均值不等式的4种变形及其应用yqh

1、均值不等式的四种变形及其应用定理：如果a,b r,那么a2 b2 2ab (当且仅当a b取等号)。这个定理至少有四种变式。例如一第一种变式为2(a2 b2) (a b)2它是怎样用定理“如果 a,b r,那么a2 b2 2ab (当且仅当a b取等号)，”推导出来的呢？只要在么 a2 b2 2ab的两边同时加上 a2 b2可推出为2(a2 b2) (a b)2它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种 变式。例 1 设 a 0,b 0, a b 1 ,求证：后f 72m 2j2

2、。证明：(.2a 1 ,2b 1)2 2(2a 1 2b 1) 2 2(a b 1) 8所以证： 2a 1,2b 12 .2 o例2设x,y均为正数，且jx 万 10,求证:x-2y 200 (1987年列宁格勒数学奥林匹克试题).证明：用均值不等式的变形公式(a b)2 2(a2 b2)x . y 10,x 10 , y x (10 , y)2 2(100 y) 200 2y移项得x-2y 200.例 3 若 a,b,c r 且 a+b+c=1,求证：,401 j4b1 v4c 1 j21.证明：用三元均值不等式的变形公式 (a b c)2 3(a2 b2 c2)(,4a 1 一 4b 1

3、4c 1)2 3(4a 14b 14c 1) 21.两边开方得出4a 1,4b 1,4c 121例4 若 a,b,c,d r 且 a+b+c+d=1 求证：v401 j4b1 j4c 1 v4d1 4近证明：用四个变量均值不等式的变形公式(ab c d)2 4(a2b2c2d2)(.4a 1.4b 1,4c 1, 4d1)244(a b c d)432.两边开方得出所要证的结果2二笫二种变形2a b ob这个变形公式是如何证明的？用中文的数学语言如何表达？何时用这一变形公式？只要在定理a2 b2 2ab （当且仅当a b取等号）的两边同除以 b再移项即可得一 a2 一 形一 2a b。叙述“成

4、一个数的平方除以第二个数不小于第一个数的二倍减去第二个 b数”，证明分当式且分子是平方形式时，用此不等式来证明2卜2例1若a,b为正实数，求证a- a b.b a22a b bb又因为 2b a 两式相加得a222a 2b a b ab 2(a b) (a b) a b柯西不等式设ai,binr,(i 1,2,3, ,n)则有不等式(aq)2i 1nn(a：)(b：)成i 1 i 1立；当且仅当4kai，（i1,2, ,n）时等号成立.（证明从略）证明2：（用柯西不等式）构造两组数：2，、；46, .代入柯西不等式之中 b . a(a )2( b )2( b)2v b .、a(va)2 -a=

5、jb -b=va2 两边同除以 a b 推出 .b 、a2.2a bba例2 :a,b,c为正数，求证:,22b cca2证明1： a- 2abb,b- 2bc2 c c, a2 b22c a以上三式相加得证：里 一 b ca b c.证明2:用柯西不等式证明是很容易的.先构造两组数,一尸,； v b, c, ja代入柯西不.b v c . a等式之中(a )2( b )2b . c2( b)2 ( c)2 ( a) (a b c)2.2不等式之两边同除以（a+b+c）推出： bb2b c.例6若xi均为正数，i 1,2,3, ,n求证:2 刍x22x2x32xn 1xn2xnx1x2x1xn

6、 (1984年省市自治区联合数学竞赛题）证明1:x22x1x2； 2x2x32xnx3；l ;xi2xnxi以上n个不等式边边相加得出2x证:x22x2x32xn 1xn一x1x1x2xn。证明2:（用柯西不等式法）构造两组数x2x2_x3，xnj ；。x2 , * x3 , j xn 川 x1 .代入x1(两边同除以n(-=) (vx1)(：x2)x1(.xn)2n(xi)2i 1xi推出：i 12x1x22x2x32xnx1x2x1xn用笫三种变形a b2,ab这个变形公式适用于 叙述？何时用这一公式？“积定和最小”的类型。公式如何证明？注意如何中文数学语言例7若正数x, y满足x八 11

7、2 y 1,求的最小值?x y11 x 2y解：一一二x 2y2yx3 2v2o例8已知x, yr且2x8yxyy的最小值?2x8yxy 0y(x 8) 2xqx0.y0.y2x2xx 8(2xx16) 16 x 88,u(x8)(x1616x 82(x 8)g-6- 10 18。(x 8)2xx 88)x 810例7已知x5/ 4求函数解：因为x5/4所以4x4x 2 的最大值。4x 50,5 4x 0 数y 4x4x(5 4x5 4x1当且仅当54x 一 514x1时，上式等号成立故当 x 1, ymax 1 。，、x2 2例8求证：xx2 12(xr)分析：把x2 2拆成x2 1 1x2

