创收30000元以上，所以（12）+（10）4企业和个人贷款不能为负，所以解：分析题意,我们可得到以下式子 （二）概念1、二元一次不等式： 我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。2、 我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。3、满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.注意：有序实数对能够看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就能够看成直角坐标系内的点构成的

15、集合.例如二元一次不等式的解集为（三）问题： 二元一次不等式所表示的图形?在直角坐标系中,所有点被直线分成三类：一类是在直线上; 二类是在直线左上方的区域内的点;三类是在直线右下方的区域内的点.尝试：设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图中标出点P和点A.观察并讨论我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式.所以,在直角坐标系中,不等式表示直线左上方的平面区域.类似地, 不等式表示直线右下方的平面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画成虚线,表示区域不包括边界.结论：1、一般地, 在直角坐标系中,二元一

16、次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线. 2、二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即画线-取点-判断。当 时，常把原点（0，0）作为测试点。（四）举例分析例1、画出表示的平面区域（见教材第94页例1）分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特别是，当 时，常把原点（0，0）作为测试点。例2、画出表示的平面区域例3、用平面区域表示不等式组的解集分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

17、练习：1、教材P86面练习1、2、3题2、画出不等式组表示的平面区域并求该区域的面积。3、画出表示的平面区域（五）小结：（1）懂得画出二元一次不等式在平面区域中表示的图形（2）注意如何表示边界（六）作业： 第二课时 二元一次不等式(组)与平面区域 （二）一、教学目标（1）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题（2）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采

18、用多媒体教学可更好地促动教学双赢（3）情感与价值：培养学生的逻辑推理水平和抽象思维水平，增强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育二、教学重点、教学难点教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题三、教学过程（一）复习引入画出下列不等式组所表示的平面区域： 解：不等式表示直线及其下方的平面区域；不等式表示直线上方的平面区域；所以，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域（二）探究新知例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场实行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示

19、上述限制条件学段班级学生数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元)初中45226/班2/人高中40354/班2/人解：设开设初中班x个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有考虑到所投资金的限制，得到 即 另外，开设的班数不能为负，则 根据限制条件画出图形 （略）例2、教材P85面例3例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相对应的平面区域

20、。解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 在直角坐标系中画出平面区域。 总结：学生分组讨论后，对结果实行汇总时，老师要对学生展示的成果实行点评，针对学习过程中出现的常见错误给予指正。（三）练习：1、P86面第4题2、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相对应的平面区

21、域。解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得3、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（C ）或（四）小结：解线性规划的应用题时，（1）认真分清题意，将题目条件准确地转化为二元一次方程组，（2）根据不等式组画出平面区域（五）作业：33 简单的线性规划问题第一课时 简单的线性规划问题（一）一、教学目标(1)知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(2)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通

22、过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化水平，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(3)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣二、教学重点、教学难点教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解三、教学过程 （一）复习引入 1、某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所

23、有的日生产安排是什么？（1）设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可的二元一次不等式组：（2）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图3.3-9中阴影部分的整点。（3）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x、y满足不等式并且为非负整数时，z的最大值是多少？变形：把，这是斜率为，在轴上的截距为 的直线，当z变化时，能够得到一组互相平行的直线；的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经点P时截距最大平移通过平移找到满足上述条件的直线表述找到给M（4，

24、2）后，求出对应的截距及z的值（二）新课讲授1、概念引入（1）若，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x、y的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数。（2）满足线性约束条件的解叫做可行解，（3）由所有可行解组成的集合叫做可行域；（4）其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解（三）例题分析例1、设，式中变量x、y满足下列条件，求z的最大值和最小值。归纳解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；第二步：令z0，画直线L0；练习：P91面练习1题（1）解答线性规划问题的步骤：u 第一步：根据约束条件画出可行域

25、；u 第二步：令z0，画直线l0；u 第三步：观察，分析，平移直线l0， 从而找到最优解；u 第四步：求出目标函数的最大值或最小值.例2、求zxy的取值范围，使式中的x、y满足约束条件例3、.求zx2y2的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件：思考、已知点（x，y）的坐标满足则的最大值为 ，最小值为 。（四）课堂小结：了解线性规划问题的相关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解（五）作业： 3.3.2简单的线性规划问题（3）一、教学目标（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题（3）利用线性规划求代数式的取值范围。二、

26、教学重点、难点用画网格的方法求解整数线性规划问题三、教学流程（1）复习：练习1.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件：则z=10x+10y的最大值是：（ ）A. 80 B. 85 C. 90 D.95（2）举例分析例1、设满足约束条件组，求的最大值和最小值。解：由知，代入不等式组消去得，代入目标函数得，作直线：，作一组平行线：平行于，由图象知，当往左上方移动时，随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当经过时，当经过时，所以，例2、（1）已知，求的取值范围；（2）设，且，求的取值范围。解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，作一组平行线：，由图知由向右下方平移

27、时，随之增大，反之减小，当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，由和分别得，所以，（2），由（1）知，（3）、练习：教材P91面第2题思考题：已知的三边长满足，求的取值范围。解：设， 则，作出平面区域，由图知：，即四、课堂小结：1巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；2用画网格的方法求解整数线性规划问题。五、作业： 课题： 不等式复习小结（一）授课类型：复习课【教学目标】1会用不等式（组）表示不等关系；2熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法， 【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题。【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(