8、2,当且仅当,x2 11，一，r=时等号成立2一 x 10取等号例8求证:2xtx22 (xr)x25其它途径，x2 4_1x23时取等号，xr是不可能的.才能彻底激活这种类型的数学题当 x24这是“误等”的一个陷井只有寻求而例8用从以上两例进行比较，发现一个矛盾：例8用均值不等式所得答案是正确的 均值不等式所得答案是错误的 .所谓比较数学就是将两道形式一样，解题方法也类似的数学题进行比较而发现异同的数t2t1故当2:利用函数的递增性来证明）设jx2y2x=2t2 12,y= -_1 取ttl1y1丁t2时,y有最小值t121t15/2,即为二_x2为y=一x2(t2 t)(e2 1)2 x

9、y=-2 x11t 20可见t2 y=t1，一、1在（2,）是的最小值是5/2.x2 42x 4 2可设学.比较数学在教学中应该有它的认识论 ，激活论的重要作用.o 例8的正确解法又怎样呢？,x2 4 tan,(arctan2y tan1 tan2因为sin22arctan2 20 sin 2sin(2 arctan 2)00,求证2 3x 一的最大值是2 8v3x解法1:(均值不等式法)q 3x竺 x16 3x x(3x 竺) x813 .,所以2(3x -)x8 3,即 2 3x16一的最大值是 x2 8 3,什么时候取最大值呢？163x= x16x3一2sin x2 cos x4.3 一

10、16时，2 3x 的取大值是2 8v 3 03x21 一 一例9求函数y= 3x不的最小值.2x2解:(用均值不等式)3x22j(3x2)(y)21 w j6当且仅当2x2- 2x2. 2211 , r -,公3xb2： x 7时,y取得最小值v6 .2x246,一 一， 、，一“ _,1关于“积定和最小”的类型，我们出示3道习题让学生练习：x 0求y x2的x最小值 (y x jx xx)； x 0求 y x2的最小值；x222x，21211、 八(y x x )上两题关键在于拆项的技巧)a 0,b 0求x 2x 2x2,2ab22,222222y 2 2- a csc x b sec x

11、a (tan x 1) b (cot x 1) sin x cos x四笫四种变形ab (ab)22这个变形公式适用于“和定积最大”的类型 例 9 求 y sin2xcosx,x (0,3)的最大值。. 21y sin xcosx cosx(1 cosx)(2 2cosx), x (0,)分析：22虽然这种拆项能保证1 cosx 1 cosx 2 2cos x y 2(“和” 一定的条件，但是却出现了 “误等”的错误，事实上cosx 1时成立是不可能的。 可见“误拆”与 方法是如下的正确解法。等”是一对“挛生兄弟”，cosx 2 2cosx用“和定积最大”解：q x (0, ), sinx 0

12、,cosx22.40, y cos xsin xc 22. 4q y cos xsin x1 (2cos2 xsin2 x sin2 x)3/3312. 2. 2 、-(2cos xsin xsin x)427，推出y受，ymax32cos, 9.2x sin xtan x2 x arctan v2 。例9已知0 x 2,求 6x(4x2）的最值。分析：若用下列方法作是错的,2、y 6x(4 x )6x(2x)(2 x) 3x(2 x)(4 2x).x (2 3x(2 x)(4 2x) 3(x) (4 2x)3 324 ,为什么错呢？这是“误等”的错误为了既不陷于“误等”的错误 ；又不陷于“误

13、正”的错误可用平方法解：q 0 x 2, 0 4x24, y236x2(4x2)2 18 2x2(4 x2)2推出22x2y 18一(4 x2) (4 x2)38 3202418(-)当且仅当33222x 4 x2,32-t-(0, ymax310243, ymax32 3_、,以上两题形式不同思想方法同3例10已知x0,y0,且 3x 4y12,求1g x 1g y的最大值及相应的 x, y的值。0,y0,3x 4y 121 ,3x 4y 2丘()igx 1g y 1g xy lg3 ,当且仅当3x 4y 6 x7 c9(a)3;(b)2;(c)4;(d)解：（x(y14y214x214x214y214x21; y4y22当且仅当14714x2x成立，即x y 时,1 2 则(x )22y）2的最小值是为4。即各项或各综上所述，用均值不等式求最值要有三个条件：“一正；二定；三相等” 因式非负；和或积为定值；当且仅当各项（或各因式）都能取相等值时，等号成立。与之相反的是存在三个陷井：“误正”、“误定”、“误等”。 除此之外还有两个陷井：“误拆”（即错误的拆项）和“误传”（ 即二次以上使用均值不